张益唐看望丁石孙 孪生素数之恋:数学家张益唐的“美丽心灵”

张益唐去美国,随身只带了一个箱子,一个挎包。箱子里几件衣服,几本数学方面的专业书,还有一本《古文观止》,书又薄又轻,那么多古典文学,他独挑了这一本,耐看。

他还带了一双筷子。临走前,父母的朋友送的,挺好的木头筷子。

1985年6月21日,张益唐从北京首都机场走的。三十年后,他还记得这个日子。他也记得很多同学的生日。每年他都会给几个同学发电邮,写去问候。后来他有了大名气。有人就说。他对数字的这种敏感和记忆,真是天赋。

他出国留学,算是国家公派自费。1984年,美国普渡大学的莫宗坚教授造访北京大学,想邀请几名学生出国深造。丁石孙推荐了张益唐,他那时还是数学系的研究生,毕业后本可能留校任教。

丁石孙是著名的数学家,也是北大校长。张益唐那时的兴趣是数论。在现代数学中,数论是纯粹数学的分支之一,通俗讲,就是没什么实际用处。代数几何却属于应用数学。同年,丘成桐曾推荐张益唐去美国加州大学圣迭戈分校,跟随解析数论专家 Harold Stark。但是丁石孙认为,应该培养一批有利于中国发展的实用性人才,他希望张益唐能出国学习代数几何。

张益唐答应了,他那年30岁。签证和单程机票,都是国家安排好的。这一去,就好几十年。

普渡大学位于美国印第安纳州的拉法叶市,学校在西侧,和市区隔一条河。很漂亮,是平原的景色。也算 僻静,距离最近的大城市芝加哥一百多英里,是做学术的好地方。学校当时最高的楼,就是数学系。

对于完全陌生的新生活,张益唐感到新奇,但他适应的很快。刚去的那年夏天,他和化学系一个印度留学生合住在校外。写信给家里,家里又奇怪又担心,为什么不住宿舍?印度学生吃素,很瘦,偶尔用手抓饭吃,张益唐则用他带去的筷子。

他原来是不会做饭的,但美国的方便之处是,很多东西从超市买回来就能吃。第二年,换成跟两个香港留学生合住。香港男孩做的一手好菜,张益唐学了不少。他听不懂广东话,只能以英语交流。但好在他对生活的要求并不高。

“因为要求不高,很多东西就自然地过去了。”张益唐说,“你不会觉得特别困难。”

他的心思在数学。张益唐的导师莫宗坚是台湾人,上世纪60年代就到了美国,在代数几何领域颇有建树。第一个学期,张益唐几乎每天都会和莫宗坚面谈,后来逐渐变成一周谈一次。当张益唐告诉导师,他准备把“雅可比猜想”作为博士论文的题目时,莫宗坚感到很惊讶。那个猜想是德国数学家Ott-Heinrich Keller于1939年提出来的著名难题。对于学生来说,那似乎太难了。

张益唐只花了两年,就完成了博士论文的部分结果。但他却花了七年才拿到博士学位。中间那五年发生了什么,除了张益唐自己,也许只有莫宗坚知道。

二十年后,2013年,张益唐在《数学年刊》发表了“素数间的有界距离”,一举奠定其在数学史上的学术地位,获得大名。莫宗坚写了一篇文章回忆张益唐在普渡的生活,提到雅可比猜想时,他写道:“益唐所有的业余时间都在思考数学,几年后,他开始相信他找到了独立于我成果之外的证明。

”此前,莫宗坚已在雅可比猜想领域做出了领先的成绩,他接着说,“作为雅可比猜想宫殿的看门人,我履行了职责,对任何证明进行验证,并否定错误的证明。”

张益唐为我们写下他心中最美的公式——Wei的边界

但张益唐并没看到这篇文章,他也不想看。对于普渡几年学业,以及导师,他不愿多提。我曾当面问过他两次,他总是一句带过:“这个事情就过去了,我不想谈。”

