几何-拓扑专业教材图书推荐汇总(★★★★★

几何是非常美妙的,通常人们提到几何的时候会把直观两个字加上去.这其实是很有道理的,在微分几何中也不例外.具体的说,就是虽然微分几何往往会使人感觉被淹没在计算的***大海,但是有一个几何的"感觉"是很有帮助的.现在用的课本应当是1.苏步青,胡和生等

"微分几何"这书写得不错,至少比北大陈维桓的那本"微分几何初步"要好多了.这很大程度上应当感谢本书的主要作者,也就是书上列的第三作者沈纯理先生,他现在在华师大.
应当承认这本书,特别是第三章
2.DoCarmo(多卡模)
"曲线和曲面的微分几何学"
"Differential Geometry of Curves and Surfaces"
这是本绝对的好书,胡先生他们把这本书翻译出来实在是功德无量.在总书库里面有一本英文本,
如果怀疑有什么翻译问题的话可以去对照.

(1).第三章里面有个习题是从2.的中译本上搬过来的,不过有题意不清之嫌.做的时候要小心.还有一点要注意的是1.里面曲面论基本定理的证明中有个地方漏印了两项,具体去问黄宣国老师吧.
一般说来,看上面两本书也就够了,可以考虑的扩充部分包括在2.的末尾所开列的参考书目.
这是我很少见到的带书评的书目.里面提到的一些经典的著作在数学系资料室都能找到,
比如
3.Eisenhart
"Diffenrential Geometry(?)"
谷先生读书的时候就念过这本.
还有象
4.Darboux
"Lecons sur la theorie generale des surfaces"
在系资料室里偏偏缺最常被引用的第二卷.
古典微分几何的开山之作是
5.Gauss
"Disquisitiones generales circa superficies curvas"
这是拉丁文的(Gauss只有晚年最后的一些东西是用德文写的),所以虽然系里有Gauss全集,我也不认为有
人能看懂,不过现在我们有下面的
6.P.Dombrowski
"150 years after Gauss' 'Disquisitiones generales circa superficiescurvas' "
这里面有完全的英文翻译和里面的结果到20世纪70年代末的发展情况.

对于中文的课本,其实总数就不是太多.有象7.吴大任
"微分几何学(?)"
或者五十年代翻译苏联的课本等等,内容都差不多,而且微分几何的特点是各人都喜欢用自己的一套符号,
许多符号,象曲率等等,常会有正负号的差异,所以建议认定一两本,其它简单翻翻即可.
所以说想找讲解详细的书还不如看
8.沈纯理,黄宣国
"微分几何"(经济科学出版社,97)
虽然说这本书是自学考试的教材.
那里的习题也是有较详细解答的.
更难一些的习题可以在
9.姜国英,黄宣国
"微分几何100例"里面的题目全部做下来的话,应付期末考试绝对是没有问题的.
而且,如果老师有心考点难题的话,说不定就会有里面的题目.
此外还有两本苏联人的书
10. A.S. Mishenko, A.T.Fomenko"微分几何与拓扑学教程"(中译本,第一册,第二册)
我没有看到过是否有第三册,反正这书是没有翻全.其处理方法别具一格.我想这书要不是
非常好的话,胡先生也不会去翻它.
忻元龙老师有时候会开一门"极小曲面",这里的特点是甚至可以不引进
流形等概念,出现的最难的工具有时候就是单复变的一些结果.这门课的参考书大概首推
11.R.Osserman
"Lectures of Minimal Surfaces"
此书篇幅不大,但内容丰富.
其它还有
12.J.C.C.Nitsche
"Lectures on Minimal Surfaces"(Vol.1)
这书学校里面肯定有.这里面关于Plateau问题讲得很全,可惜至今我没见到第二册,而原来的德文版
又看不懂(上面写的是英译本):-(
注意到微分几何有许多东西并不象大家想象的那样古老,比如第三章里面提到的Fray-Milnor定理,那J.Milnor还好好活着呢?再比如说等温参数,几乎必引的文献就是陈省身先生55年的文章.这些文献,系里的资料室里面都是有的,看原始文献可以让人逐步体会一样东西在它刚刚出现的时候是个什么样子,
这和经过无数再处理后写进课本的讲法往往是不一样的.
补充一本:
《微分几何》 苏步青 原著 姜国英 改写就是那本黄颜色封面的,理图里有借
这本书的原版据说晦涩难懂,但即使改写以后,根据潘老师的讲法,看起来也比较费劲。
印象比较深的有,书中单独的一节讲了Bertrand曲线,对于等周问题,该书也给出了好几种不同的证法。
(最近的几期美国数学月刊里,对于该问题也集中给出了几个比较初等的证明和若干相关命题)
另外,该书的一个特色是几乎每道练习题都附有最先证明该命题的人名和时间。使人能够感受到微分几何发展的脉搏。
《微分几何一百例》确实是一本很好的书,
这本书很薄,所以可以在两三天里面看完。但是建议在看解答的时候最好先自己想一想,
因为书中有些题目的解法并不是最简洁的。yjyao师兄猜得很准啊,我们上个学期考试的时候
有一道题目就是来源于这本书,当时做出的人不多。(不过往往是这样,难的题目分值就少,真是%^*@)
点集拓扑

