特殊函数论王竹溪 特殊函数论中若干问题的研究

2018-02-23
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文章简介：本文目的是讨论几类经典特殊函数之间的内在联系,特殊函数的完全单调,渐近逼近,对数凸性等解析性质及其应用.我们主要利用微分方程,解析函数论,凸

本文目的是讨论几类经典特殊函数之间的内在联系,特殊函数的完全单调,渐近逼近,对数凸性等解析性质及其应用.我们主要利用微分方程,解析函数论,凸函数等理论的思想,方法和技巧,具体分析和研究了Gauss超几何函数2F1(a, b; c; z), Polygamma函数及其q-模拟Ramanujan’s gamma函数,Gini均值等特殊函数的性质.

作为应用,我们揭示了不同特殊函数之间的相互关系,改进了部分特殊函数渐近逼近的界,建立了一些新的有趣的性质和不等式并且推广了已有的结果.

这些结果有利于在理论上更深入地理解这些特殊函数的性质,并且便于在实践中更广泛地应用这些性质,丰富了特殊函数论的研究.主要内容概述如下.

1.我们从新的角度讨论和揭示超几何函数2F1(1/3,2/3;1;z)与经典椭圆函数和模形式中的Eisenstein级数之间的关系.首先,从微分方程和共形映射理论的角度,我们基于2F1(1/3,2/3;1;z)重新构建了椭圆函数的三次模拟并得到很多有趣的性质;其次,由Jacobi Theta函数构造了一个新的椭圆函数,重新证明了一个Theta函数对数导数恒等式,利用此恒等式得到了有趣的结论.

2.我们应用Bernstein完全单调理论及解析函数论:讨论了Polygamma函数及其q模拟等特殊函数的性质.首先,我们改进了Polygamma函数的双向逼近不等式并且推广Digamma函数不等式到Polygamma的情形;其次,我们提供了一个比H.

Alzer的结果更简单的证明和更好的下界,也获得了一个简单的上界,进而证明了相关函数的完全单调性.最后,利用基本超几何级数理论和解析法讨论了Trigamma函数的q-模拟及其完全单调性.

3.我们利用渐近展开和解析法讨论了三类超越函数的渐近逼近问题.首先,我们构造新的辅助函数,改进了Ivady双向逼近不等式,并且引进参量推广Ivady的结果到更一般的情况.

其次,我们讨论了Becker-Stark对正切函数误差项的双向逼近,提供了一个新的更简洁的证明方法.最后,我们考虑Carlson关于基本超越函数的双向不等式逼近,引进两个参量,推广了Carlson型双向不等式到更一般的情形.

作为特例,我们改进了Carlson不等式,并确定了其最好可能的界.4.我们利用凸函数理论讨论了多参量均值中非常重要的Gini均值Gini均值包含幂平均等经典双参量均值作为特例.

我们提供了新的视角重新证明了Gini均值对数凸性等,利用这些性质可直接得到Hermite-Hadarnard型的Gini均值不等式.进而,我们推广并得到了很多新的有趣的性质,包含已有文献中关于单参量和双参量Gini均值的结论作为特例.