博士期间,张益唐喜欢独来独往。偶尔,他也会和一些中国留学生有交集——1989年后,他曾当选过中国同学会的主席,“他们非要让我去做,挂了个名,其实我什么也没做。后来我才知道,即使是个学生会我也不会弄,我干不了那种事情。”他认为很多数学家和他一样,如果搞行政,会搞得一塌糊涂。“我的心思不在那里。”

他也不喜欢出去旅游。他最喜欢去的地方是图书馆,或者散步,尤其喜欢走路的时候“想”问题。他的理想生活是“没什么人干扰,你一个人在那里就可以了。”

1988年,张益唐回了一次中国。途经上海,看见到处都是新建的楼群、尘土飞扬,整个国内就像个大工地。他打算毕业后就回国,也许回到北大任教。到了1991年夏天,普渡大学停止给他发钱,按学校规定,博士最长读到七年。那年年底,张益唐终于提交了博士论文。导师莫宗坚是答辩委员会成员之一,他后来说“张益唐十分出色地完成了他的答辩”,但他并没有给张益唐写找工作的推荐信。此后他们再无关联。

次年春天,张益唐在普渡大学接着住了小半年。数学方面的工作似乎很难找。那时苏联刚刚解体,一大批数学人才涌向美国。很多数学系毕业生只好考取另外的专业学位,比如金融和计算机,寻找新机会。

有朋友向张益唐提过类似想法。“我好像不大愿意,”他说,“也不知道为什么。”

之前认识的另一个朋友邀他过去“帮忙”,那朋友也是留学生,学化学的,比他大十岁,在肯塔基州的列克星敦开了一家 Subway 餐饮连锁店。张益唐能帮的,是一些会计上的事,管管帐,或报报税。他考虑了一下,到那里工作,好像仍有大量自由的时间用来想数学,便接受了那份工作。

1992年夏天,到美国刚好七年,张益唐开了约五个小时的车,载着他零星的一点行李去了肯塔基州,随身还带着那本《古文观止》。随后七年,他几乎从数学界消失了。

在张益唐过着隐士般生活的那些年,其他走出北大数学系的学生,有人留在了国际数学界。比如沈捷,他是张益唐在北大的同班同学。沈捷1982年本科毕业后,前往法国巴黎十一大学攻读博士。到了1991年,也就是张益唐获得博士学位那年,沈捷已开始在美国宾夕法尼亚州立大学任教。晚他们两届的北大学弟汤涛,那时也已在加拿大 Simon Fraser 大学任教。

多年后,汤涛在一篇回忆北大数学78级的文章里写道:“张益唐毕业后基本隐居起来,很少和人来往。”偶尔,张益唐会去沈捷夫妇那里,吃顿饭,“悄悄地来,悄悄地走,一年之间基本杳无音讯。”

上世纪80年代初在北大数学系念书的人,大都听说过张益唐的大名,是个高材生,据说深受丁石孙赏识。张益唐是数学系文革后的第一批学生,7801级一共四个班,将近二百人。他后来说,刚进北大没多久,“我就发现数学里的奥秘越来越多,越来越吸引人”。

他第一次接触数学,是上世纪60年代初在上海。为了响应中央发出“向科学进军”的号召,少年儿童出版社出版了《十万个为什么》,一共八册。张益唐积攒了两个月的零花钱,六毛五分钱,买了第八册《数学》。然后是第七册《动物》,七毛钱;第六册《地质地理》,七毛五分钱。三本书看完,他发现自己对数学最有兴趣。

张益唐那时住在上海外婆家,直到1968年,他13岁时,父母才把他接到北京。父亲以前是中共地下党,解放后在清华大学读书、任教,母亲在邮电部工作。在清华大学附中读了一年初中后,母亲下放,张益唐跟着去了湖北阳新县的邮电五七干校。1971年,他回上海看望外婆,买到一本薄薄的书,上海复旦大学夏道行写的《π和e》,书里说,π和e是无理数。“我就想弄清楚,为什么π和e是无理数?”

