张益唐事件后续 张益唐:对数学坚守一生 从不停止思考
2018年暑假,张益唐受邀回北大教授“初等数论”课程。此时距离他硕士毕业离开校园,已经过去了三十三年的时间。但在张益唐看来,过去的岁月未曾波澜起伏,眼前的这片园子,除了房子比以前多些以外,也并无太大变化。
鹿没有来,灵感来了
2013年,得知自己的论文《素数间的有界距离》将在《数学年刊》上发表,张益唐拨通了电话,让身在加州的妻子留意新闻上和他有关的消息。电话那头的妻子一头雾水:“你喝醉了吗?”
5月,论文发表并引起轰动。张益唐正式证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对,给孪生素数猜想证明领域打开一道大门。张益唐这个名字,也从名不见经传,到数学圈内无人不知。
证明孪生素数猜想最关键的灵感击中张益唐,发生在一个夏日的午后。当时,他正站在一棵树下等待梅花鹿。
关于孪生素数猜想,张益唐在此之前已经断断续续思考了多年。到2010年左右,他感到自己也许可以在这个问题上有所突破,便把教课之余的全部精力都投入到关于这个猜想的研究中。他凭直觉认为,“别人过不去的地方我能过去。”
“孪生素数”指相差为2的两个素数,如3和5,5和7,11和13……古希腊数学家欧几里得猜想:在自然数范围内有无限多对孪生素数。然而,根据素数定理,随着自然数大小增长,素数呈现越来越稀疏的趋势,而孪生素数对的这种趋势则更加明显。在很长时间里,数学家们迟迟未能证明孪生素数猜想,甚至无法证实素数间距离的有限性。在1900年,孪生素数猜想被列为著名的23个“希尔伯特问题”之一。
2005年,三位分别来自美国、匈牙利、土耳其的数学家曾试图合作证明孪生素数猜想,但距离问题最终解决始终“差着一根头发丝的距离”,无法跨越最后那一步。2008年,美国数学研究所专门邀请业内的专家,就孪生素数的证明开了一次研讨会,得出了十分悲观的结论:这个问题目前解决不了。
张益唐的探索并没有太受到前人工作的束缚--多年的习性使然,他在思考数学问题时不太受外界约束,而更愿意依赖内心一些特别的感受,他称这种难以用语言描述的感受为“直觉”。“数学的实现需要逻辑,但最初开始想的时候需要一些直觉,没有这种直觉就做不成东西,总不能把别人的东西再算一遍吧。”
他企图从新的角度切入问题,却在将近三年的时间内一无所获,工作陷入瓶颈。回忆起那段时期的困境,张益唐说:“我觉得很疲倦,但很多时候我很平静。我喜欢散步时思考,这就是我的工作办法。我妻子来看我时会问我在做什么,我回答她说,我的工作就是思考(I’m working,I’m thinking)。”
纪录片《大海捞针: 张益唐与孪生素数猜想简介》剧照
终于,在2012年7月3日,积累多年的思考迸发出了灵感的火花。
那天,张益唐受邀到朋友齐光(Jacob Chi,华人指挥家)家中做客,给他即将上高中的儿子讲授微积分。齐家后院栽种着两株树,每到炎热的夏天,常有可爱的梅花鹿来树下乘凉、休憩。那天下午,张益唐专程站在院中等着看梅花鹿。梅花鹿迟迟没有出现,解决孪生素数问题的关键一步却在张益唐眼前浮现出来。
数学研究常把一个问题分成几个方面,每个方面都做通了,再将各个方面连贯起来,整个问题就能解决。在纳凉等候的某一瞬间,张益唐望着远处的分叉路口,忽然意识到,用一个新的变换就能把孪生素数问题的不同方面对接上,这样一来,证明的所有步骤都能宣告完成。
