汤家凤李永乐线性代数 李永乐谈2004年研究生入学线性代数考题
今年线性代数共有20个考题,但数学一与数学二有4个题完全一样,另一题的题型仍是一样的.区别仅在方程组未知数的个数是n与4,而数学三与数学四有一个题完全一样,实际
上有14个不同的考题,所涉及的知识点有:
含参数的3阶、4阶及n阶行列式的计算,通过矩阵方程转换到抽象行列式的计算.
矩阵方幂的计算(涉及相似、分块、对角等)、初等矩阵性质的运用、矩阵等价、AB = 0、正交矩阵几何意义、秩的概念与性质.
含参数向量的线性表出、由矩阵秩判断向量组线性相类.
齐次、非齐次线性方程组求通解、解的性质的运用、基础解系中向量个数的判定与求法.
求矩阵的特征值与特征向量、相似对角化的判定与计算、实对称矩阵特征值性质、由特征向量反求矩阵A.
二次型的秩
纵观04年考题,难度上比03年略有下降,要重视对基本概念、基本方法及原理的考核,注重知识点的衔接与转换,试题的灵活性有所加强.从阅卷反映出的问题看,有些同学复习备考不扎实、有动手晚仓猝上阵之嫌,有的考生计算能力实在太差,基本计算错误屈层出不穷,也有些同学在概念、原理的理解上有偏差,逻辑推理不严谨,…….下面通过对几个考题的分析,希望对05年考研同学如何复习线代能有所帮助.
例1 (04,4)设,,其中P为3阶可逆矩阵,则=______________.
[分析]本题考查n阶矩阵方幂的计算.
因为
利用分块矩阵的方幂
易知
从而
那么,由有
因此
例2 (04,)设矩阵,矩阵B满足,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则
B
=_____________.
[分析]由于,易具本题
A
= 3,用A右乘矩阵方程的两端,有
又因,故
B
=
[评注]填空题难度不大,计算量也不会太大,主要考查考生对基本概念、定义、公式、基本定理、基本性质和基本方法的识记、理解、掌握和简单运用.同时考查快捷准确运算能力和简单推理能力.鉴于此考生在复习时要注重基础,对基本运算要正确熟练.要提高运算能力,不能华而不实,浮燥.
例3 (04,)设A,B为满足AB = 0的任意两个非零矩阵,则必有
(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关
(B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关
(C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关
(D)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关[ ]
[分析]设A是矩阵,B是矩阵,且AB = 0,那么
由于A、B均非零矩阵,故.
由秩的列秩,知A的列向量组线性相关.
由秩的列秩,知B的行向量组线性相关.
故应选(A)
例4 (04,)设n阶矩阵A与B等价,则必有
(A)当
A
= a时,
A
= a
(B)当
A
= a时,
B
= a
(C)当
A
时,
B
= 0
(D)当
A
= 0时,
B
= 0
[分析]所谓矩阵A与B等价,即A经初等变换得到B,而A与B等价的充分必要条件是A与B有相同的秩.
经过初等变换行列式的值不一定相等,也不一定是相反数.例如,若把矩阵A的等1行乘以5得到矩阵B,那么A与B等价,而
A
= a时,
B
= 5a,可知(A)与(B)均不正确.
若
A
,说明,而
B
= 0说明与A、B等价有相同的秩不符.(C)不正确.
当
A
= a,秩,故秩,那么
B
= 0,即(D)正确.
[评注]选择题主要用于考查考生对数学基本概念、基本方法的掌握程度以及比较、判别能力.还可以用于鉴别考生易于出现的方法和概念性错误.
例3把AB = 0、矩阵的秩、向量组的秩、向量组的线性相关性等概念串联、转换.例4把矩阵等价、行列式、矩阵的秩衔接起来,只有平时重视对概念的复习,多从不同的角度不同的侧面进行思考,接口切入点多了做题才能顺手.
例5 (04,3)设,,试讨论当a, b为何值时
(I)不能由线性表示;
(II)可由惟一地线性表示,并求出表示式;
(III)可由线性表示,但表示式不惟一,并求出表示式.
解设有效使得
记A = ( ).对矩阵(A、)施以初等行变换,有
(I)当a = 0, b为生意常数时,有
可知,故方程组(≠)无解,β不能由线性表示.
(II)当,且时,=3,故方程组(≠)有惟一解,
则β可由惟一地线性表示,其表示式为
(III)当时,对施以初等行变换,有可知= 2,故方程组(≠)有无穷多解,其全部解为,其中c为任意常数.
β可由线性表示,但表示不惟一,其表示式为.
例6 (04,)设矩阵的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
解A的特征多项式为.
若是特征方程二重根,则有,解得.
当时,A的特征值为2,2,6,矩阵的秩为1,故对应的线性无关的特征向量有两个,从而A可相似对角化.
若不是特征方程的二重根,为完全平方,从而,解得.
当时,A的特征值为2,4,4,矩阵的秩为2,故对应的线性无关的特征向量只有一个,从而A不可相似对角化.
[评注]解答题主要考查考生对数学的基本原理、方法、公式掌握和熟练运用的程度,证明题主要考查考生对数学主要定理、原理的理解和掌握程度.
例5线性表出是常规题,方法是基本的.例6考查含参行列式的计算,特征值、相似对角化的理论,综合性较强,从卷面看各种错误(计算的、概念原理的、逻辑上的)还是很多的,我们应看出即使是解答题线性代数题难度适中,正确复习之后完全能拿下,但概念性强,有一定的综合性与灵活性因此复习时要注意对概念的理解,对方法的把握,注意知识的内在联系,要确保基本计算准确熟练.
