皮克公式证明的具体过程?急!!!!!!!!!!1皮克公式证明的具体过程?急!!!!!!!!!!115
因为所有简单多边形都可切割为一个 三角形 和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形 P ,及跟 P 有一条共同边的三角形T。若 P 符合皮克公式,则只要证明 P 加上 T的PT 亦符合皮克公式(I),与及三角形符合皮克公式(II),就可根据 数学归纳法,对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。
多边形
设P 和 T的共同边上有 c 个格点。
P 的面积: iP + b P 2 - 1
T的面积: iT + b T2 - 1
PT 的面积:
( iT + iP + c - 2) + ( b T- c + 2 + b P - c ) 2 - 1
= iPT + b PT 2 - 1
三角形
证明分三部分:证明以下的图形符合皮克定理:
1.
所有平行于轴线的矩形;
2. 以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形;
3. 所有三角形(因为它们都可内接于矩形内,将矩形分割成原三角形和至多3个第二点提到的直角三
设矩形 R长边短边各有 m , n个格点:
AR = ( m -1)( n-1)
iR = ( m -2)( n-2)
b R = 2(m+n)-4
iR + b R2 - 1
= ( m -2)( n-2) + (m+n) - 2 - 1
= mn - ( m + n) +1
= ( m -1)( n-1)
直角三角形
易见两条邻边和 对角线 组成的两个直角三角形全等,且 i, b 相等。
设其斜边上有 c 个格点。缉盯光故叱嘎癸霜含睛
b = m +n+c -3
i = (( m -2)( n-2) - c + 2)2
i + b 2 - 1
= ((m -2)( n-2) - c + 2)2 + ( m +n+c -3)2 - 1
= ( m -2)( n-2)2 + ( m +n - 3)2
= ( m -1)( n-1)2
一般三角形
逆运用前面对2个多边形的证明: 既然矩形符合皮克定理,直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若P,T符合皮克公式,则 P加上T的PT亦符合皮克公式。 那么由于矩形可以分解成1个任意三角形和至多三个直角三角形。 于是显然有,只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候,才会使得在直角三角形符合的同时,矩形也符合。