回到北京后,他被分配至北京制锁厂做工人。业余时间里,他开始读大量的书,比如古典文学。他喜欢读文言文,有时并非能完全看懂,但他能感觉到古文之美。有次他无意中看到唐朝诗人白居易写给元稹的一封信“与元九书”,很多字都不认识,“但能感觉这文章怎么写得那么好。

”他说,文言文的那种美,和数学类似,是相通的。他还在旧书店买到一本华罗庚写的《数论导引》。虽然是工人,但他那时相信,“文革”不会永远持续下去,人生总有希望。

1977年恢复高考,张益唐立即报名,但第一次考试并不理想。政治和语文都没考好,分数够线了,却上不了好学校。1978年春天,他又考了一次,数学考了九十几分,语文拿了82分。北大数学系刚好在那时恢复招生,他入校时23岁,在同学中还算年轻。

在北大,一切都是新气象。大一基础课,沈燮昌教数学分析,丁石孙教解析几何。“那时候北大的老师们,有中国传统里说的那种师德,教学认真一丝不苟,全部心血都是为了学生。”张益唐说。很多年后他自己当了老师,还常回忆这两位老师的授课方法。尽管吃的睡的都不太好,但他总算正儿八经迈进了数学的大门。

数学系给所有本科生分了两个专业方向,理论数学和计算数学。张益唐被分到计算数学,但入门后不久,他就发现自己对理论数学更感兴趣。“数这个东西,问题那么简单,一般的中学生都懂,但是解决的方法又那么难,”他说,“也许是这点很吸引我。”

1982年当张益唐决定继续读研时,他已经很清楚自己的兴趣和能力。那时,全中国带领解析数论研究的导师并不多,中科院的王元和陈景润,山东大学的潘承洞,以及北大的潘承彪。对张益唐而言,跟随潘承彪学习数论的两年尤为重要。

他说,以前在本科学数论,只是瞎看,研究生期间才学了正式的课程。以后来的经历来看,那是他唯一全身心投入学习解析数论,并打好基本功的时期。随后他就去了美国,在普渡大学,他研究数学的方向不得不转向代数几何。

1989年秋天,丁石孙卸任北大校长职务。此后几年,远在美国的中国留学生,或多或少都会受到一些政治上的影响。张益唐原本不关心政治,他认为自己也玩不转。但到了毕业找工作时,他发现回国任教似乎已不大现实。

不过,政治因素带来的另一个好处是,美国给这一批留学生开放了绿卡——这是张益唐留在美国的原因之一,但他并非是为了追求更好的物质生活,他只想有个纯净的地方,让自己重新回到解析数论的研究方向。如果能继续留在大学,当然是最好,但留不住,似乎也没那么重要。他需要的只是时间。

在肯塔基州,张益唐喜欢在清早出门散步。如果天气好,又有空闲,他可以独自在外面走一两个小时。走路是他思考数学最好的方式。朋友开的 Subway 连锁店,在列克星敦有好几个,不忙的时候,张益唐就在店里管管帐。碰到顾客多,他也会到前台帮忙收银。他的薪水并不高,但他很满足。他也没什么开销。

他住在朋友家的地下室,家具齐全,还有独立的卫生间。除了吃饭,大家似乎互不干扰。那栋房子位于列克星敦的郊区,人口密度很小,出门没多远就是树林,大片开阔的草地。在饭后散步的日子,张益唐终于再次重头捡起数论。

有太多问题可以想。历史上那些从来没有攻破的数学猜想,每一个都可以去尝试。他得慢慢筛选出那些很有意思,而且还有希望做出来的问题。有时候,想到某一个地步,不知该如何走下去,就停在那儿,放一放。偶尔,他也会去肯塔基大学图书馆查查资料,看看别人已做到何种程度。但他很少和其他数学家联系。

在家里和店里,张益唐也很少和这个老板朋友讨论未来。对方似乎也并不关心他整日在思考什么。日子一长,朋友在生意上反而对他有些依赖。有时候,他们会一起去参加一些政治性的活动,但几次之后,张益唐慢慢淡出了组织。

“他们喜欢高谈阔论,我觉得一点意思都没有,”他说,“说的都是空话。”

但通过这些零星的活动,张益唐也认识了几个朋友,其中交往最深的,是住在纽约的胡平。他是一名来自中国大陆的知识分子,也是北大毕业,哲学系。另外一个叫冯胜平,在普林斯顿做房地产生意,但对历史很有研究。每当张益唐想出门休假时,他就前往纽约或普林斯顿,和这两个朋友聊聊思想和历史。那几乎是他唯一的旅行。

