李雅普诺夫方法 李雅普诺夫稳定性分析方法

李雅普诺夫稳定性分析方法 自动控制原理Ⅱ 自动控制原理Ⅱ 第五章 李雅普诺夫稳定 性分析方法 1.1892年A.m.Lyapunov发表的《 1.1892年A.m.Lyapunov发表的《运动稳定性的 发表的 一般问题》提出了稳定性的一般概念和方法.

一般问题》提出了稳定性的一般概念和方法. 2.Lyapunov方法可适用于线性系统,非线性系统, 2.Lyapunov方法可适用于线性系统,非线性系统, 方法可适用于线性系统 时变或非时变系统,连续时间系统或离散时间系统.

时变或非时变系统,连续时间系统或离散时间系统. 3.本节研究的内容是基于常微分方程描述的动力 3.本节研究的内容是基于常微分方程描述的动力 学系统,并分为两种分析方法.

学系统,并分为两种分析方法. 第一方法: (1)Lyapunov第一方法 ) 第一方法 ? 也称间接法 属于小范围稳定性分析方法。 也称间接法,属于小范围稳定性分析方法。

属于小范围稳定性分析方法 ? 基本思路是 将非线性自治系统运动方程在 基本思路是:将非线性自治系统运动方程在 足够小的邻域内进行泰勒展开导出一次近似 线性系统.再根据线性系统特征值在复平面 线性系统 再根据线性系统特征值在复平面 上分布,推断非线性系统在邻域内的稳定性 推断非线性系统在邻域内的稳定性.

上分布 推断非线性系统在邻域内的稳定性 ? 在Lyapunov第一法中 有一个基础性的问题 Lyapunov第一法中,有一个基础性的问题 第一法中 有一个基础性的问题, 即将非线性方程线性化的问题.

即将非线性方程线性化的问题 ? 实际上其方法的主要数学工具是泰勒展开 即对函数f(x) f(x)在 式,即对函数f(x)在 x0 邻域内展开后 f (x) = f (x0 ) f ′(x0 )(x ? x0 ) 1 1 ′′(x0 )(x ? x0 )2 ? f (n) (x0 )(x ? x0 )n ? f 2!

n! ? 仅取线性项,忽略高阶次项 仅取线性项, f (x) ≈ f (x0 ) f ′(x0 )(x ? x0 ) ? 称上式为 称上式为f(x)非线性函数在 x0邻域内的线性 非线性函数在 函数表达.

函数表达 ? 故而 x ? x0必须要足够小 其变化 ?x = x ? x0 必须要足够小,其变化 x0 的小邻域内进行,即运动是非常小的 即运动是非常小的, 应在 的小邻域内进行,即运动是非常小的, 因为运动亦可称为一种扰动,因此上述方法 因为运动亦可称为一种扰动 因此上述方法 常称为小扰动线性化.

常称为小扰动线性化 例子:一个系统的描述输入输出的模型为 例子 一个系统的描述输入输出的模型为 ?? ay by = x sin x y ? 2 其中 x:输入, y 输出 x:输入 y:输出 输入, 输出.

是平衡点,即满足 设 x0 , y0 是平衡点 即满足 ??0 ay0 by0 = x sin x0 ? y 2 0 ? 由于 x0 , y0 均为常数 则 ??0 = y0 = 0 从而有 均为常数,则 y ? by0 = x sin x0 2 0 ? 令 x = x0 ?x, y = y0 ?y 则方程左边是 ? ??? a?y by0 b?y y ? 将方程右边在 x0 点处 用泰勒展开 并取到一 点处,用泰勒展开 用泰勒展开,并取到一 次项,忽略高次项 忽略高次项,故有 次项 忽略高次项 故有 x sin x ≈ x 2x0?x sin x0 cos x0 ??x 2 2 0 ? 从而有 ? ??? a?y by0 b?y = x02 sin x0 (2x0 cos x0 )?x y by0 = x02 sin x0代入后 得到 ? 显然 代入后,得到 ? ??? a?y b?y = (2x0 cos x0 )?x y ? 两边进行拉氏变换得(初始状态 ?y0 = 0),则 两边进行拉氏变换得 初始状态 则 (s2 as b)?y(s) = (2x0 cos x0 )?x(s) ? 则有 y(s) 2x0 cos x0 = 2 = G(s) x(s) s as b ? 故线性模型G(s)描述了非线性方程在 x0 处 故线性模型G(s)描述了非线性方程在 G(s) 的运动特性,而Laypunov第一方法 第一方法, ?x 和 ?y 的运动特性 而Laypunov第一方法 则是根据G(s)的特征值来分析其在小扰动 则是根据G(s)的特征值来分析其在小扰动 G(s) 范围内运动稳定性.

