请问 泰勒级数和泰勒公式的联系和区别
我是这么理解的。泰勒公式分皮亚诺余项和拉格朗日余项两种。泰勒公式和泰勒级数的区别正如2l所说的前三点: 1,有限和无限形式的区别 2,泰勒公式是一种不完整的表示一个函数,而泰勒级数是一种完整的表示一个函数(这一点没大看明白,姑且认为对吧) 3,泰勒公式要求n 1阶可导,泰勒级数要求无穷阶可导 我觉得泰勒级数和泰勒公式都没有误差,都能在其各自定义域上完完全全表示出函数的数值。
这是因为泰勒公式跟工科工程上常用的牛顿拉夫逊法(我知道不同学科,但我觉得它俩不是一般的有爱)异曲同工,同出而异名,在整个定义域上如果不完全重合的话,牛顿拉夫逊法就错了。
我是这么理解的,严格的数学证明我不会。 讨论一个函数,第一步是要找到定义域(高考过的都知道),拉格朗日余项的定义域跟泰勒级数相同,都是个区间(可以是整个实数域)。
但皮亚诺余项的泰勒公式就不同了,定义域仅仅限于x趋向于x1的时候。 比方说f(x)=sinx(不单调),在x1点展开了,问你x2的时候取何值。
1.拉格朗日余项。在整个实数域上,你直接算f(x)跟你用泰勒公式算一样(当然这只是假设,别当真,因为没人知道西塔取何值),两者完全重合。2.泰勒级数。同上,在整个实数域上,你直接算f(x)跟你用泰勒级数算一样(当然这只是假设,别当真,因为泰勒级数无穷,你一辈子也只是在接近,不能完全等于,一辈子也算不完),两者完全重合。
3.皮亚诺余项。仅仅在x1无限小的邻域内,两者完全重合,出了这个圈就白搭了,一阶展开的话,两者相切,二阶展开的话,二者相切且曲率同,and so on。
两个余项的泰勒公式的区别就是定义域的区别。 我做400题的时候,许多函数证明题都往上用了皮亚诺余项的泰勒公式。
一看答案,发现答案都不是这么做的,这样做的话,一般是比答案简单,我当时误以为我比答案还牛逼。刚刚这几天我才突然觉得,是我错了。要不然,这么牛叉一公式,不可能李永乐老不用吧。
所以这些证明题基本都可以用拉格朗日余项的泰勒公式,这样证明时候相对复杂了一点。还是答案的方法简便。 今天想在网上查查是不是我想的这样,发现没一个考研论坛回答了这个问题。也找不到数学老师问问,所以这都是我瞎猜的。我姑妄言之,如果有不对的地方,还麻烦指正。
