汤家凤李永乐线性代数 李永乐谈2004年研讨生入学线性代数考题
本年线性代数共有20个考题,但数学一与数学二有4个题彻底一样,另一题的题型仍是一样的.差异仅在方程组未知数的个数是n与4,而数学三与数学四有一个题彻底一样,实习
上有14个纷歧样的考题,所触及的常识点有:
含参数的3阶、4阶及n阶行列式的核算,通过矩阵方程改换到笼统行列式的核算.
矩阵方幂的核算(触及类似、分块、对角等)、初等矩阵性质的运用、矩阵等价、AB = 0、正交矩阵几许含义、秩的概念与性质.
含参数向量的线性表出、由矩阵秩区分向量组线性相类.
齐次、非齐次线性方程组求通解、解的性质的运用、根底解系中向量个数的断定与求法.
求矩阵的特征值与特征向量、类似对角化的断定与核算、实对称矩阵特征值性质、由特征向量反求矩阵A.
二次型的秩
纵观04年考题,难度上比03年略有降低,要注重对根本概念、根本办法及原理的查核,注重常识点的联接与改换,试题的灵敏性有所加强.从阅卷反映出的疑问看,有些同学温习备考不厚实、有着手晚仓猝上阵之嫌,有的考生核算才干真实太差,根本核算过错屈层出不穷,也有些同学在概念、原理的了解上有误差,逻辑推理不谨慎,…….下面通过对几个考题的剖析,期望对05年考研同学怎么温习线代能有所协助.
例1 (04,4)设,,其间P为3阶可逆矩阵,则=______________.
[剖析]本题考察n阶矩阵方幂的核算.
因为
运用分块矩阵的方幂
易知
然后
那么,由有
因而
例2 (04,)设矩阵,矩阵B满意,其间A*为A的随同矩阵,E是单位矩阵,则
B
=_____________.
[剖析]因为,易具本题
A
= 3,用A右乘矩阵方程的两头,有
又因,故
B
=
[评注]填空题难度不大,核算量也不会太大,首要考察考生对根本概念、界说、公式、根本定理、根本性质和根本办法的识记、了解、掌握和简略运用.一起考察方便精确运算才干和简略推理才干.鉴于此考生在温习时要注重根底,对根本运算要精确娴熟.要前进运算才干,不能虚有其表,浮燥.
例3 (04,)设A,B为满意AB = 0的恣意两个非零矩阵,则必有
(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关
(B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关
(C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关
(D)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关[ ]
[剖析]设A是矩阵,B是矩阵,且AB = 0,那么
因为A、B均非零矩阵,故.
由秩的列秩,知A的列向量组线性相关.
由秩的列秩,知B的行向量组线性相关.
故应选(A)
例4 (04,)设n阶矩阵A与B等价,则必有
(A)当
A
= a时,
A
= a
(B)当
A
= a时,
B
= a
(C)当
A
时,
B
= 0
(D)当
A
= 0时,
B
= 0
[剖析]所谓矩阵A与B等价,即A经初等改换得到B,而A与B等价的充沛必要条件是A与B有一样的秩.
通过初等改换行列式的值不必定持平,也不必定是相反数.例如,若把矩阵A的等1行乘以5得到矩阵B,那么A与B等价,而
A
= a时,
B
= 5a,可知(A)与(B)均不精确.
若
A
,阐明,而
B
= 0阐明与A、B等价有一样的秩不符.(C)不精确.
当
A
= a,秩,故秩,那么
B
= 0,即(D)精确.
[评注]选择题首要用于考察考生对数学根本概念、根本办法的掌握程度以及比照、区分才干.还能够用于辨别考生易于呈现的办法和概念性过错.
例3把AB = 0、矩阵的秩、向量组的秩、向量组的线性相关性等概念串联、改换.例4把矩阵等价、行列式、矩阵的秩联接起来,只要平常注重对概念的温习,多从纷歧样的视点纷歧样的旁边面进行考虑,接口切入点多了做题才干随手.
例5 (04,3)设,,试评论当a, b为何值时
(I)不能由线性表明;
(II)可由专一地线性表明,并求出表明式;
(III)可由线性表明,但表明式不专一,并求出表明式.
解设有用使得
记A = ( ).对矩阵(A、)施以初等行改换,有
(I)当a = 0, b为生意常数时,有
可知,故方程组(≠)无解,β不能由线性表明.
(II)当,且时,=3,故方程组(≠)有专一解,
则β可由专一地线性表明,其表明式为
(III)其时,对施以初等行改换,有可知= 2,故方程组(≠)有无量多解,其悉数解为,其间c为恣意常数.
β可由线性表明,但表明不专一,其表明式为.
例6 (04,)设矩阵的特征方程有一个二重根,求a的值,并评论A是不是可类似对角化.
解A的特征多项式为.
如果特征方程二重根,则有,解得.
其时,A的特征值为2,2,6,矩阵的秩为1,故对应的线性无关的特征向量有两个,然后A可类似对角化.
若不是特征方程的二重根,为彻底平方,然后,解得.
其时,A的特征值为2,4,4,矩阵的秩为2,故对应的线性无关的特征向量只要一个,然后A不行类似对角化.
[评注]解答题首要考察考生对数学的根本原理、办法、公式掌握和娴熟运用的程度,证明题首要考察考生对数学首要定理、原理的了解和掌握程度.
例5线性表出是惯例题,办法是根本的.例6考察含参行列式的核算,特征值、类似对角化的理论,综合性较强,从卷面看各种过错(核算的、概念原理的、逻辑上的)仍是许多的,咱们应看出即使是解答题线性代数题难度适中,精确温习今后彻底能拿下,但概念性强,有必定的综合性与灵敏性因而温习时要留意对概念的了解,对办法的掌握,留意常识的内在联络,要保证根本核算精确娴熟.