范围内运动稳定性 (2)李雅普诺夫第二方法 ) ? 也称直接法 属于直接根据系统结构判断内 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.

部稳定性的方法 ? 该方法直接面对非线性系统,基于引入具有 该方法直接面对非线性系统 面对非线性系统, 广义能量属性的Lyapunov Lyapunov函数和分析李氏 广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏 函数的定量性, 函数的定量性, 建立判断稳定性的相应结 论.

? 因此直接法也是一般性方法----Lyapunov 因此直接法也是一般性方法-------Lyapunov 第二法更具有一般性.

第二法更具有一般性. (3)用李氏方法分析的必要性 ) ? 以一个例子说明 用特征值来判断线性时变 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变 系统一般稳定性是会失效的.

系统一般稳定性是会失效的 ?1 e2t ? ? x=? ?x ?0 1 ? ? 其中特征值为 -1,-1.

1,- ? 但由于其解为 ?e?t x(t) = ? ?0 (et ? e?t )/ 2? ? x(0) ?t e ? ? 当 x(0) ≠ 0时,若 t →∞则必有 x →∞ 若 ? 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现 故平衡状态是不稳定的 即系统的实际表现 是不收敛和发散的.

从而采用特征值判断失 是不收敛和发散的 从而采用特征值判断失 效. 一.系统运动稳定性的性质 系统运动稳定性的性质.

系统运动稳定性的性质 ? 运动稳定性的实质,归结为系统平衡状态的 运动稳定性的实质 归结为系统平衡状态的 稳定性. 稳定性 ? 平衡状态的稳定性问题实际就是 偏离平衡 平衡状态的稳定性问题实际就是:偏离平衡 状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结 构因素,或者使之限制在平衡状态的有限临 构因素 或者使之限制在平衡状态的有限临 域内,或者使之同时返回平衡状态 或者使之同时返回平衡状态.

域内 或者使之同时返回平衡状态 ? 从而要讨论三个重要概念 从而要讨论三个重要概念: 1.

自治系统 自治系统. 自治系统 2.平衡状态 平衡状态. 平衡状态 3.受扰运动 受扰运动. 受扰运动 1.自治系统 自治系统 ? 定义地 自治系统定义为不受外部影响即没 定义地:自治系统定义为不受外部影响即没 有输入作用的一类系统.

有输入作用的一类系统 ? 一般情形的系统描述 x = f (x, t), x(t0 ) = x0 , t ∈[t0, ∞] 一般情形的系统描述: ? ? 线性时变系统的描述 x = A(t)x, x(t0 ) = x0, t ∈[t0, ∞] 线性时变系统的描述: ? ? 线性时不变的描述: x = Ax, x(t0 ) = x0, t ∈[t0, ∞) 线性时不变的描述 ? 2.

平衡状态 平衡状态 ? 定义 对连续时间非线性时变系统,自治系统 定义:对连续时间非线性时变系统 自治系统 对连续时间非线性时变系统 ? x = f (x, t) 的平衡状态定义为状态空间满足属 ? 的一个状态.

性 xe = f (xe , t) = 0, ?t ∈[t0 , ∞) 的一个状态 下面对平衡状态的说明: 下面对平衡状态的说明 (1).

平衡状态的直观含义 平衡状态 xe 直观上 平衡状态的直观含义,平衡状态 平衡状态的直观含义 为系统处于平衡时可能具有一类状态,系统 为系统处于平衡时可能具有一类状态 系统 ? 平衡的基本特征 xe = 0 .

(2).平衡状态的形式 平衡状态 xe 可由方程定 平衡状态的形式.平衡状态 平衡状态的形式 对二维自治系统, 出,对二维自治系统 xe 的形式包括状态空 对二维自治系统 间中的点和线段.

