彭实戈随机微分方程 倒向随机微分方程理论的一段往事——彭实戈

当年,我和Pardoux写的关于倒向随机微分方程 简称BSDE 理论的那篇文章发表在一个叫《Systems and Control Letters》的"小杂志"上。那是一个"有心栽花花不开,无意插柳柳成荫"的故事。

  BSDE的文章发表于1990年,而这项研究的实际完成是在1989年4月。其时我从法国回来,正在复旦大学做博士后 1988年开始 。数学系的李训经教授在复旦组织了一个每周一次的控制论讨论班,讨论班的一个重点是随机系统的最优控制问题。

当时雍炯敏刚从美国回来,在复旦任副教授,陈叔平在浙大,经常到复旦来参加讨论班。李老师有两个博士生胡瑛和周迅宇 我刚到复旦时,周迅宇还在日本Nisio教授那里,大概属于联合培养 ,他们都具备了非常好的概率论和随机分析的基础。

我说非常好,是相对于我这个刚从法国著名的Pardoux研究团体回来的"洋博士"而言的。当时从国外回来的"洋博士"还不算多,大家都对我们"另眼相待"。

回国后看到复旦的这些博士生的基础打得如此之牢固,令我十分佩服。   讨论班的学术气氛很热烈,有两个主攻方向:一是无穷维系统最优控制的最大值原理;一是随机最优控制问题,扩散项含时间的随机控制系统最大值原理是当时大家关心的公开难题之一。

那是一个硕果累累的年代,产生了一批令国际同行刮目相看的研究成果,称其为"Fudan Group"。   复旦对于博士后的生活安排得非常周到。

我有一个二室一厅的套间,里面是整套全新的家具。胡瑛是这里的常客——几乎每天都来。经常是进门后没说几句话就坐下来,拿出纸和笔来讨论问题,累了就到校园里去散一会儿步,饿了就出去找个饭店或到食堂吃一顿。

我们两个合作写了好几篇文章,当时的主攻方向是广义的和无穷维随机系统的最大值原理。李训经和雍炯敏先生也经常来访,我们也经常去李老师家。我们有一些合作的具体题目。休息的时候,也经常谈及几个"大问题",其中之一就是Bismut在讨论随机最大值原理的时候引入的一个非常奇特的线性的倒向随机微分方程。

我在巴黎留学时的导师 A.Bensoussan对这个问题有一个非常系统的研究。

但它的真正含义是什么﹖在—般非线性情况下的情况有没有解﹖还有一个是扩散项含控制时的最大值原理,这个问题十几年来一直没有被解决,困难的实质在哪里﹖这些都还很不清楚。但是我当时的态度比较现实:问题很有趣,值得聊聊。

但是这些问题太大,太难,而且复旦的随机控制研究还只是在起步阶段,没有名师可以请教,所以这些问题不能作为我目前的主攻方向。我那时的感觉是,这些都是很远的将来才可能被解决的事情。

  但是有一天,我对胡瑛说,我感到我找到了解决扩散项含控制的随机最大值原理困难的关键,就是说,一般随机控制系统的最大值原理可以解决了,而且其最终的形式是很奇特的!我在如何引二阶项的共轭方程方面遇到了—些困难,但很快就找到了—个巧妙的解决办法,这个共轭方程是矩阵值的线性的BSDE。

此后我用了将近两个星期的时间将结果整理写出,并且在讨论班上报告了这个结果。   我完成了—般随机最大值原理的证明之后,整理打印好文章,于1989年2月寄到《SIAM Control》杂志。

SIAM编委对此结果给以很高的评价,很快接受并于第二年发表。这是我第一次解决一个公认的公开的难题,我想这一点对接下来解决BSDE的存在唯一性定理是很有影响的。

首先,处理—般最大值原理一个关键就是矩阵值的线性BSDE。更重要的是心理方面的,我的自信心提高了很多,不再把前面提到的那些难题作为"很远的将来才可能被解决的事情"了。   4月份,我用博士后基金邀请Pardoux教授来访(博士后可以有基金来邀请外国专家,这也可以算是一个中国的特色