张景中因式分解 运用公式法进行因式分解

运用公式法进行因式分解运用公式法进行因式分解 运用公式法是因式分解的一种重要方法学习这部分内容要在熟记公式的基础上正确灵活的运用这几个公式。这几个公式的特点如下表:公式名称左边形式右边形式适用的项数平方差公式两个数的平方差两数的和与这两数的差的积两项完全平方公式首末两项是两数的平方 和中间项是两数积的倍(或相反数)两数和或差的 完全平方三项立方和公式两数的立方和两数的和乘以 这两数平方和与他们积的差两项立方差公式两数的立方差两数的差乘以 这两数平方和与他们积的和两项在选用公式时先观察所分解的多项式是几项如果是三项考虑用完全平方公式如果是两项再观察这两项是平方差形式,还是立方差、立方和形式正确选用公式。

公式中的字母可以表示任意数、单项式或多项式。下面就公式的运用看几个例题:例下列因式分解正确的是()。(A)x =(x )(x-x )(B)m-n=(mn)(m-n)(C)(a-b)-(a b) =-(a b)(a b)(D)x y=(x y)说明:(A)运用立方和公式第二个因式的-x应为-x(B)用平方差分解后为(mn)(mn)注意数字也要写成平方形式(C)用平方差公式分解为〔(a-b) (a b)〕〔(a-b)-(a b)〕,合并后得到右边的结果(D)中x y不能进行分解。

答案:(C)例 若下列各式是完全平方式求b、a a b 、a ab 、a-a b分析:中的b是完全平方式的第三项由第二项得到b=中的b在完全平方式的第二项第二项应是两个底数乘积的倍或相反数所以b为或-中b应为所以b=答案:b=b=b=。

例 分解下列各式x-xy y -a -a解:)原式=(x-y))原式=( a)(-a))原式=(-a)( a a)说明:在选择公式时观察所给多项式是几项如)是三项考虑用完全平方公式)、)是两项考虑用平方差或立方差、立方和公式再观察得到)是平方差形式)是立方差形式即可代入到相应的公式中。

例 把下列各式进行因式分解(x y)-xy (a b)(a-ab b)-b- (m-)(m-m ) a(x-y) b(y-x)。解:)原式=(x y xy)(x yxy)=(x y)(x-y))原式=a b-b-=a-=(a-)(a a ))原式=(m-)(m-) =(m-) =(m- )〔(m-)-(m-) 〕=(m-)(m-m -m )=(m-)(m-m ))原式=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)=(x-y)(x xy y)(a-b)(a ab b)说明:这几个例题中都有括号)、)是把括号中的多项式看成一个整体)是把括号打开)是把括号中的多项式进行因式分解。

在有括号的情况下要具体问题具体分析正确进行因式分解。

注意:因式分解最后要分解到不能再分为止。例把下列各式进行因式分解a b x-xy x(x-)-x 解:)原式=(a b )(a b)=(a b )(a b )(a ab b )(a -ab b )说明:在既能用平方差公式又能用立方差公式时先考虑平方差公式。

)原式=x(-y)=x(-y)( y y)说明:考虑因式分解时先考虑提公因式法再考虑运用公式法。)原式=x(x-)-(x-)=(x-)(x-)=(x-)(x-)(x x )=(x-)(x x )―说明:此题经过观察可以看出后两项可提出-从而得到公因式(x-)。

注意:应将因式分解最后结果中的相同因式写成幂的形式。

例 已知a b=ab=-求下列各式的值()(a-b)()ab-ab ab解:()(a-b)=(a b)-ab 当a b=ab=-时原式=-(-)= =()ab-ab ab=ab(a-ab b)=ab(a b)当a b=ab=-时原式=-=-说明:()题是在对完全平方式熟练掌握的基础上对其进行变形找到(a-b)与(a b)的关系是差ab()是利用因式分解进行整体代换。

同学们在运用公式法进行因式分解时要善于观察找出所给多项式的特征不断总结才能正确、迅速分解因式。

另外要注意公式法有一定的局限性只能用于对一些符合公式特点的多项式进行分解。请同学们做以下练习加以巩固。练习:一、填空:​ ()(n)=(nm)(m-n)​ a () b=(a-b)​ (xy) ()=(y-x)​ x x m=(x-n),则m= n= 二、判断下列因式分解对错正确的画“”错误的画“”​ -x x-=(-x)​ x- x=(x )(x-) x​ x =(x )(x-x)​ x(x-y) y(y-x)=(x-y)三、选择在下面各题的四个备选答案中只有一个是正确的请把正确答案前的字母填在括号内。

​ 对(a-b)-(a b)分解因式得() (A)-ab (B)ab(C)-(a b)(a b) (D)-(a b)(a b).

下列因式分解正确的题数是()()(a)-b=a a -b()a b=(a b)(a ab b)()a-b-=(a b)(a-b)-()m-n=(m n)(m-n)(A)个(B)个(C)个(D)个x-xy y的一个因式是()(A)x y (B)x-y(C)(x) y (D)(x)-y两个连续奇数的平方差是()(A)的倍数 (B)的倍数 (C)的倍数 (D)的倍数.

下列各题分解因式错误的是()(A)-a=( a)(-a)(C)ab-c=(ab c)(ab-c)(D)x-x=x(x-)分解因式(x x) (x x) 的正确结果是()(A)(x x ) (B)(x-x )(C)(x ) (D)(x-)四、把下列各式因式分解​ x-xy​ x-x ​ x-xy五、求证:两个连续偶数的平方的差能够被整除答案:一:m-abxy,二:三:(D)(D)(B)(B)(D)(C)四:x(y)(yy)(x)(x)(xy)(xy)(xxyy)(xxyy)五:证明:设两个连续偶数为nn (n是整数)(n)(n)=(n n)(n -n)=(n )=(n)(n)(n)是的倍数