大学物理刘国松 大学物理课后习题答案(高教版

第四章 角动量守恒与刚体的定轴转动 1、一水平的匀质圆盘,可绕通过盘心的铅直光滑固定轴自由转动,圆盘质量为 M ,半径为 R,对轴的转动惯量 I = mR 2 / 2 ,当圆盘以角速度 ω 0 转动时,有一质量为 m 的子弹沿盘的 直径方向射入而嵌在盘的边缘上,子弹射入后,圆盘的角速度为多少? 解:子弹与圆盘组成的系统所受合外力矩为零,系统角动量守恒,有 Iω 0 = Iω Rmv 1 1 MR 2ω 0 = MR 2ω mR 2ω 2 2 Mω 0 故: ω = M 2m 2、 如图所示, A 和 B 两飞轮的轴杆在同一中心线上, 设两轮的转动惯量分别为 I A = 10kgm 2 和 I B = 20kgm 2 ,开始时,A 轮转速为 600rev / min ,B 轮静止,C 为摩擦啮合器,其转动 惯量可忽略不计,A、B 分别与 C 的左、右两个组件相连,当 C 的左右组件啮合时,B 轮加速 而 A 轮减速,直到两轮的转速相等为止。

设轴光滑,求 : (1)两轮啮合后的转速 n 。 (2) 两轮各自所受的冲量矩。 解:选 A、B 两轮为系统,合外力矩为零,系统角动量守恒: I Aω A I Bω B = (I A I B )ω ωB = 0 I ω ω = A A = 20.

9rad / s IA IB ω n= = 200转 / 分 2π A 轮所受的冲量矩: A C ωA B dt = I A (ω ? ω A ) = ?4.

19 × 10 2 (N ? m ? s ) ? 负号表示与ω A 方向相反 ∫M ∫M A B轮所受的冲量矩 dt = I B (ω ? ω B ) = 4.

19 × 10 2 (N ? m ? s ) ? 方向与ω A 方向相同 B 3、质量分别为 m 和 2 m 的两物体(都可视为质点),用一长为 L 的轻质刚性细杆相连,系 统绕通过杆且与杆垂直的竖直固定轴 O 转动,已知 O 轴离质量为 2 m 的质点的距离为 L / 3 ,质量为 m 的质点的线速度为 v 且与杆垂直,则该系统对转轴的角动量(动量矩)大小 为多少? 解:m 作圆周运动,有 m L o L/3 2m 2 Lω 3 3v ω= 2L v= 系统角动量大小为 ?2 ? ?1 ? m? L ? ω 2m? L ? ω = mvL ?3 ? ?3 ? 2 2 4、质量为 m 的质点以速度 v 沿一直线运动,则它对直线上任一点的角动量为多少?对直 线外垂直距离为 d 的一点的角动量大小是多少? 解:对直线上任一点的角动量: ? ? ? ? L = r × mv L = rmv sin 0 0 对直线外一点的角动量: ? ? ? L = r × mv L = rmv sin θ = mvd 5、一根长为 L 的细绳的一端固定于光滑水平面上的 O 点,另一端系一质量为 m 的小球,开 始时绳子是松弛的,小球与 O 点的距离为 h 。

使小球以某个初速率沿该光滑水平面上一直线 运动,该直线垂直于小球的初始位置与 O 点的连线。当小球与 O 点的距离达到 L 时,绳子 绷紧从而使小球沿一个以 O 点为圆心的圆形轨迹运动,则小球作圆周运动时的动能 E k 与初 O 动能 E k 0 的比值为多少? 解:由质点角动量守恒,有: h L V0 V hmv0 = Lmv v h = v0 L EK h2 则: = Ek 0 L2 6、一刚体以每分钟 60 转绕 Z 轴做匀速转动( ω 沿 Z 轴正方向) ,设某时刻刚体上一点 P 的位置矢量为 r = 3i 4 j 5k ,其单位为“ 10 ?2 m ” ,若以“ 10 ?2 m / s ”为速度单位, 则该时刻 P 点的速度为多少?(用矢量表达式表示) 解:由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? v = ω × r = ω k × 3i 4 j 5k ? ? = ?4ω i 3ω j ( ) 而 ω = 2πn = 2π 7、有一质量为 m ? ? ? ? ? 60 = 2π → v = ?4 × 2πi 3 × 2πj = ?25.