“我看见了数字、方程一类的东西。”张益唐回忆那个时刻时说,“我知道还有很多细节有待填补,但我应该做出证明。想到这,我就回屋了。”
张益唐没有立刻检查这一想法的细节,也没有对朋友声张,离开院子以后,他仍按照原先的计划观看了朋友的音乐会排演,度过了一个悠闲散漫的下午。
事实上,抱着放下工作、全身心放松的心态,张益唐这一天没有将任何研究资料带在身边,手头上连一张草稿纸都没有。只是他心里有数,“这样就可以了。”
在当年年底,依照着那天下午得到的灵感的指引,张益唐完成了论文《素数间的有界距离》(“Bounded Gaps Between Primes”),并在次年4月将核对过的论文投给了世界数学界最负声誉的杂志《数学年刊》。在这篇论文中,他找出了一个正数,证明了有无穷多对素数之差小于这个给定正数。张益唐给出的数值是“7000万”。
《素数间的有界距离》手稿
“7000万”离理想目标值“2”还很远,却是将素数对之间的差值从“无限”缩小到“有限”的里程碑式的一步。
5月14日,张益唐的论文面世,随即在学术圈引起连锁反应。一些研究者对张益唐的证明作进一步改进,试着将距离常数缩小。5月28号,这个常数下降到了6000万。5月31号,下降到了4200万。6月2号,则是1300万。次日,500万。6月5号,40万。到2014年2月,张益唐的7000万已经被缩小到了246。
与数学终身契约
比起“孪生素数猜想”的鼎鼎大名,在5月14日这一天前,人们对“张益唐”其人却几乎一无所知。
“张益唐,华人数学家。1978年进入北京大学数学科学学院攻读本科,1982年读硕,后在美国新罕布什尔大学任教。”5月15日,不知经哪位网友编撰,互联网上终于有了对这位数学家仓促的百科介绍。
事实上,在这一天之前,张益唐已经在数学界,甚至在亲友们的视线中“消失”了数十年。
张益唐出生于1955年。父亲姓张,母亲姓唐,因为他是家里第一个孩子,父母便给他起名“张益唐”,也是希望他能做个对社会有益的人。夫妇二人都是知识分子,在通信行业从事科研工作。为了支持首都的建设,生下张益唐后,两人便把襁褓中的他托付给上海的外婆,离开家乡来到北京工作。
从小,张益唐便对知识表现出浓厚的兴趣,在许多“读书不成进厂打工”的亲戚间独树一帜。他独自拿来舅舅等人中学时的课本、课外读物自学,几本《十万个为什么》很快被他翻烂了。他至今对《十万个为什么》印象颇深:“该书的第一版最开始出了五册,后来出到第八册,这最后一册讲的就是数学。”
很快,《十万个为什么》便满足不了张益唐的求知欲了。于是他便盯上了大舅舅的好友,数学老师姚先生。每当姚先生来家中做客时,张益唐便缠着他讨论起高等数学问题。甚至,在大舅舅的婚礼上,按习俗张益唐不能和姚先生坐一桌,他竟为此当场大哭,搅乱了一场喜事。
比起对数学的热诚,更令大人惊奇的是,张益唐的记忆力极强,看过的内容往往过目不忘。一天晚上张益唐发高烧,躺在床上意识不清,嘴里却胡乱背诵着全世界各个国家的首都在哪里。此事常常被外婆引为笑谈。
1968年,张益唐跟随父母回到北京生活,一家人住在清华园中。园子里满是满腹经纶的学者教授,张益唐如鱼得水,到处问大人问题。慢慢地,这个奇怪的小孩子在清华园小有了名气。
好景不长,张益唐父亲在文革中被打成叛徒,张益唐也不得不跟着母亲到湖北干校去劳作,一家人被迫分离。干校开设的初中班有名无实,知识的价值被粗暴否定,张益唐最感兴趣的数学也成了“没用”的东西,他不得不按规定投入每日种地锄草的集体生活中。好在干校里的知识分子多,他一有机会依然到处问问题,大家也都喜欢这个求知若渴的孩子。
