丘维声线性代数 线性代数从矩阵和行列式入门真的是最恰当的学习方法吗?

2018-01-10
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文章简介：其实应该从集合.逻辑.函数.二元运算入手,然后进入群.环.域的基本内容. 这以后再学线性代数. 随着数学逐渐发展,这样的教学法将成为主流.从

其实应该从集合、逻辑、函数、二元运算入手,然后进入群、环、域的基本内容。 这以后再学线性代数。 随着数学逐渐发展,这样的教学法将成为主流。从更高的观点和更基本的结构去研习一门学科,标志着一种走向成熟的进步。

按这种思路展开的经典代表作:戈德门特《代数学教程》,柯斯特利金《代数学引论》。这两本书一本是法国教材,另一本是前苏联教材,就我个人的学习体验——无论是与“从具体入手逐渐抽象(解方程组→逆序→行列式→矩阵……)”这一思路的各种教材相比,还是与“从相对抽象落实到具体(向量空间→线性相关/无关→基与维度→极大线性无关→线性变换及其矩阵表示→同构、秩零定理→行列式→方程组理论→特征值、特征向量→内积空间理论→乔丹标准型…)”这一思路的各种教材相比,都要痛快淋漓得多!

它会让你感到你是在从现代数学基本与核心范式起步,把一切都讲得清清楚楚,不留任何漏洞。 给这种思路做一描述——从现代数学使用的最简单,最基本,同时却也最抽象(注意:抽象,但绝不复杂)的底层概念入手,利用逻辑与形式化得到有效结论,并逐渐联系到具体、现实的对象从而拓展认知边界。

严格、透彻、完整并一以贯之地处理问题可以带来深刻的认识,基于此观念上的学习可令人获得一眼看穿研究对象的洞察力,这便是现代数学的精髓所在!

而线性代数只是反映了这一精髓的一种范式而已,如果要好好掌握它,自然是从精髓本身入手——内容高于形式(其实数学上应该说,概念高于范式)。

作为一个现代的学习数学的人,与时俱进不是政治口号,而是指数学思维的进化。具体而言,就是有意识地从最高深,同时也最基本的观点/概念看问题,并着力培养、习惯于这样的思维方式。这才是进步。毕竟,大学,还是和中学有着本质的不同的。