第三波@全国大学生力学竞赛 第六届全国周培源大学生力学竞赛试题

假设系统在同一竖直平面内(如图所示) ,不考虑摩擦。圆弧 AB的半径为R,B点与地面的高度为H 。均质细杆CD的质量为M ,长为 L=0.5H ,悬挂点C与B处于同一水平位置,BC距离为S 。小球 P

质量均为m,不计半径,小球 iP与CD杆或地面碰撞的恢复因数均为 e

,且满足 。 (1)为使小球 1 P击中杆上D点,试确定静止释放时的θ ,距离S 有何限制?(2)假设某小球击中CD杆上的E点,为使E点尽可能远离D点,试确定该小球的号码及静止释放时的θ ,此时CE的距离是多少?
(3)假设某小球击中CD杆上的E点,为使悬挂点C处的冲量尽可能小,试确定该小球的号码及静止释放时的θ ,此时CE的距离是多少?冲量有多大?

二、骄傲自满的大力士(35 分)

有位大力士总是自命不凡,他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足球场的球门坏了一半,剩下的半边球门如图:立柱OA垂直固定于水平地面上,沿x轴方向,高为 H =2.4m,横梁 AB平行于地面,沿z轴负方向,长为L=H 。

立柱和横梁均为实心圆柱,直径均为 D = 0.06m。夫人经过计算后想出了主意:和丈夫比赛,看谁能把球门拉倒。比赛规则是:通过系在横梁B端中点的绳索,只能用静力拉球门;绳索上有且只有B点系在与地面固定的物体上。绳索的重量不计,长度不限。球门不计自重,采用第三强度理论,材料的屈服应力 σ

大力士认为自己肯定不会输,因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是μ =0.5 ,自己重量为 G

= 700N ,夫人重量为 G

= 700N。为了显示自己的大度,他允许夫人享受一点点优惠条件。于是夫人以B在地面的投影C为圆心,在地面上画了一个半径 R =0.8m 的圆圈, 要求丈夫身体在地面的投影不能进该圆圈,但她自己不受限制。

大力士认为这么个小圆圈没什么了不起,就同意了。大力士抽签先上场,他决定让绳索与xy平面平行,但绳索与地面的夹角θ 不知多大为好,于是他在不同的角度试了多次,尽管每次都用了最大力气,但是球门居然纹丝不动,也看不出有明显的变形。

而夫人上场后一用力就把球门拉倒了 (1)当大力士让绳索与地面成θ 角度,绳索中的拉力最大为多大?该最大拉力与大力士拉绳的姿势有无关系?
(2)当大力士让绳索与地面成θ 角度,球门中最危险点的坐标值是多少?
(3)在限制条件下,θ 角为多少时大力士最接近把球门拉倒?夫人可能采用什么方式把球门拉倒?

三、顾此失彼的挑战者(30 分)

魔术正式开始前,魔术师邀请观众上台了解道具,并体验如何让水晶球在板上平衡,有位观众自告奋勇要挑战魔术师的问题。

魔术师首先介绍道具 (如图所示) : 两个透明的水晶圆球 O

; 一个滚轴D;一个透明的水晶平板 AB,A端水平固定在墙中,不考虑自重时 AB板与水平面平行。在表演时,滚轴D可以根据需要安装在 AB板的任意位置,且 A与D总在同一高度。假设水晶板是均质等截面板,长度为l,单位长度重量为q,弯曲刚度为EI 。两均质水晶圆球的半径均为r,重量均为P=ql 。

假设表演中板的挠度和转角都是小量,球与板之间有滑动摩擦,但不考虑球与板的接触变形和滚动摩擦。观众发现,水晶板由于自重而微微弯曲,如果不安装滚轴D,水晶球在板上可以摆放的任意位置都不能平衡。

魔术师的问题如下: (1)如果把滚轴D安装在 AB板的B处,此时 AB板由于自重所导致的最大挠度在何处?
(2) 如果把滚轴D安装在 AB板之间的某处, 有可能使水晶球 O

在板上静止,且球与板的接触点恰好是B点。 如果不需要具体计算, 如何说明滚轴D是更靠近 A点还是更靠近B点?定性画出此时 AB板挠度的示意图。 (3)如果把滚轴D安装在 AB板的中点,能否让水晶球 O

在 AD之间某位置平衡,接触点为 C

在DB之间某位置平衡,接触点为 C

。观众试着摆弄了很久,总是顾此失彼,最终也没有成功。如果你认为本问题有解, AC

的水平距离是多少?如果没有解,如何证明?

四、技高一筹的魔术师(25 分)

魔术正式开始,仍用上一题中的道具(板和球的具体参数见第三题)。 魔术师首先撤去了滚轴D,观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放,都会从板的B端掉下去。但是细心的观众发现,即使两水晶球放在板的相同位置,掉下去所需时间却明显不同。

魔术师解释说,虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同,但有一个水晶球的表面涂了透明的新型材料,很光滑。说完在后落下的水晶球 O1 表面贴上了小纸片以示区别(假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量) 。 只见魔术师对两个水晶球吹了吹,声称已经把魔力注入其中,然后小心地把贴有纸片的 O1 球静止放在板上(接触点为B点) ,同时让纸片远离接触位置,松手后水晶球O1竟然真的可以一直稳稳地停留在板上B点。

在观众的掌声中,魔术师撤走了 O1球,把 O2球拿了起来。 这个水晶球不太听话,我的魔力只能管 1分钟。 魔术师说完把 O2球转了转,然后更加小心地把 O2球也放在板上(接触点为B点) 。观众发现,O2球在B点停留了大约 1 分钟,然后在没有外界干扰的情况下突然从板上B端掉了下来 (1)根据题目叙述,试判断哪个水晶球涂了新型材料?
(2)水晶球 O1可在B点一直稳稳地停留,简要叙述其原理,分析其中所涉及的关键参数,以及各参数应满足的必要条件或关系。

(3)水晶球 O2只能在B点停留很短的时间,简要叙述其原理,分析其中所涉及的关键参数,以及各参数应满足的必要条件或关系。
注:第四题解答中所用的参数都应在第三、第四题中提及过。