间中的点和线段 (3).不唯一性 平衡状态 xe 一般不唯一 不唯一性.平衡状态 一般不唯一. 不唯一性 对定常线性系统而言,平衡状态 xe 为方程 对定常线性系统而言 平衡状态 Axe = 0 的解 的解.

? 若矩阵 非奇 则有唯一解 xe = 0 若矩阵A非奇 非奇,则有唯一解 ? 若矩阵 奇异 则解 xe 不唯一 若矩阵A奇异 奇异,则解 不唯一.

(4).孤立平衡状态 该状态是指状态空间彼此 孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此 孤立平衡状态 分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状 分隔的孤立点形式的平衡状态 孤立平衡状 态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换 态的重要特征是 通过坐标移动可将其转换 为状态空间的原点.

为状态空间的原点 (5).对平衡状态的约定:Lyapunov第二法中 对平衡状态的约定:Lyapunov第二法中, 对平衡状态的约定 第二法中 对稳定性的分析主要针对孤立平衡状态,从 对稳定性的分析主要针对孤立平衡状态 从 而在研究中可把平衡状态设为空间原点.

而在研究中可把平衡状态设为空间原点 3.受扰运动 受扰运动.

受扰运动 ? 定义 受扰运动定义为其自治系统由初始扰 定义:受扰运动定义为其自治系统由初始扰 引起的一类状态运动. 动 x0 引起的一类状态运动 ? 也就是零输入响应 在稳定性分析中 可将非 也就是零输入响应,在稳定性分析中 在稳定性分析中,可将非 零初始状态 x0看成为相对于零平衡状态 xe = 0 的一个状态扰动.

的一个状态扰动 Lyapunov意义下的稳定性(实际上只刻划 二.

Lyapunov意义下的稳定性 实际上只刻划 Lyapunov意义下的稳定性 稳定性或描述) 稳定性或描述 ? 自治系统受扰后 其状态自平衡状态发生偏 自治系统受扰后,其状态自平衡状态发生偏 离,随后在所有时间内系统的响应可能出现 随后在所有时间内系统的响应可能出现 下列情况.

下列情况 (1) 系统响应是有界的 (2) 系统响应不但有界 而且最终回到原先的 系统响应不但有界,而且最终回到原先的 初始状态.

初始状态 (3) 系统自由响应无界 系统自由响应无界. 1.预备知识 预备知识. 预备知识 ? 设 xe代表系统的平衡状态 用下式表示在平 代表系统的平衡状态,用下式表示在平 周围半径为k的球域 x 的球域: 衡状态 xe 周围半径为 的球域: ? xe ≤ k .

称为欧氏范数,它代表向量 式中 x ? xe 称为欧氏范数 它代表向量 x ? xe 的 长度. 长度 ? 因此: 因此 ? A.

对应于系统的初始条件可以划出一个球 A.对应于系统的初始条件可以划出一个球 S(δ)它的范数为 域S(δ)它的范数为 x0 ? xe ≤ δ 时的状态变量. 其中 x0 为初始时刻 t0 时的状态变量.

? B.球域S(ε),它能将 x = f (x, t) 的解 x(t; x0 , t0 ) B.球域S(ε),它能将 ? 球域S(ε), 的所有点都包围在内,其范数为 的所有点都包围在内 其范数为 x(t; x0 , t0 ) ? xe ≤ ε (t ≥ t0 ) 2.

现对李雅普诺夫意义下的稳定性用上述方 现对李雅普诺夫意义下的稳定性用上述方 法进行定义 ? 实际上也是对平衡状态稳定性的定义.

实际上也是对平衡状态稳定性的定义 ? 定义 如果对任意给定的ε>0,都对应存在另 定义:如果对任意给定的ε 都对应存在另 如果对任意给定的 一依赖于ε 一依赖于ε和 t0 的实数 δ (ε,t0 ) > 0 ,使得满足 使得满足 不等式: 不等式 x ? xe ≤ δ (ε, t0 ) 的任一初始状态 都满足不等式 x0 出发的受扰运动 x(t : x0 , t0 ) x(t; x0 , t0 ) ? xe ≤ ε ?t ≥ t0 ? ? 则称自治系统 x = f (x,t){ x(t0 ) = x0,t ∈[t0, ∞)} 的孤立 平衡状态 xe = 0 在时刻 t0 为李雅普诺夫意义 下稳定.