1i 18.8 j 60 1 、长为 l 的均匀细棒,静止平放在 O 滑动摩擦系数为?的水平桌面上,它可绕通过其端点 O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动.另有一水平运动的 质量为 m2 的小滑块,从侧面垂直于棒与棒的另一端 A 相碰撞,设碰撞时间极短.

已知小滑块在碰撞前后的 m1 ,l m2 A 俯视图 ? ? 速度分别为 v 1 和 v 2 ,如图所示.求碰撞后从细棒开始 转动到停止转动的过程所需的时间.

(已知棒绕 O 点的转动惯量 J = 1 m1l 2 ) 3 解:对棒和滑块系统,在碰撞过程中,由于碰撞时间极短,所以棒所受的摩擦力矩 <<滑块 的冲力矩.

故可认为合外力矩为零,因而系统的角动量守恒,即 1 分 m2v1l=-m2v2l m1l 2ω 碰后棒在转动过程中所受的摩擦力矩为 l 1 3 ① 3分 M f = ∫ ? ?g 0 由角动量定理 由①、②和③解得 m1 1 x ? d x = ? ?m1 gl l 2 t 2 1 ∫0 M f dt = 0 ? 3 m1l ω v v2 t = 2m2 1 ?m1 g ② ③ 2分 2分 2分 8、一质量为 m 的小物块用绳系住,以角速度ω0 在光滑台面上作半径为 r 的圆周运动, 绳的另一端穿过台面小孔,以一力向下缓缓牵引,使小物块的旋转半径减至 r /2 ,求小物 r m ? v1 块此时的速率。

解:小物块受合外力矩为零,系统角动量守恒,有 rmv 0 = r mv → v = 2v 0 = 2rω 0 2 9、物体 A 和 B 叠放在水平桌面上,由跨过定滑轮的轻质细绳相互连接,如图所示.

今用大 小为 F 的水平力拉 A.设 A、B 和滑轮的质量都为 m,滑轮的半径为 R,对轴的转动惯量 J = 1 mR 2 .AB 之间、A 与桌面之间、滑轮与其轴之间的摩擦都可以忽略不计,绳与滑轮之 2 间无相对的滑动且绳不可伸长.

已知 F=10 N,m=8.0 kg,R=0.050 m. 求:(1) 滑轮的角加速度; (2) 物体 A 与滑轮之间的绳中的张力; (3) 物体 B 与滑轮之间的绳中的张力.

解:各物体受力情况如图. 图2分 1分 1分 R B A F-T=ma T ′ =ma ( T ? T ′ ) R= 1 mR 2 β 2 1分 1分 a T’ β T T T ’ a=Rβ 由上述方程组解得: B a A F β =2F / (5mR)=10 rad·s T=3F / 5=6.

0 N -2 2分 1分 1分 T ′ =2F / 5=4.0 N 10、两个匀质圆盘,一大一小,同轴地粘结在一起,构成一个组合轮.

小圆盘的半径为 r, 质量为 m;大圆盘的半径 r ′ =2r,质量 m′ =2m.组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光 滑水平固定轴 O 转动,对 O 轴的转动惯量 J=9mr2 / 2.

两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳, 细绳下端各悬挂质量为 m 的物体 A 和 B,如图所示.这一系统从静止开始运动,绳与盘无 相对滑动,绳的长度不变.已知 r = 10 cm.

求: (1) 组合轮的角加速度β; (2) 当物体 A 上升 h=40 cm 时,组合轮的角速度ω. 解:(1) 各物体受力情况如图. 图2分 1分 1分 1分 1分 1分 O m,r T-mg=ma mg- T ′ =m a ′ A B T ′ (2r)-Tr=9mr2β / 2 a=rβ β a A T B N mg a ′ =(2r)β 由上述方程组解得: β=2g / (19r)=10.

