小学解方程的步骤 再谈小学解方程方法的教学

虽未正式颁布,却已广为流传的《数学课程标准(修订稿)》,在提及小学解方程的方法时,把实验稿要求的"会用等式的性质解简单的方程"修改为"能解简单的方程"。这个修改,放宽了解方程的要求,即既认可根据四则运算的互逆关系解方程,也认可用等式性质解方程。

聊聊数字的修改,却为小学解方程方法的教学又增添了一个值得探讨的话题。因为针对这个修订,很多教师在疑惑:为什么小学解方程的方法又要发生变化?根据修订稿的要求,教材将会作怎样的调整?我们又该怎样开展解方程的教学呢?

    要回答以上问题,我们要从小学解方程方法的变迁过程说起。

    1977年,教育部在编写各科教学大纲时,提出要把先进的科学知识充实到中小学中,于是开始研究小学增加代数初步知识的问题。1978年,教育部制订的《全日制十年制学校小学数学教学大纲(试行草案)》中,四年级列入了用字母表示数和简易方程。

在随后编写的简易方程教材中,出现了x±a=b、ax=b、x÷a=b、ax±b=c等类型的方程,这标志着方程知识正式进入小学教材。

在当时的教材中,各种类型方程的求解,依据的都是四则运算各部分之间的关系及有关的运算定律。并且,为了让学生扎实掌握用算术思路解方程的方法,教材还系统地编排了准备知识。如在三年级教学加、减、乘、除法算式中各部分间的关系,还以"求未知数x"为名提早出现x±a=b,ax=b,x÷a=b型的方程。

    尽管在之后的二十余年时间里,大纲发生多次改变,方程类型的编排、方程出现的年级等都有所调整,但上述的教材编排体系一直得到沿用,用算术思路解方程的教学要求也因此保持到了此次新课程改革之前。

    但是,在新课程改革之后,一些专家认为这样的编排体系不妥。他们觉得,小学用算术思路解方程,到了中学却是用等式的基本性质或方程的同解原理来教学解方程,因此,小学的思路及其算法掌握得越牢固,对中学代数起步教学的负迁移就越明显。

    为了避免"同一内容两种思路、两种算理解释的现象,有利于加强中小学数学教学的衔接",在2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中,改变了小学二十几年来一直用算术思路解方程的要求,而走了一条用代数方法解方程的路。它明确提出了"理解等式的性质,会用等式的性质解简单的方程。"根据这个指导思想,很多实验教材采用如下的方式进行编排:

    1.将方程的认识和解方程置于五年级上册集中教学,之前几册教材不再出现四则运算各部分之间的关系和"求未知数x"类的题目。

    2.在学习"方程的意义"之后,安排一个"等式基本性质"内容的学习,将其作为导出解方程方法的认知基础或"拐杖"。

    3.调整简易方程的基本内容,不出现形如a-x=b和a÷x=b的方程。

    然而,这样的教材编排,不过使用了一两届学生,就受到广泛争议,很多专家不认同这样的编排方式,一线教师更是大多持反对意见,一些小学数学的网站也因此辟出专栏热议这个话题。笔者整理了一下,比较集中的观点有以下四点:

    1.学生对用代数思想解方程的知识基础不够。

    教师们普遍认为,旧教材根据四则运算之间的关系解方程,在知识准备上是充分的,是循序渐进的。以人教版为例,加减法之间的关系,在第一册时就出现1 ( )=2、2-( )=1、2 ( )=3……,以后各册均有类似练习出现。

到第七册时正式出现加、减各部分间的关系,并运用加、减法之间的关系"求未知数x"。乘除法也是如此,不断积累,不断巩固。

到第八册,教材还设专题将加与减、乘与除之间各部分间的关系加以整理和归纳,并再次运用其"求未知数x"。有了上述的铺垫之后,到第九册才正式出现"简易方程"。而此时,解方程对于学生而言,实际上已经是水到渠成的事了。