下稳定 3.渐近稳定性 渐近稳定性 ? 一般来讲 如果受扰运动能回到原来的平衡状态,则 一般来讲,如果受扰运动能回到原来的平衡状态 则 如果受扰运动能回到原来的平衡状态 称该平衡状态是渐近稳定的.

称该平衡状态是渐近稳定的 ? 定义 如果上述自治系统 定义:如果上述自治系统 1)平衡状态 xe = 0为李雅普诺夫意义下的稳定 为李雅普诺夫意义下的稳定, 平衡状态 2)存在可任给的实数μ>0,能使任一初始时刻 x0 出 存在可任给的实数μ 能使任一初始时刻 存在可任给的实数 发的受扰运动满足 x(t; x0 , t0 ) ? xe ≤ ? ?t ≥ t0 ? 注意 该定义只能应用于平衡状态不随时间变化的 注意,该定义只能应用于平衡状态不随时间变化的 平衡状态.

平衡状态 4.大范围内的渐近稳定 大范围内的渐近稳定. 大范围内的渐近稳定 ? 如果由系统状态的所有初始状态出发 其扰 如果由系统状态的所有初始状态出发,其扰 动运动都是渐近稳定的,则这时的平衡状态 动运动都是渐近稳定的 则这时的平衡状态 称为大范围内渐近稳定的.

或说 ? 称为大范围内渐近稳定的 或说 x = f (x, t) 的 每个解,当 每个解 当 t →∞时,都收敛于 xe ,显然这样的 都收敛于 显然这样的 系统只能有一个平衡状态.

系统只能有一个平衡状态 5.不稳定 不稳定 ? 如果对于某一实数ε>0,不论δ取多么小 如果对于某一实数ε 不论 取多么小, 不论δ 由S(δ)内出发的轨迹只要其中有一个轨 δ 内出发的轨迹只要其中有一个轨 迹越出S(ε 则称平衡状态 为不稳定的.

迹越出 ε),则称平衡状态 xe为不稳定的 三.李雅普诺夫第二方法 李雅普诺夫第二方法 ? Lyapunov第二方法也称直接法 Lyapunov第二方法也称直接法. 第二方法也称直接法 ? 不但可用于稳定性判别 且可用于系统设计.

不但可用于稳定性判别,且可用于系统设计 且可用于系统设计 ? 该方法基于这样的思想,即一个系统或物体 该方法基于这样的思想,即一个系统或物体 之所以有运动,是因为它具有能量的缘故 是因为它具有能量的缘故,如 之所以有运动 是因为它具有能量的缘故 如 果一个系统在运动过程中,其内部贮存的能 果一个系统在运动过程中 其内部贮存的能 量随时间的推移逐渐的衰减,一直到运动平 量随时间的推移逐渐的衰减 一直到运动平 衡状态处,系统所具有的能量变成最小 系统所具有的能量变成最小.

衡状态处 系统所具有的能量变成最小 ? 所以若能找到一个可以完全描述上述过程 的所谓能量函数的话,则系统的稳定性就不 的所谓能量函数的话 则系统的稳定性就不 难解决了.

难解决了 ? 但由于实际系统形式是复杂多样的 一般不 但由于实际系统形式是复杂多样的,一般不 容易找出具有直观物理意义的能量函数,因 容易找出具有直观物理意义的能量函数 因 李雅普诺夫引入了一个广义能量函数,它 此,李雅普诺夫引入了一个广义能量函数 它 李雅普诺夫引入了一个广义能量函数 虽非是系统真正物理意义上的能量函数,但 虽非是系统真正物理意义上的能量函数 但 有着能量含义,且在形式上更具有一般性 且在形式上更具有一般性.

有着能量含义 且在形式上更具有一般性 ? Lyapunov函数与 x1, x2 ,?, xn 有关,用V(x)来 Lyapunov函数与 有关, V(x)来 表示.

表示. ? (x) = dv 表示能量随时 ? 一般情况下V(x)>0 , V 一般情况下V(x)>0 dt 间的变化率.

间的变化率. ? ? 当V(x) < 0表明能量在运动中随时间推移而减 少. ? ? 当V(x) > 0表明能量在运动中随时间推移而增 加. 1.预备知识 预备知识 1).