1.李元熹,张国(木梁)"拓扑学"的前两章还是不错的.至少该讲的东西都讲了,而且后面罗列(我想不出还有什么更好的形容词)了许多习题,做上一遍是很有趣的一项工作.
中文的参考书里面好象
2.熊金城
"点集拓扑讲义"
是比较好的.该书也有些名气.
不过要好好学,可能还是看下面的两本
比较经典的书:
3.J.L. Kelley
"General Topology"(GTM 27)
此书名头很响,55年出版的时候应该算得上是把这一领域里面的结果做了个很好的好的总结.该书是想写成课本的,因此每章后面都有习题,按A,B,C,D,...编号.只是....真要做起来未免有些困难.听说过这样一个故事,就是曾有一位华裔数学家回国讲学的时候于酒席间说他的老师要他去学拓扑,指明看Kelley的书,而且要习题全做.结果大家都笑了,因为大家都明白这目标不是很现实.我个人的经验是,在那个学期陷入各类
考试的重围中之前,还做了前面两三章的题目.是比较困难,但是做起来也非常有趣.
再补充一本中文的书,内容和1.差不多
4.尤承业"基础拓扑学"是北大的教材.
5.I.M.Singer, J.A.Thorp
"Lecture notes on elementary topology and geometry
(中译本:(基础?)几何学与拓扑学讲义,干丹岩译)这是本极好的教材,应该可以用深入浅出来形容吧!
第一作者Singer就是和Atiyah一起证指标定理的那位,说是重量级人物当无疑义.
如果你只想查结果,我觉得可以去找
6.R.Engelking
"General Topology"
这书是七十年代末写的,内容翔实,至少对我来说是有包罗万象的感觉当然对做这一块的人就不一定了.
按照萧先生的速度,大概第二章还是能讲大半的.这里属于代数拓扑的起始部分,参考书一下子就比前面的多多了.
讲代数拓扑的书,可能
7.Greenberg
"Lectures on Algebraic Topology"
属于写得很通俗易懂,
配置合理的那一类.
还有象GTM里面的
8.W.S.Massay
"Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56)
也是写得很好的书.
1.

Spanier's "Algebraic Topology" can not beneglected. it isa classic in this field, though it is not easy to read.
2.
Aleksandrov's " Combinatorial Topology " is very good for beginner.it
is an authority in history.but it is too large, it contains 3volumes.
3.
Bredon's " Topology and Geometry"(GMT139) is praised as thesuccessor of
Spanier's great book.
这个学期刚刚在学拓扑,做些补充的说。
拓扑学是在十九世纪末兴起,并在二十世纪中蓬勃发展的数学分支,现在已与近世代数,近世分析共同成为当代数学理论的三大支柱。

如果先要对该学科有一个感性的认识的话,建议看《拓扑学奇趣》巴尔佳斯基叶弗来莫维契 合著

这本书只有不到两百页,可是覆盖的面很广,也有一定数量的有启发性的题目。M.A.Armstrong的《基础拓扑学》也是一本不错的书。
由于该书中的讨论范围有很多是基于Hausdorff空间,有些是甚至是在度量空间里讨论问题的,
所以一些定理的证明就变的比较简单易懂,例如Urysohn引理。由于侧重点不同,这本书对复旦现在的课本是很好的补充。现在想来讲两句"微分流形",我想大概给94开的是第一次,当时是作为基础专业的选修课的,
我是逃了三分之一的抽象代数课去听的(当然,应该解释为为听这课逃掉了三分之一的抽象代数课,由于其他原因的还不算在内*_^),最后参加考试,因为没选这课,所以就和黄老师商量,如果没有A的话就算了,结果就是我这课没有成绩--那课只有今年要去Stanford的哥们拿了个A.
说正经的,微分流形可以认为是"(微分)流形上的微积分与微分几何初步".在目前教材尚未确定的
情况下,我们只能来看一下具体的内容了:-((当然我想说还是有本教材的好,这样至少有个明确的目的,
不然尽管大家都可以直接把笔记拿来当讲义,但总是有点别扭的,我以为)
首先自然是流形的概念,我们自然不能指望从Bourbaki的"流形"开始念,一般来说,在任何一本讲微分
几何的书里面都有这一概念的介绍,只不过详略不同而已.
复旦曾经有相当长的一段时间用
1.W.M.Boothby
"An Introduction to Differentiable Manifolds and RiemannianGeometry"
作为微分几何课本,从某种技术性的观点来说这书可能太罗嗦,讲到流形上的向量场就用了100多页的篇幅,
但是我觉得初学看这书还是很好的,毕竟讲得相当详细,几乎所以的东西都是有详细证明的.
图总书库里面有不少.
讲到流形总是有两种引进方法,一是从一开始就讲一个局部和欧氏空间中的开集同胚的Haussdorf空间....然后再讲微分结构等等.

