周帅老师 新东方名师周帅解析海淀高三数学期中考试选择填空题

高中网校讯 2013-2016学年北京海淀区高三上学期期中数学考试已经结束。新东方名师周帅解析海淀高三数学期中考试选择填空题,供高考考生参考复习。

期中考试的核心考察模块只有函数导数、三角向量和数列这三大模块,作为检测性考试,正如我们在考前的期中考试专项复习课里讲过的那样,命题必定会追求知识点的覆盖程度,这一点在今年的期中考试试卷中体现得依然相当充分。

在集合、逻辑、函数的要素与性质、基本初等函数的图象、导数与定积分、三角函数的图象与性质、简单的恒等变换与郑余弦定理、向量的坐标与线性运算、等差等比数列性质、数列求通项与求和问题等主要知识点上,是应考尽考。

这就要求同学们在复习过程中,对于基本概念基础知识要掌握得全面而扎实,形成完整而系统的知识体系,这也是第一轮复习的关键所在。就选择填空部分而已,和往年一样,三分之二以上的题目是平时我们专门讲过和大量练过的题型甚至是原题,在部分题目上(如选择6、7、8,填空13、14)考察了同学们运用所学知识和方法灵活处理问题的能力,体现了较好的区分度,以下结合2013年11月海淀区高三数学期中考试的选择填空作一些分析和说明,帮助同学们复习的重点和方向,以及及时解决其中出现的问题。

文理科1和2是基础的集合 解不等式以及基本初等函数的认知;

文科3和理科4是典型的向量纯坐标计算考法;

文科4和理科5一改往常考命题否定的方向,考察了充要条件,但计算偏简单;只要记住充要条件的关键问题是判断两者范围的大小,范围小是充分条件,范围大是必要条件即可;特别是文科4更是高考的固定套路三角函数的多值性问题,这个听过我们的课就能不用计算直接写答案的。理科3也是非常典型的三角函数求值问题,只需要记住“锐角算大小,范围定符号”确定对边邻边和斜边长度也是直接看出结果的;

文科9考了定义域,文科7考了极值的意义,理科9考了定积分,都是基础计算;

文科10,理科11都是指数函数和对数函数问题,文科10稍简单,考察定义与指对运算,理科11是标准的比大小中的特殊点中间值(0,1)的考法,这个几乎是每年必考;

文科11,理科10是等差数列在小题中的标准考法,或者a1、d展开计算,或者直接用我们课上讲的中项化简与求和公式,都能轻松得出结果;

文理科12题都是三角函数图象判断和求值题,利用周期性求ω利用特殊点求ϕ,需要注意的是在理科12中,从0到3是完整周期,0处的函数值为1是特殊点。

以上这些都属于送分题。如果在这些题目上出现了错误的同学,请再次结合暑假班与秋季班的课程笔记进行相关强化与巩固。

接下来就试卷中出现的一些对于部分同学有些难度的题目作一些更详细的解读。

文科5理科6,这两道题难度略有不同,但考察思路一致,都是通过对于an的直接研究来判断Sn的最值问题。文科5本身是等差数列,所以即使求出Sn再进行相关判断也并不复杂,但理科6中an本身就是一个等差等以等比的复杂数列,所以如果为了求出Sn甚至需要用到错位相减,但作为选择题这种复杂计算似乎有点得不偿失。

这种问题我们之前重点强调过,Sn的最值与an的正负密切相关,如果了解到了这一点,问题就迎刃而解:如果前几项都是正的,突然变负了,就有最大值;反之前几项都是负的,突然变正了,就有最小值。或者,即使考试的时候没有想到以上方法,作为选择题带入几个选项检验也并不是复杂的方法。

文科6和理科7看起来都是分段函数的考法,但是具体考法确不大相同。文科6是我们之前强调过的标准的分段函数整体单调性的考法,不仅要考虑在每一段上单调,还要关注在断点出的单调性连续的问题(单调递增,首先要分别单增,其次还需要左边的最大值小于等于右边的最小值);理科7是分段函数中解不等式的问题,是单调性的应用,首先需要大致画出函数的示意图,其次要明确-1/2只能在三角函数部分取得,对应一个具体的自变量;然后再分别讨论t-1/3可能在两个不同区间的情况分别求范围。

当然,作为选择题,也必须考虑选取选项范围中特殊的t值带入检验的方法,对于分析能力较弱的同学,是更好的选择。

文理科13都是考察向量的线性运算,文科13由于题目模仿高考题已经给出了坐标纸,所以在图上直接寻找三角形第三边垂直即可,理科13看似难度大一些,但只要根据题目要求画出图形,并利用垂直条件画出夹角恰好为90度时的临界状态,不难看出依然是在考察特殊长度特殊角度和特殊的三角形形状。平行四边形法则和三角形法则是向量区别于其他计算的重要因素,因此也会成为各级考试向量问题的主要考法。

理科8考到了三角函数的单调性对称性和周期性,本来是基本考法,但是由于解析式本身化简的复杂使得相当一部分同学解题时遇到了困难,不管用公式怎么变形都不易判断。这个时候如果能够想起我们之前讲过的当题目中sinx cosx和sinxcosx同时出现时应当考虑整体换元,则这个题目就能够变成一个分式函数进行处理;当然这并非好办法,因为计算判断依然复杂。

所以此种题目最推荐同学们的依然是利用我们掌握的特殊情况和题目给出的判断条件结合进行带入检验,如带入π x检验周期,带入π/6和π/3检验对称,带入-π/3和-π/6检验单调,就能迅速得出答案。

文科8考察的是对于指数函数图象的深度理解和应用。由于A和B都是特殊点,所以只需要关注P点的运动对三角形形状的影响。特别的,过点A做y=ex的切线,恰好与线段AB垂直,这意味着不论P点在何处,角PAB一定是一个钝角,所以三角形不可能为锐角或直角三角形;对于等腰三角形,只需要以点A为圆心,以AB为半径画一个圆,该圆能与指数函数图象相交,故可能为等腰三角形。

对于基本初等函数的图象,除了了解基础的单调性奇偶性之外,还需要对于特殊点有充分而深刻的认识。

文理科14是在历年考试中都非常典型甚至固定的数列找规律的考法,不过今次是以函数图象和零点为背景。题目的第一问都是要带入具体特殊的x值想办法确定函数的性质和求出相应的数字,这个并不难,在得到一些具体点之后就可以画出函数的示意图,是一组横坐标从1/3到1,1到3,3到9,这样成等比数列并且关于每个区间的重点对称的折线。

于是第二问在这个基础之上就至少有了可以观察的特殊值和规律,根据对称性,可以得到x1 x2=12(因为对称轴是3到9这个区间的中点6),而这个数列往后横坐标呈以3为公比的等比数列,每个区间的两个零点之和为该区间的对称轴的两倍,故整体求和是以12为首项,以3为公比的等比数列求前n项和问题。

在数列的复杂考法中,根据前几项寻找和猜想规律是一种极为重要的数学能力,果断放弃过多思考而带入特殊值使问题具体化是重要的解题习惯。