1996年,张益唐托人在纽约皇后区租了一个房子,短暂地住了一段时间。在肯塔基似乎待得太久了,他想换个环境,也许能找一份挣钱的工作。但很快他就发现,“纽约太乱了,太嘈杂了,”而且工作也并不好找。不过,“在曼哈顿的高楼大厦间散步,思考数学,是另外一种感受。”他还是更喜欢乡村。

在纽约的那些日子,胡平刚好生了个女儿,张益唐常去探望。此后每年生日,他都会给胡平寄去一张200美金的支票。钱虽然不多,但胡平一直记在心里。朋友们似乎习惯了张益唐的“飘零”。冯胜平后来回忆说,每次张益唐到普林斯顿,都睡在他家的沙发上,两人聊几天历史,看看书,他再独自离去。有时,冯胜平会为他打抱不平,认为他的才华没有被发现和重视,偶尔还会被人给脸色看。但张益唐自己似乎并不在乎这些。

“我不是特别难过。”他说,“可能我的性格就是这样。”

自从博士毕业后,张益唐也很少跟中国的家人联络。在纽约试过找工作后,他回到了肯塔基。对于未来,不能说完全没有期待,他唯一的担忧是,“不知道什么时候,我才能再回到数学上,完全专业的数学上去。”

1999年初,张益唐在纽约见到了唐朴祁,他也是北大数学系的毕业生,比张益唐晚两届,也曾在普渡大学留学,但他毕业后修了个计算机学位,在 intel 公司工作。几个月后,唐朴祁见到了北大数学系的同班同学葛力明,他在新罕布什尔大学做副教授。两人决定帮助张益唐在大学谋个教职。他们辗转联系上了张益唐,那时他又开始在 Subway 工作。

接到电话的几天后,张益唐就辞了工作,卖了车,坐飞机到了新罕布什尔大学。虽然他还得经过数学系主任的面试,但他对此很有信心。

十几年后,当我在北京见到张益唐时,希望他能向我描述那个转折性的电话,他人生中最重要的几个时刻之一。“我可以说我很高兴,但也没有什么非常高兴,”他说,“就像我后来出了名,别人都说你是不是高兴得不得了,我没什么感觉,就跟平常一样。”

他停下来,毫无表情地接着说:“我一般不会非常高兴,但也不会非常不高兴。”

2015年8月,我和张益唐约在中科院的一栋公寓楼,傍晚七点。我在楼下徘徊很久,估摸着时间上楼,电梯门打开时,张益唐正对着我,靠墙站在走道。他说,怕我找不到门,已等了很久。他的白衬衫扎在西裤里,整洁大方,后来看了他的衣柜,发现几件衬衫、几条西裤,就是他全部的衣服。

这套三居室公寓是中科院提供的。房间很大,家具很少,空荡荡的。从去年开始,中科院数学研究所邀请他每年回国两个月,在这里讲学和做研究。客厅的桌子上摆着几本旧书,是他从美国带回来的。每本书包着的书皮都是上世纪80年代的杂志页。一本是卡夫卡的《城堡》,购于1983年8月22日,一本是伏尼契的《牛虻》,购于1979年4月18日。我问他那本《古文观止》呢,他说已经翻烂了,这次回国买了一本新的。

自从张益唐2013年成名之后,他已在多个地方讲学和访问。他说:“我知道这是一个很好的结果,但没想到会闹得这么大,而且闹了两年,现在还没有停。”

2013年5月9 日,张益唐收到了数学界最权威的刊物《数学年刊》(Annals of Mathematics)的来信。当今最顶级的解析数论专家之一的伊万尼克(Henryk lwaniec)作为审稿人给出了高度评价:“这项研究是一流的,作者成功证明了一个关于素数分布的里程碑式的定理。”

那年4月17日,张益唐将自己的论文“素数间的有界距离”投给《数学年刊》。《数学年刊》是数学家们最敬仰的期刊,但在上面发表文章非常难。按照惯例,一篇文章从提交到被接受,要经过很长时间的审查。一般来说,作者会等待一到两年。但仅仅三个星期后,5月9日,张益唐就收到了杂志社的来信。

