南开大学组合数学中心

2011年5月13日,山东大学数学学院院长、长江学者特聘教授刘建亚教授来到组合数学中心,为师生们讲述“素数的故事”,语言幽默生动,举例简单明了,并配以丰富的图片与数学家有趣的小故事,使我们在了解数论史的同时,感受其中的哲学思想。陈永川教授主持了本场报告,诚挚感谢刘建亚教授带给我们的启迪与感悟。

刘教授的报告从以下几方面展开:

数论研究整数的性质,实际上是高等算术。但研究的方法各种各样,比如用数指头的方法。从这个层面上来讲,只要识数,就可以研究数论,数论并不神秘。但数论又不是最简单的数学,伟大的高斯说:“数学是科学的女王,而数论是数学的王冠”。

数学建立在数系的基础上,整数是非常基本的,而有一类比整数更基本的数,即是素数。什么叫素数呢?如果一个整数不能分解成两个都比它小的整数的乘积,这个数就是素数,如2、3、5、7、11、13,……就是一列素数。

关于素数,首先,素数是构成整数的基本元素,因为任何一个大于1的整数都可以唯一地写成素数方幂的乘积,素数就好像化学元素周期表里的元素,所以素数对我们来说非常重要。那么素数是如何分布的呢?粗看好像没什么规律,似乎有很多对孪生素数:3、5;5、7;……这个“孪生素数有无穷多对”的古希腊猜想,至今还没有被证明。

素数之间的距离可以是2,另一方面,又可以证明素数之间的距离可以是任意大,即对于任意一个,都可以找到长度为的区间里可以没有素数。

素数的分布不简单,数论不简单。

素数的分布不简单,那我们研究素数的个数。即取定一个很大的,前面有多少个素数呢?我们将其记为。当趋于无穷大时,也趋于无穷大,这个证明不难,但很巧妙。那么作为一个潜在的数学家,一定会问:以什么速度趋于无穷大呢?

1792年,15岁的高斯(C. F. Gauss 1777-1855)猜测:以 的速度趋于无穷大。这个猜想也是人类历史上唯一的一个关于素数分布提出的正确猜想。“数学家之王”高斯17岁解决了古希腊的数学难题,证明了什么样的正多边形可以用尺规作图,19、20岁证明了二次互反律与代数基本定理。

由于他对数学的伟大贡献,他的头像被画在了老版的德国马克上。对此,刘教授幽默地讲到:“相信世上有英雄,我们的日子会好过一点。我们得承认,有些人确实和我们很不一样,有高人在世”。这个猜想告诉我们,素数在整数中的密度是,当趋于无穷大时,这个密度趋于零。

高斯在1792年提出该猜想,而猜想的证明,很多年都没有明显的进展。直到1852年左右,俄国数学家切比雪夫(Chebyshev,1821-1894)证明了一个不等式:0.99

10),说明的阶一定是,但是依然不能证明等价于,不过无论如何,这是一个很大的进展。

关于高斯猜想的研究,一个深刻的联系是由黎曼(Riemann,1826-1866)建立起来的。当高斯在哥廷根大学(University of Gottingen)担任教授时,黎曼是本科生。高斯将他的教授职位传给狄利克雷,狄利克雷之后又将教授职位传给黎曼。

他在1859年被选为科学院院士时,作了一个演讲:“论不超过一个给定值的素数的个数”。黎曼一生写了不到10篇文章,而且每篇都很不一样,有关于几何基础的,有关于傅里叶级数的,还有关于数论的。

黎曼的这个演讲印在书上大概只有8页。他定义了黎曼ζ 函数ζ(s) = (Re(s)>1) ,证明了ζ 函数在1的右边是解析函数;他进而将ζ 函数解析延拓到全平面上,证明了这个函数有无穷多个非显然零点。

根据高斯的定理,一个多项式零点的个数等于多项式的次数,ζ 函数有无穷多个零点,肯定是一个超越函数。这无穷多个非显然零点都落在 的带子内,而且关于中轴线对称。但黎曼不能排除零点会落在带子的边上。