    然而,用等式基本性质解方程,新教材在为学生的知识准备上与旧教材反差过大,致使学生用代数思想解方程的知识基础不够。一,在这之前,学生对"等式"意义的理解非常狭隘。如我们在加法的教学中,7 5,我们往往只引导学生去理解7和5之间存在的关系,而不去指出7 5本身就可以表示一个整体。

由于缺乏这方面的渗透,所以学生对于含有字母的算式能表示一个数量,认识不到位,这阻碍了学生对等式基本性质的理解。

二,对于解方程的基础——等式基本性质,就教学了一个课时,却要学生运用它去解各类方程,这样的编排,过高地估计了小学生的接受能力。因为仅仅利用"天平平衡"的几次演示,就认为完全支撑了学生理解解方程的方法,这个思维是成人化的,它不切合小学生的认知特点。

三,教材对等式基本性质的教学不完整,也造成运用性质能力受挫。如等式基本性质中还有一个相等关系的对称性,即"若a=b,则b=a",这个知识没有渗透,使得学生碰到方程中x出现在等号右边时束手无策,这直接影响了解方程技能的下降。

    2.教材对a-x=b和a÷x=b方程的处理方法不妥。

    新教材认为,因为学生尚未学习正负数和分式方程的有关知识,因此a-x=b和a÷x=b类的方程不适合在小学阶段学习,故而教材将它们回避掉了。然而,绝大部分教师都认为,对于a-x=b和a÷x=b,低年级学生就已经会解决,如一年级学生就会做7-( )=4。

可学到了五年级,我们却认为学生是不会做的,因而不出现这类方程,这是说不过去的。学习了解方程,却不会解答a-x=b和a÷x=b,这至少是影响了学生完整知识体系的建立。

    其次,列方程解决现实问题时,x当作减数、当作除数,应当是很常见也很必要的现象。回避a-x=b或a÷x=b类的方程,还会影响学生对方程优越性的认识。

    如"3千克梨比5千克桃子贵0.5元。梨每千克2.5元,桃子每千克多少元?"根据列方程解应用题的基本理念,用字母代表未知数,列式时尽量顺向思考,那么,列成"2.5×3-5x=0.

5"是最恰当的方法。但现在学生不会解这样的方程,所以教材要求,可以引导学生根据实际问题的数量关系,转列成形如x b=a或bx=a的方程,即列成"5x=2.5×3-0.

5"或"5x 0.5=2.5×3"。然而,这样的做法不仅会使学生心里会充满疑惑——我这样的列法为何不可?更重要的是,它阻碍了学生对方程优越性的认识。因为学生如果都能列出后两个方程,那就说明他们已经非常熟悉其中的数量关系了,此时,用算术方法即可,哪还有列方程来解的必要呢?那又怎谈让学生感受方程解法的优越性呢?

    3.解方程时,算术思路、代数思路很难截然分开。

    下面是网上一个引起广泛讨论的帖子:

    问:等式左边 2x÷2 是根据什么得到x 的?

    答:因为2x 表示2×x,即x扩大了2倍,要想求原来的x,就让它再缩小2倍,所以要除以2。

    问:非常同意您这样的讲法,但同时却启发了思考另一个问题:为了讲清楚2x÷2为什么等于x,我们要引导学生从等式的基本性质来理解,即一个数扩大了2倍,要求原数,就除以2。

但是,如果学生理解了这些,您不觉得解这个方程的过程中,等式的性质变得多余了吗?事实上方程2x=80,不就可以理解成是一个数扩大了2倍,求原数的问题吗?除以2就是了! 所以,2x÷2=80÷2等同于x=80÷2,解题的依据事实上还是算术思路。

    笔者按:乘法如此,那么除法、加减法亦可如此解释。

    帖子中问者的思考尽管有强词之感,但却让人感觉到,他的疑问不无道理。事实上,教师们在网上广泛地讨论这个帖子,也就是觉得算术思路和代数思路并不是水火不容的两件事,它们之间似乎就存在着某种紧密的联系。

