直角坐標系(笛卡兒坐標系)的用途和好處是什麼?
這是一個好問題,它牽涉到數學的起源與發展!在古代,數學泛指 代數(Algebra) 及 幾何(Geometry) 兩門學問。代數問題即解方程 (Equation Solving),是為了模擬現實生活的一些情況(Mathematical Modeling),求取通解(General Solution),計算利息便是一個很好的例子;而幾何則是求圖形與圖形間的關係、求角度、求邊長、求面積、求體積 等等,證明全等三角形便是典型的幾何題材。及後,笛卡兒發明的直角坐標系(Rectangular Coordinate System),將空間上的每一點以獨特的(Unique)座標表示。這樣,便將兩門學問連結起來了!
我們可以在一個平面圖形上加上坐標,將圖形以代數方程式表示:中二會學習直線的方程式,中四中五則會學習拋物線(parabola)及圓形(circle)的方程式,還有橢圓形、雙曲線等等。
我們可以透過直角座標系,以直角座標表示圖形上的頂點,而計算出斜度、面積等等。(高年級還會學到怎樣用微積分證明 圓形體積是 4/3 * pi * r^3 及 圓錐體體積是 1/3 * pi * r^2 * h )
另一方面,我們可以將有兩個變數的方程式,透過標示(Plotting),在直角坐標上繪出對應的直線。
這樣,便能透過圖像,找出對應自變數(Independent Variable, 通常表不為 x) 的因變數(Dependent Variable, 通常表不為 y);也能反向從 y 找對應的 x。
例如,統計學上的中位數,便是從累積頻數表 y-軸 範圍的中點,找出 x-軸上對應的 數值。
另外,也可以透過圖像解聯立方程(Simultaneous Equations),有趣的「雞兔同籠」問題,便是線性聯立方程一例。
總之,直角座標系將 代數 及 幾何 兩門久遠而不同的學問連繫起來,大大推動了數學的發展!即使後來數學家設計出具有更佳效用的 向量(Vector) ,直角座標系作為現代數學的基礎,仍然被編入初中數學的課程內,可見其重要程度。
笛卡兒的名句:「我思,故我在。( I think, therefore I am. )」實在總結了數學的精粹所在──思考! 讓我們一起享受學習數學,享受思考的樂趣!