3 rad·s-2 (2) 设θ为组合轮转过的角度,则 1分 T mg θ=h / r ω 2=2βθ 2分 所以,ω = (2βh / r)1/2=9.08 rad·s-1 11、半径为 20cm 的主动轮,通过皮带拖动半径为 50cm 的被动轮转动,皮带与轮之间无相 对滑动,主动轮从静止开始作匀角加速转动。

在 4s 内被动轮的角速度达到 8πrad/s , 则 主动轮在这段时间内转了多少圈? 解:主动轮转过的角度: θ1 = ω 1 2 β 1 t 1 , 又β 1 = 1 2 t1 而两轮线速度相等: r1ω 1 = r2ω 2 由上几式知: θ 1 = 1 r2 ω 2 t1 2 r1 故主动轮在这段时间的转的圈数: n = θ1 = 20转 2π 12、 已知地球的质量为 m ,太阳的质量为 M ,地心与日心的距离为 R ,引力常数为 G , 则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为多少? 解:地球绕太阳作圆周运动,万有引力充当了向心力,有: G Mm v2 GM = m ∴v = 2 R m R GM = m GMR R 作地球对太阳的角动量: L = Rmv = Rm 13、一质量 m = 6.

00 kg、长 l = 1.00 m 的匀质棒,放在水平桌面上,可绕通过其中心的竖直 固定轴转动,对轴的转动惯量 J = ml 2 / 12.t = 0 时棒的角速度ω 0 = 10.

0 rad·s?1.由于受到恒 定的阻力矩的作用,t = 20 s 时,棒停止运动.求: (1) 棒的角加速度的大小; (2) 棒所受阻力矩的大小; (3) 从 t = 0 到 t = 10 s 时间内棒转过的角度.

解:(1) 0=ω 0 β t β=-ω 0 / t=-0.50 rad·s-2 (2) Mr =ml 2β / 12=-0.25 N·m 2分 2分 (3) θ10=ω 0t 1 2 β t =75 rad 2 1分 14、一均匀细棒长 L ,质量为 m ,可绕经过端点的 O 轴在铅直平面内转动,现将棒自水 平位置轻轻放开,当棒摆至竖直位置时棒端恰与一质量也为 m 的静止物块相碰,物块与地 面的滑动摩擦系数为 μ,物块被击后滑动 s 距离后停止,求相撞后棒的质心离地面的最大 高度。

解:取棒和地球为一系统,机械能守恒, 1 2 1?1 2 ? 2 L 3g Iω = ? mL ?ω = mg → ω = 2 2?3 2 L ? 取棒和木块为研究对象,碰后棒的角速度为 ω’,木块的速度为 v,碰前后 M 外=0。

故角动量 守恒,有: 1 1 mvL mL2ω ′ = 0 mL2ω 3 3 物体碰后应用动能定理,有: ? ?mgs = 0 ? 1 2 mv → v = 2?gs 2 由上几式得: ω ′ = ? 3 ? Lg ? 2 ?gs ? ? ? L? 3 ? 1 Iω ′ 2 2 设棒与物体碰后,棒的质心升高Δh, 由机械能守恒: mg?h = 故: ?h = L 3?s ? 6 ?sl 2 h= L ?h = L 3?s ? 6?sL 2 即质心离地面的最大高度: 15、 半径为 R , 质量为 m 的匀质圆盘, 放在粗糙桌面上, 盘可绕竖直中心轴在桌面上转动, 盘与桌面间的摩擦系数为 μ,初始时角速度为ω0 ,问经过多长时间后,盘将停止转动? 摩擦阻力共做多少功? m 2mr 2πrdr = 2 dr 2 πR R 2 ? mg 环带所受摩擦力对轴的力矩: dM = ? rdf = ? r 2 dr 2 R R 2?mg 2 2 圆盘所受摩擦力矩: M = ∫ dM = ∫ ? r dr = ? ?mgR 2 0 3 R t 1 根据角动量定理 ∫ Mdt = Iω ? Iω 0 = ? mR 2ω 0 0 2 解:在圆盘上取环带微元,其质量 dm = 故 2 1 ?mgRt = mR 2ω 0 3 2 1 1 2 2 Iω 0 = ? mR 2ω 0 2 4 即: t = 3Rω 0 4 ?g 由动能定理求摩擦力的功: A = 0?