1971年夏天,张益唐回上海探亲。此时文革高潮已过,许多“禁书”开始悄悄地恢复流通,张益唐又有机会阅读一些数学方面的书,觉得“还是很有兴趣”。
不久,张益唐被分配在北京一家工厂当制锁工人。工作时间常常是三班倒,张益唐便把所有的业余时间都花在了钻研数学上。和文革中的许多年轻人一样,尽管现状不尽人意,冥冥中他依旧相信,将来的时局总会改变,自己对数学的热爱和把数学作为毕生事业的追求也不会落空。
1977年,高校恢复招生。张益唐报考北京大学,结果因为“政治考得一塌糊涂”未获录取。半年以后,78级的招生报名开始。这次张益唐却想跳过本科阶段,想直接报考另一所学校的研究生,招致父母极力反对。母亲心知儿子倔强,干脆称病不起。张益唐只好妥协,最终顺利考入了北大数学系。
天才逆旅
本科阶段,张益唐迷上了数论,并师从数论领域的专家潘承彪老师进行系统学习,硕士阶段继续跟着潘教授做数论方面的研究。潘教授做学问的严谨,对张益唐影响终身。
在北大数学系,这个痴迷数学、天资卓越的年轻人也给同学们留下了深刻印象。大学时住在他隔壁宿舍的沈捷回忆,当时,不管是上课还是考试,年龄比他大4岁的张益唐总是“领先一截”,“他很爱自学,我们难题解不出来,都找他。”
在这时,张益唐已经显现出了他对数学独特的追求。在本科同学王小东的印象里,张益唐“总是执着于攻大难题,不肯干小的。”
硕士毕业后,经由北大数学系主任丁石孙的强烈推荐,他师从台湾学者莫宗坚,前往美国普渡大学攻读博士学位,研究方向也由数论转向了代数几何领域。
代数几何与数论之间有着密切的关系,而当时中国的高校在代数几何领域十分落后,甚至尚无任何课程设立。张益唐此行,其实也肩负着为国内代数几何领域求火种的责任。
张益唐(靠前第二排左二)的研究所毕业照
然而,博士阶段的研究活动却并不顺利。
1985年,张益唐跟随莫宗坚来到美国后,便选择了被称作代数几何领域“灾难性问题”的“雅可比猜想”作为博士论文选题。张益唐只用了两年时间就做出了不错的成果,然而他发现论文中用到的一个由导师莫宗坚提出的引理并未被充分证实,为此坚决不愿发表论文。
此后针对该疏漏的研究始终没能得出令人信服的成果,这一过程中张益唐和导师时常为一些问题争执不下,师徒二人的关系也变得愈发微妙。学术中牵扯到的人情关系让张益唐很是反感,考虑再三,他决定中止对“雅可比猜想”的研究,重新回到数论领域。
1992年,张益唐拿到了博士学位,却没有获得导师的推荐信,加之没有发表学术成果,他找工作时处处碰壁。
找不到教职,张益唐开始了长达数年在美国打工漂泊的生涯。因为没有稳定经济来源,他不得不四处找朋友借宿。为了维持生计,他在餐馆打工、送外卖,在朋友开的赛百味(Subway)加盟店做临时会计,在数学界逐渐销声匿迹。
因为四处漂泊、居无定所,张益唐与远隔重洋的家人联系日渐稀少,甚至在数次搬家之后失联。为此妹妹甚至在网上发布了“寻兄启事”,在朋友的帮助下才与张益唐恢复联络。
张益唐固执地不愿开口向家人诉说自己面临的困境,在得知父亲病危之后,也只是每月随信寄回一张几百美元的支票,直至父亲去世也未能回家探望一眼。
在给学生讲课的张益唐
即便生活艰难,张益唐也没有中断对数学的热爱。在肯塔基的赛百味打工时,张益唐工作之余常去肯塔基州大学的图书馆读代数几何和数论方面的期刊文献。但在生活的重担下,张益唐坦言:“那些年,我确实没再追求我的数学梦想”,“我经常过得不太容易。”