到此,人们不禁会问,数素数的个数本来是一个数指头的事情,但黎曼没数指头,而是定义了一个半纯函数,还证明了它有无穷多个零点,而且关于中轴线对称,黎曼这是想研究高斯猜想吗?事实上,黎曼还证明:如果带型的边上没有零点,高斯猜想就正确,这是非常令人震惊的。

实际上,这是零点分布结果的一个推论,也可以认为是数学史上关于数学内部的最深刻联系之一。黎曼自己没有做出证明就去世了,但他提供了研究高斯猜想的正确的方法:用分析的方法去研究数论——解析数论。

黎曼还提了一个猜想,所有非显然零点只能落在中轴线上。之所以这么认为,有美学的原因在里面,因为如果世界是完美的话,零点应该最大可能的远离带形的边界,而且黎曼还证明零点是关于中轴线对称的,而零点都落在中轴线上的话,自己当然和自己对称。更难能可贵的是,黎曼对这个没有显然表达式的函数,用手算出了三个零点,其实部都为1/2。

黎曼猜想等价于高斯所猜测的公式具有最佳的逼近度。素数定理是怎么证明的呢?完全是按黎曼所指出来的哲学路线证明的。再经过几十年的研究,被两位伟大的讲法语的数学家所解决。1896年,法国数学家哈达玛(Hadamard, 1865-1963)和比利时数学家普森(Vallée-Poussin, 1866-1962)先后独立给出证明:带形的边上没有零点,进而推出高斯的猜想是正确的。

黎曼猜想到现在还没有实质性的进展,一个不知是好还是坏的消息是:利用计算机演算出来的非显然零点,其实部都等于1/2;超越计算机的成果是英国著名数学家哈代(G. H. Hardy 1877-1947)证明了有无穷多个零点落在中轴线上;Fields奖得主塞尔贝格(A.

Selberg)证明了有(b>0) 的零点落在中轴线上。目前最好的结果是差不多一半零点落在中轴线上,但这种方法只会增加信心证明黎曼猜想,而不一定是条正确的路。

2000年5月24日,美国克雷(Clay)数学研究所公布了7个千禧数学问题。每个问题的奖金均为100万美元。其中黎曼猜想被公认为目前数学中(而不仅仅是这7个)最重要的猜想。这七个猜想中,庞加莱猜想已经被证明,黎曼猜想与BSD猜想是数论中两个重要的猜想。

黎曼猜想并非第一次在社会上征寻解答,早在1900年的巴黎国际数学家大会上,德国数学家希尔伯特(D. Hibert 1862—1943)列出23个数学问题。其中第8问题中便有黎曼猜想(还包括孪生素数猜测和哥德巴赫猜想)。更有趣的是,希尔伯特说:“一千年之后,如果我能复生,第一句话要问:难道黎曼猜想竟然被证明了吗?”

这个猜想是哥德巴赫(Goldbach, 1690-1764)与欧拉(Euler, 1707-1783)通讯时所提出的。1742年,哥德巴赫以一个外交官的身份在莫斯科,当时欧拉在圣彼得堡。哥德巴赫在给欧拉的信中提到这么两个问题:每个大于等于4的偶数都可以表示为两个素数之和,每个大于等于7的奇数都可以表示为三个素数之和。欧拉回信说:“这个命题看来是正确的”。但没有给出严格的证明。

一个很粗浅的考察是,奇数猜想是偶数猜想的一个推论。因为,如果偶数可以写成两个素数之和,则奇数可以写成三个素数之和。伟大的哈代(Hardy, 1847-1947)与李特伍德(Littlewood, 1885-1977) 于1921年在发表了长达70页的文章,在黎曼猜想正确的条件下对奇数猜想进行了证明。

这很了不起,指明了一个前进的方向。16年后,俄国数学家维诺格拉多夫(I. M. Vinogradov, 1891-1983) 无条件地基本证明了奇数的哥德巴赫猜想。

维诺格拉多夫定理指出,任何充分大的奇数都能写成三个素数之和。也就是说,在数轴上存在一个大整数,从这个数往后看,哥德巴赫猜想都对;在这个数前面的奇数,需要用手或计算机来验证。然而,至今计算机还未能触及那个大整数。