有中文书版本2.陈省身,陈维桓
"微分几何初步"
很有大师风范,只是印刷质量不算太好.(至于陈维桓自己写的那本北大教材,我比较倾向于引用北大一位师兄的说法:"陈还写过一本微分流形,给人的感觉是话说了很多,但还是摸不着头脑,例如dx,dy究竟是何意",所以,还是免了吧)
另外被认为写得比较好的中文书有
3.白正国,沈一兵,水乃翔,郭效英
"黎曼几何初步"
这书的特点--要说就在于没有特点,那实在是太过分点了--我认为还是在于很细致,既然不用象Boothby那样在拓扑流形上花时间,进入正题可以说比较快,而且有不少习题,书末更有一个索引,实在是本好书.
有胃口的话,还可以看看
4.B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov
"Modern Geometry--Methods and Applications"
的第一,二卷(GTM 94,103,世界图书新印过).

该书的作者都是名家,除了对于这门课就事论事来说可能难了点外应该说不出有什么不好.至少可以看看第二卷的第一章.
二是从欧氏空间中的子流形开始讲.这样的好处应该说是可以马上看到很多例子,
另外毕竟大多数情况下流形只有放在仿射空间或者射影空间里面才有点意思
(至少在开始阶段是这样),从这一角度出发写的微分几何课本中有一本
5.Gallot, Hulin, Lafontain
"Introduction to Riemannian Geometry"(?)
是Springer-Verlag的Universitext中的一本,应该说写得很好,评价(我听到的)也很不错.
用这种观点(其实用前一种观点也一样,多元函数的反函数定理,隐函数定理都是要明白的.
J.Milnor曾经写过两本很有意思的书,里面的讲解都是非常精彩的,
6.J.Milnor
Topology from a differential point of view
(中译本:从微分观点看拓扑)
7.J.Milnor
MorseTheory(中译本:莫尔斯理论)如果还没给赔光的话理图里面应该都是有一些的.
讲到微分形式,自然可以讲流形上的积分,以及Stokes公式等等.这里有
8.Spivak
"Calculus on Manifolds"(?)
(中文名字就叫"流形上的微积分") 流形"
可以一看.
有一点,就是大家千万不要只会用Stokes公式,真给你一个流形上的体积元去积一下反而不会,这千万要不得.作为练习,不妨试试复射影空间CP^n上的Fubini-Study形式积出来是多少?
9.V.I.Arnold
"Mathematical Mathods of Classical Mechanics"
里面关于微分流形,微分形式等等的介绍也很简单明了.
还可以一看的书有
10.R.Narasimhan
"Analysis on Real and Complex Manifolds"
(中译本:实流形和复流形上的分析,科学,1986)
陆柱家翻译这书是花了功夫的,连印刷错误都一一纠正.我想至少前一百页是可以看的.
11.苏竞存
"流形的拓扑学"
此书块头很大,内容翔实,而且有很多作者加的话,很有意思.
有一本书,可能不入高手法眼,不过我觉得是很不错的,
12.C. von Westenholz
"Differential forms in Mthematical Physics"
(这书有两个中译本,书名都是数学物理中的微分形式,理图里面至少有一个版本)
这是写给念物理的人看的,因此只有条条框框,很多定理都没有证明.但是好处在于:条理是清楚的,例子是丰富的(虽然很多例子没有展开,但是至少开始阶段该有的基本上都有了),而且这书里还能给人一个大概的概念,这些东西学了都可以干什么用(主要是写了一些在理论物理中的应用).对于到考试前还有点不知所云的人(比如说我那时候),应该说帮助不小.
至于侯伯元,侯伯宇的那本"物理学家用微分几何",
可能是太深了点,非物理学家不能理解.