转机出现在1999年,在北大同学的帮助下,张益唐得到了新罕布什尔大学的讲师职位,尽管工资地位不高,他仍感到满足:至少可以教书了,而且可以有大把的时间用在研究上。在这里张益唐负责教本科生微积分,他继承了北大数学系严谨务实和重视教学的传统,教课得到学生的普遍好评,工作也逐渐稳定下来,一待就是十四年。直到2013年发表那篇震惊学界的论文,张益唐的职位依然是“讲师(lecturer)”。
内心从未触礁
在漫长的二十几年里,家人都确信,打小就痴迷数字的张益唐,将会默默无闻地为数学倾尽余生。以至于听闻孪生素数证明发表的消息时,妹妹的第一个反应便是“不相信”。直到看到网上铺天盖地的新闻报道,家人才知道,消失多年的张益唐,已然成为传奇。
张益唐的性格和家里人不太相像。父母在单位里都是典型的好人缘,妹妹虽然内向却也聪明灵巧,而他却总是沉浸在自己的数学世界里,只有和志同道合的朋友在一起时,才会兴奋地侃侃而谈,而对于“圈外人”,即使是至亲,也总是沉默寡言。
当取得成就的张益唐终于回到故乡的家中,母子二人都出奇地平静,似乎上一次相见还只是昨天发生的事。张益唐回忆起和母亲的重逢时,只是淡淡地说:“我这个人不大容易激动。”
张益唐没有对于那些年对家人的疏远做出太多解释:“小时候外婆看我正在看书,也不知道我在干什么,我很淡定,该做什么做什么。没法假设到现在还没做出成果的话会不会回国,我也不知道回来意味着什么。”
他说:“我没有很坚定说我一定要怎样,许多别人看得很重的事情我都没往心里去。”
2013年的夏天,整个数学界都因为张益唐的论文陷入了缩小素数间有界距离的狂欢,张益唐却对找到间隔的最小数并不感兴趣。他觉得这种工作纯粹只是一种体力劳动:“无穷大到7000万,是无限到有限;7000万到246,是有限到有限”。
因为筛法的奇偶校正问题,张益唐的方法并不能将素数间的有限距离最终缩小到2,而是至多到6。但张益唐并没有兴趣着手解决这一问题,而是把精力投入到了新的难题的思考中,“7000万对我来说已经足够了。”
而对于当初攻读博士时离解决也只差一步之遥的雅可比猜想,他也没有打算再尝试:“我不会再有时间做那个题目。”
2000年,45岁的张益唐在一家餐馆吃饭时遇到了正在当服务员的妻子。在朋友的撮合下,两人相识相知并最终组建了家庭。
妻子不懂数学,但她尊重张益唐对数学的热爱,这让他十分感激。在张益唐成名后,妻子便帮他收发信件,并陪伴他出席各种各样的活动。热衷社交的妻子乐此不疲,张益唐本人却感到困扰。他曾向学生直言:“我是个害羞的人”。社交活动挤压了属于自己的时间,习惯独处的他把交际当成了出名带来的负担。
没有其他安排的话,张益唐每天都会到办公室去,只为有安静的工作环境。“我要守住我自己的孤独。”
因为无法改掉开车时想问题的习惯,几年前,张益唐卖掉了汽车。他在离学校4英里远的地方租了间公寓,平常坐巴士往返学校。他还喜欢在清晨步行,天气好的时候,可以走一两个钟头。步行时的张益唐“很容易进入思考状态,只要完全进入,外界再嘈杂,也没有关系”。
张益唐说自己现在仍有三、四个在思考着的数学难题,“都是一些我认为有希望突破的问题。”目前他在美国加州大学圣芭芭拉分校数学系任终身教授,继续从事数论领域的研究。他对未来没有特别明确的期许,只认定数学为毕生追求。“数学是我唯一能做的事,要我退休可以,要我停止思考我可受不了。”
