如何理解希尔伯特空间?

2017-08-13
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文章简介：什么是赋范线性空间.内积空间,度量空间,希尔伯特空间 ? 现代数学的一个特点就是以集合为研究对象,这样的好处就是可以将很多不同问题的本质抽象出来,变成同一个问题,当然这样的坏处就是描述起来比较抽象,很多人就难以理解了.既然是研究集合,每个人感兴趣的角度不同,研究的方向也就不同.为了能有效地研究集合,必须给集合赋予一些"结构"(从一些具体问题抽象出来的结构).从数学的本质来看,最基本的集合有两类:线性空间(有线性结构的集合).度量空间(有度量结构的集合).对线性空间而言,主要研究集合的描

什么是赋范线性空间、内积空间,度量空间,希尔伯特空间 ? 现代数学的一个特点就是以集合为研究对象,这样的好处就是可以将很多不同问题的本质抽象出来,变成同一个问题,当然这样的坏处就是描述起来比较抽象,很多人就难以理解了。

既然是研究集合,每个人感兴趣的角度不同,研究的方向也就不同。为了能有效地研究集合,必须给集合赋予一些“结构”(从一些具体问题抽象出来的结构)。从数学的本质来看,最基本的集合有两类:线性空间(有线性结构的集合)、度量空间(有度量结构的集合)。


对线性空间而言,主要研究集合的描述,直观地说就是如何清楚地告诉地别人这个集合是什么样子。为了描述清楚,就引入了基(相当于三维空间中的坐标系)的概念,所以对于一个线性空间来说,只要知道其基即可,集合中的元素只要知道其在给定基下的坐标即可。


但线性空间中的元素没有“长度”(相当于三维空间中线段的长度),为了量化线性空间中的元素,所以又在线性空间引入特殊的“长度”,即范数。赋予了范数的线性空间即称为赋犯线性空间。
但赋范线性空间中两个元素之间没有角度的概念,为了解决该问题,所以在线性空间中又引入了内积的概念。


因为有度量,所以可以在度量空间、赋范线性空间以及内积空间中引入极限,但抽象空间中的极限与实数上的极限有一个很大的不同就是,极限点可能不在原来给定的集合中,所以又引入了完备的概念,完备的内积空间就称为Hilbert空间。


这几个空间之间的关系是:
线性空间与度量空间是两个不同的概念,没有交集。
赋范线性空间就是赋予了范数的线性空间,也是度量空间(具有线性结构的度量空间)
内积空间是赋范线性空间
希尔伯特空间就是完备的内积空间。