李津清华大学 清华大学高等数值分析作业(李津)2线性方程组数值求解
“高等数值分析”第四次书面作业20131010题目问:设,证明:①,;②。证明:设(N>0),(范数的连续性),因此,,由范数的连续性可得,。若不成立,则,令的第j项为1,其余项皆为0,则第i个元素为,且不趋于0,故不趋于0。
综上,(是M的上确界),,由于,由夹挤定理,由范数的连续性可知,。由特征值定义,易证,,所以,而非零,所以,所以。综上,#“高等数值分析”第五次书面作业20131012题目1问:设,而且非奇异,求解等价于极小化,试推导极小化这个泛函的最速下降法。
解:设,取,求出α,s.t.取得最小值,极小化的最速下降法:Step1给定,计算;Step2对于若,则停止;其中为一事先给定的停机常数;否则Step3转到Step220131012题目2问:A为一对称正定矩阵,证明是一种向量范数,且有,其中,分别为A的最大、最小特征值。
证明:首先证明是一种向量范数:①正定性由对称正定矩阵的等价性质可知,当且仅当时等号成立,因而,当且仅当时等号成立,正定性成立;②齐次性,其中,齐次性成立;③三角不等式由A的对称正定性质,存在可逆矩阵Q,s.
t.,因而,当且仅当共线等式成立。由上述两式可得,当且仅当共线等式成立,三角不等式成立。
由于A是对称正定矩阵,所以A的所有特征向量构成n维空间的一组正交基,设为,用这组正交基表示为由正交性质可推出由于对称正定矩阵的所有特征值都大于0,所以其中,分别为A的最大、最小特征值。
#“高等数值分析”第六次书面作业20131015题目1问:设A为一对称正定矩阵,如在求解的最速下降法中取为一固定常数。试分析其收敛性。解:由教材引理2.1.1,取,得对于正定矩阵A,,若,则,当时,,算法不收敛。
若,则,算法不收敛。因此,当时,算法收敛,否则不能断定算法收敛。20131015题目2问:,,取。用最速下降法求出,并计算出与(2.1.10)比较。解:Step1给定,计算;Step2容易得到,所以由矩阵A的特征系数,得由于,所以,满足不等式(2.
1.10),但由于,所以,两边差别不大,即收敛速度较慢。“高等数值分析”第七次书面作业20131017题目1问:推导在CG法中,可写成,。
解:将带入上式得又,所以由定理2.2.1,及公式和,推导完毕。20131017题目2问:证明在CG法中,至多n步即可得到方程的精确解,即一定是方程的精确解。证明:是经过n步极小化得到的,且,是n维线性空间的一组基,因此是方程的精确解(由A对称正定,方程一定有精确解),否则若存在是方程的精确解,且,这就违背了极小化的含义,因此一定是方程的精确解。
#“高等数值分析”第八次书面作业20131022题目问:利用性质“当时,”直接由算法公式证明:对且无中断时,有,并解释良性中断。
证明:Arnoldi算法:Step1Step2,,Step3,若,则;否则良性中断。从算法中可以看出,显然。
假设(),显然;由性质“当时,”可知,所以,继而,这就得到。综上,对于且无中断时,有。当出现良性中断时,,此时,即不再与线性无关,即此步前得到的线性空间对A不变,此时方程的解,由定理3.2.2知,此时得到的为方程的精确解。
“高等数值分析”第九次书面作业20131024题目1问:在Lanczos过程中,若不考虑舍入误差,证明与正交。证明:在Lanczos算法中,,且每个都是单位向量。当j=1,,即与正交。
假设与两两正交,那么显然对所有的k<j-1成立。即与正交。由数学归纳法原理知,在不计舍入误差条件下,与正交。20131024题目2问:A为对称矩阵,证明若A有重特征值Lanczos过程必然会中断,反之成立否?证明:假设Lanczos过程不中断,那么将进行到最后一步,得到,由定理2.
5.2,的特征值必然彼此不同,即没有重特征值,进而A没有重特征值。由反证法原理得,若A有重特征值Lanczos过程必然会中断。
反之,若Lanczos过程中断,A不一定有重特征值,例如,取,则,,过程中断,但A特征值为1、2、3,无重特征值,因而原结论反过来不成立。“高等数值分析”第十次书面作业20131029题目1问:当A可逆,证明:当时(k步良性中断),必有可逆。
证明:在arnoldi算法中,,设的一个特征值的特征向量是,则有,即也是A的特征值,对应特征向量为,进一步可以证明的所有特征值均为A的特征值。
由于A可逆,故A无0特征值,所以无0特征值,进而得出可逆。在上述证明中,矩阵无0特征值与矩阵的行列式值不为0是等价的,这由特征值的定义式就可以证明,是显然的。20131029题目2问:考虑线性方程组,其中A是对称正定矩阵,用Galerkin原理求解方程,,这里是一个固定的向量。
,,证明:其中,应该取哪个向量在某种意义上是最佳的?证明:利用A的对称正定性,等式得证。考虑取一定的使得最小,取