关于偶数的哥德巴赫猜想,刘建亚教授给出一张摄于山东大学的老照片。照片上从左往右为:王元、陈景润、潘承洞,三位在偶数的哥德巴赫猜想方面做出重要贡献的数学家。

有一个哲学问题,哥德巴赫猜想、孪生素数猜想和别的数学有什么联系?素数分布不是孤立的话题,它和其它数学有广泛的联系。前面我已经说过它与解析函数论有联系;到后来,素数论与自守函数有紧密的联系,更涉及到李群的无穷维表示,因此用到非常深刻的代数以及非常深刻分析;素数论也用到深刻的代数几何工具。所以哥德巴赫猜想、孪生素数猜想不是孤立的话题。

哥德巴赫猜想只是一次的情形,那么二次情形是怎么样的呢?如果要求一个二次方程有素数解,那么这个方程首先要有整数解。例如商高方程,只考虑整数解的话,它是一个不定方程,方程的通解可以写成: 。(, 取遍所有的整数)。

因为,所以这个二次方程不可能有好几个素数解。所以二次方程要有素数解,仅有整数解的条件还不够,还需要一些必要条件,华罗庚先生得出是一个必要条件,相当于奇数哥德巴赫猜想的是奇数,又充分大,则可以写成5个素数的平方和,这就叫华林—哥德巴赫问题。

华老于1936年到剑桥大学在哈代的讨论班上研究数论,1937年俄国数学家维诺格拉多夫发表“关于奇数的哥德巴赫猜想”的结果之后,哈代讨论班上对此进行研究,华老率先读懂,并于1938年发表上述定理。这说明华老的思维敏捷,动手也很快。

高次的情况也可以做。高次不定方程组(可以有交叉项)的素数解首先也是要先有整数解,但整数解的情况也不简单。在这方面,有一个重要定理,英国数学家波奇(Birch, BSD猜想中的B,哈代的徒孙)1957年得出,如果变量的个数相对于次数充分大,有A(Astronomical)个变量,即天文数个变量,则这个方程组至少有一个非平凡的整数解。

在有整数解的情况下,高次方程组什么时候有素数解?最近刘建亚教授与哥廷根大学的Brudern教授,Bristol大学的Wooley教授得出,高次不定方程组有素数解需要的变量个数更多,是2A。这也是对高斯、哈代的一个纪念。

刘教授讲话风趣,不时会讲一些数学家的小故事,当讲到高斯、哈代、李特伍德等都长寿时,他说:“除了黎曼,谁对素数严肃地说点什么,做点不平凡的工作,都能长寿。”

报告的精彩还不止于此,刘建亚教授更在报告中向师生们传递做研究的方法。他讲到:“研究数论有很多方法,组合的、代数的、分析的、几何的。如果只会一种方法,那是很难有进展的,应该知道各种各样的知识。素数分布是数论的核心问题之一,用各种各样的研究工具,产生了各种各样的理论。有一句话这么讲:如果你认为你的数学工具是新的,不妨拿来做数论研究,看看有没有新的进展,或许可以得到关于素数分布更深刻的结果。”

陈永川教授最后总结到:“刘建亚教授给大家讲述的虽然只是一些故事,但其中蕴含了诸多启示。正如刘老师从这些故事中所感受到的,研究数论需要很多新的方法。研究组合数学何尝不是如此。我们不仅要学好组合数学的基础知识,还要尽可能多地学习其它数学学科,甚至数学科学以外的方法和工具。

只会一两样功夫,不一定就是看家本领,也许只能算是三脚猫功夫。从刘老师讲述的华罗庚先生的故事,我们可以体会到学习新知识,新方法还要迅速。

做研究不能急功近利,但也要讲与时俱进、又好又快,要有对新思想、新方法、新问题的敏感性。第三个体会是,做研究也需要精神的支撑,不能轻言放弃。一个重大的问题,可能需要几代天才的努力才能解决。我们学习也要盯住一些有前景、有挑战性的问题和方法,即使不能取得突破性进展,至少能学得深一些,对问题的理解透彻些。

历史确实能给人很多启迪,数学的历史也不例外。同学们可能还有许多体会,相信刘老师的报告对大家会有很大的教益。”