标量函数V(x)性质意义: 1).标量函数V(x)性质意义: 标量函数V(x)性质意义 V(x)是向量 的标量函数,Ω 是向量x ,Ω是 令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域.

原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 如果对所有区域 x, V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域 且在x=0处有V(x)=0则在域Ω V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定 为正定.

V(x)为正定. (2).如 V(x)除原点以及某些状态等于零 (2).如果V(x)除原点以及某些状态等于零 在域Ω 外,在域Ω内其余状态处都是正的,则V(x)称 在域 内其余状态处都是正的, V(x)称 为半正定.

为半正定. (3).如果-V(x)是正定的,则V(x)称为负定 (3).

如果-V(x)是正定的, V(x)称为负定 如果 是正定的 的. (4).如果-V(x)是半正定的, V(x)称为半 (4).如果-V(x)是半正定的,则V(x)称为半 如果 是半正定的 负定的.

负定的. 2).二次型标量函数 二次型标量函数 ? V (x) = xT px 称为二次型函数 若 pij = pji 则p称为 称为二次型函数,若 实对称的. 实对称的 2.Lyapunov第二方法的几个定理 稳定性判 第二方法的几个定理---稳定性判 第二方法的几个定理 据(书P317) ? 定理一.

设系统的状态方程: x = f (x, t),且f (0, t) = 0 定理一.设系统的状态方程: ? 设系统的状态方程 (坐标原点为平衡状态 如果上述给定系统 坐标原点为平衡状态)如果上述给定系统 坐标原点为平衡状态 存在一个有连续偏导数的标量函数V(x) V(x)并 存在一个有连续偏导数的标量函数V(x)并 满足下列条件: 满足下列条件: 1).

对所有 x ≠ 0 时V(x)>0 对所有 ? 2).对所有 x ≠ 0 时V (x) < 0,则平衡点x=0是渐 则平衡点x=0 对所有 则平衡点x=0是渐 近稳定的.

近稳定的 3).除满足1),2)外,如果 x →∞,V(x) →∞ 除满足1),2) 除满足1),2)外 如果 x=0是大范围渐近稳定的 是大范围渐近稳定的.

则x=0是大范围渐近稳定的 ? 定理二 前提如定理一. 前提如定理一 1).对所有 x ≠ 0 时V(x)>0 对所有 ? 2).对所有 x ≠ 0 时 V (x) ≤ 0 ,但不恒等于零 则 对所有 但不恒等于零,则 但不恒等于零 x=0是渐近稳定的 x=0是渐近稳定的.

是渐近稳定的 3).除满足1),2)外,还满足 x →∞,有 V (x) →∞ 除满足1),2)外 还满足 有 除满足1),2) 则平衡状态x=0是大范围渐近稳定的.

则平衡状态x=0是大范围渐近稳定的 x=0是大范围渐近稳定的 ? 定理三 前提如定理一. 前提如定理一 1).对所有 x ≠ 0 时V(x)>0 对所有 ? 2).

对所有 x ≠ 0 时V (x) ≤ 0 ,且在某 处恒为零 且在某x处恒为零 对所有 且在某 ? 则x=0为在Lyapunov意义下是稳定的 但非 为在Lyapunov意义下是稳定的,但非 为在Lyapunov意义下是稳定的 渐近稳定.

渐近稳定 ? 实际系统保持在一个稳定的等幅振荡状态 上. ? 定理四 前提如定理一. 前提如定理一 1). x ≠ 0 时 V(x)>0 ? 2).

x ≠ 0 时 V(x) > 0 平衡状态是不稳定的. 则x=0平衡状态是不稳定的 平衡状态是不稳定的 ? 判断方法 判断方法: ? = dv 的符号按定理判断. 1).

构造 函数, 构造V 1).构造V函数,从 V dt 的符号按定理判断. 2).对 ? 2).对 x = Ax 则V函数可设为 V = xT px 给定Q为正定阵( 且 AT p pA = ?Q .

给定Q为正定阵(对称阵 总是正定的) 总是正定的) V = xT px 从中解出p, p,若 为正定对称阵, 从中解出p,若p为正定对称阵,则 如若p不正定,则重复,直到p正定结束. 如若p不正定,则重复,直到p正定结束. 一般情况下取 Q=I.