    4. 解方程过程的书写要求尚存商榷之处。

    教材要求,在学生用等式基本性质解方程时,方程的变形过程应该要写出来,等到熟练以后,再逐步省略。这样的要求,在实际操作中,带来了书写上的一些问题。

    (1)初学解方程时,书写过程过于冗长繁琐。

    因为用等式基本性质解方程,每两步才能完成一次方程的变形。这体现在书写时,显得太繁琐了。如2x 4=16,先2x 4-4=16-4,再2x=12,还要2x÷2=12÷2,最后得到x=6。

这样的过程,等式忽长忽短,数字忽多忽少,会使得小学生因为书写过程繁琐而导致分心、抄错数字、简单计算出错等现象。因此,实践中,用代数思路解方程的正确率并不好于以前用算术思路解方程。

    (2)解方程熟练时,思考过程无法体现。

    教材要求,解方程熟练之后,中间的过程可以省略。于是在学生的书写中,就出现了这样的情况:将x 3=15直接变形为x=12。向学生了解原因,才知道学生是口算"方程左右两边减掉3",然后就直接得到结果了。这种书写形式,一点都没有体现解方程的思考过程,这对于学生养成细致缜密的学习习惯,提高解方程的计算正确率,同样不是好事。

    或许由于以上及其它各种原因,致使用等式基本性质解方程的要求,推出不久便告"流产",这就有了本文开头所讲的故事。

    至此,读者必定都已明白,我们小学解方程方法的教学,在探索算术思路向代数思路转轨的道路上,碰到了问题,代数之路走得很艰难。

    出现这种情况,其根源在哪里呢?笔者以为,这并不是因为用代数思路解方程本身之错。用代数思路解方程,肯定是解方程的正途。小学生学习代数知识,不仅能发展学生的数学思维能力和应用能力,也能为学生将来更深入地学习数学奠定必要的思想基础,因此,这种想法是相当有意义的。

但是,任何一个知识或技能的学习,应当存在一个符合学生年龄和认知特点的最佳时机。当学生的知识储备尚不足以理解一个新知识或掌握一种新技能时,盲目地硬塞,只会给教学带来额外的障碍。

小学阶段要让学生深刻理解等式基本性质,并用此熟练地解方程,或许就是违背了这样的认知规律。因为学生毕竟还小,他们的抽象思维水平较低(如对等式意义的理解不够),他们的知识基础也很浅(如尚未学习正负数、有理数、整式),等等因素,使得小学生还不具备学习等式基本性质并运用它来解方程的真正能力。

因此,小学教学用代数思路解方程,教材编排、教学实践中出现各种各样的问题,那是可以想象得到的。

    反观用算术思路解方程,多年来教材一直这样编排,教师们一直很接受,学生们一直学得很好,其原因,可以用原《大纲》上的话来说明:"据四则运算各部分间的关系及运算定律来求解,既充分利用了学生已有的知识基础,又可以加深对加减法之间、乘除法之间相互关系的理解,学生容易接受。"可见,这样的做法,是富有现实意义的,可操作性是强的。

    综合以上分析,笔者大胆揣测,此次修订版课标在对解方程的要求作了修改之后,一些教材在编排这块内容时,会恢复用算术思路来教学解方程的做法。倘若真的如此,我们可以从容应对,毕竟用算术思路解方程,我们积累了太多成熟的经验,只要教材编排调整到位,我们随时都可以开展相应的教学。

    当然,可能也会有教材继续坚持用等式基本性质教学解方程。我想,这也不是坏事,我们可以通过更广泛的实践,来研究小学用等式基本性质解方程的教学模式,以形成大家可借鉴的宝贵经验,为教改的深入作出贡献。

    然而,笔者在思考,我们能否走一条"中间道路",即通过更合理地编排教材,采用更恰当的教学方式,既让学生扎实掌握解方程的技能,又使他们的算术思想和代数思想都有所发展?走这样的道路,或许能够避免单纯教学算术思路或代数思路解方程而产生的种种问题。

    我觉得,我们可以这样来进行尝试:

    1.适当调整教材的编排方式。

    (1)在整体上,教材可以恢复课改之前的编排方式。即从低年级开始,不断渗透关于四则运算之间关系的知识。如果整体调整影响太大,也可以将这块知识在解方程之前出现,利用一两个课时,集中编排。

虽然这样的处理方式,相比原来学生通过数年积淀来理解四则运算之间的关系,显得单薄和唐突。但是,对于五年级学生而言,在四年多积累的基础上,要通过一两个课时,实现较透彻地理解四则运算之间的关系,应当也不是件特别困难的事。

    (2)在解方程内容的具体编排上,我们还是应把用算术思路解方程作为一条主线,而把等式基本性质及运用它来解方程作为附庸。每个例题,都应该是教学各类方程的算术思路解法,等式基本性质,只是"化整为零"地出现于每个例题之后。

可以采用类似于"你知道吗"这样的阅读材料,让学生了解到解这个方程还有其它的思路。材料中,可以有天平图,天平图上可以有"等式左右两边同时发生变化"的过程,还有如"你能把这样的变化过程表示出来吗"这样的思考要求。 

    2.区别对待两种解法要求。

    (1)算术思路必须牢固掌握。

    小学生用算术思路解方程的重要意义,前文已有阐述。从更实在的角度讲,重点教学解方程的算术思路,就不会再出现学生学了解方程,却不会解答a-x=b和a÷x=b类方程的怪现象。这无论对于学生完整数学知识体系的建立,方程优越性的体验,运用方程知识解决实际问题能力的提高,都是一件好事。

    在具体教学时,我们还是可以采用以前的传统经验,注重引导学生从四则运算之间的关系去理解解方程的依据,并据此规范地书写求解过程。然后,通过反复地练习,使学生熟练掌握小学阶段会用到的各类方程的解法。

    (2)代数思路仅作了解渗透。

    因为中学终究还要系统学习用代数思路解方程,所以关于等式基本性质及运用性质解方程,小学只要略有体验就够了。小学就学得很透彻了,中学就没什么好学了。

    在教学中,我们可以借助有效的情境图来支撑学生的认知。如教学x 50=80,呈现的情境是"杯子中原有50克水,又倒入一些后,现在重80克。倒入了多少克?"我们可以让学生借助情境,看着(操作)天平,感悟到"等式左右两边都减去相同的数,等式不变",并借助这样的认知,理解x 50-50=80-50。

也就是说,对于代数思路的解法,学生看得懂就够了,书写这样的过程可以是不需要的。

    3.沟通两种方法的内在联系。

    在教学中,我们要通过对比两种方法,使学生发现两种方法之间的内在联系,从而实现对算术思想解方程的更深认知。如教学x-4=20,学生自己做出了x=20 4,教师又引导学生理解了x-4 4=20 4。

之后,教师要有意识地作沟通:你们觉得两种方法有什么相同之处吗?学生会发现,两种方法都有20 4。学生还会发现,实际上x-4 4=20 4,-4 4抵消了,就剩下x=20 4,这也就变成了第一种方法。此时,学生马上就会意识到,实际上两种方法有"异曲同工"之妙。

    在其它几类方程教学中,我们也都可以这样去沟通。这样的做法,不仅使学生沟通了数学知识,感受到了算术和代数的紧密联系,体会到了数学之美。同时,还有效地借助代数思路,强化了学生对算术思路解方程的认知,帮助学生克服了解方程要死记硬背公式的难关。比如说,最常见的错误x-4=20转化成x=20-4,有了上述沟通,学生就会很好地避免。

    上述几点策略,既明确凸显了用算术思路解方程的主导思想,也落实了小学生解方程的基本技能,还把等式基本性质及用等式基本性质解方程的代数思想潜移默化地渗透给了学生。这样的想法,不知能否成为我们小学解方程教学的新思路?