主审张益唐论文的,是罗格斯大学的波兰裔数学家伊万尼克(HenrykIwaniec),他被公认为当今最顶级的解析数论专家。当张益唐撰写论文时,他心里的读者就是像伊万尼克这样的专家。“只有他们能看懂。”他说,“我还大量引用了这些人的名字和他们的研究成果。我想,他们很容易就能看明白。”

在给《数学年刊》的审读报告中,伊万尼克建议杂志社接受这篇论文。“作者成功地证明了素数分布领域的一个具有里程碑意义的定理。我们巨细无遗地研究了这篇论文,但没有找到瑕疵.”

消息很快在数学界传开。5月13日,丘成桐邀请张益唐在哈佛大学做了一场报告。第二天,《自然》杂志在网上公布了这一消息。张益唐瞬间成名。在伊万尼克写给丘成桐的信里,他认为张益唐的论文将引发持续的雪崩式的优化和改进,以及随之而来的理论创新。“一夜之间,张益唐重新定位了解析数论的焦点。”

张益唐的文章,是关于数学史上一个著名的经典难题,孪生素数猜想。在1900年的国际数学家大会上,数学家大卫·希尔伯特提出了著名的23个重要数学难题和猜想,其中孪生素数猜想是希尔伯特问题的第8个的一部分。

素数(也叫质数)是数论中的基础概念,专指那些只能被1和自身整除的数,由2开始,3、5、7、11、19、23一路延续下去,或许直到无限。如果某个素数前后有差值为2的另一个素数,两者即构成“孪生素数”。可以观察到,孪生素数的分布极不均匀,而且越来越稀疏。那个猜想的核心命题是:孪生素数有无穷多对,但无论多么稀疏,它们将一直存在下去,直到无限。

张益唐成功地证明了存在无数对孪生素数,而且其中每一对中的两个素数之差,不超过7000万。虽然只有把7000万降到2才能最终证明孪生素数猜想,但他突破性地把那个距离,从无限变成了有限。伊万尼克说,张益唐的证明“水晶般地透明”。

新罕布什尔大学座落在美国的东北部,那里以漂亮的红叶和寒冷的冬季著称。成名之前,张益唐在那所大学已教了十四年的书。当数学界的这个大消息传来后,数学系告诉张益唐,他不用教书了,因为各种邀请会纷至沓来,他也不会再有时间教书。他的薪水会涨,而且职位也会变更。系里的秘书老太太问葛力明,张益唐还会替系里的饮水器换水吗?

张益唐曾用杜甫的两句诗来形容他的命运:“庾信平生最萧瑟,暮年诗赋动江关。”庾信是中国南北朝时期的诗人。张益唐告诉我,以常人观点来看,他的前半生似乎挺萧瑟的,但他自己从来没有强烈的感觉。出名后,偶尔会有人觉得他很孤傲,但他并不知道,因为他出名前就这样,觉得自己还挺随和。

在新罕布什尔大学的教书生涯中,张益唐和以往一样,喜欢独来独往。1999年他刚来此地时,数学系对他的定位就是教学。多年来,他从未试过主动去争讨什么。他也喜欢教书,甚至常回忆北大时的沈燮昌和丁石孙是如何教书的,得以吸取经验。每周六个小时,他教本科生微积分。在学生的评语里,他是一名优秀的数学老师。

2000年,张益唐去纽约看望朋友。他们一起去长岛大颈镇一家自助餐馆吃饭,当天他还在法拉盛买了一瓶五粮液。餐馆有个女服务员,朋友问了问他对那女孩的印象。此后在另一家饭馆吃饭时,朋友就叫来了那个女孩。从那时起,张益唐常常从新罕布什尔大学去纽约看望她。每次他都要先到波士顿,再坐灰狗巴士,后来开始坐更便宜的华人巴士。他在纽约向那女孩求了婚。

2003年6月22日,张益唐在加州的圣何塞结婚。他妻子那时已从纽约转到加州,在美容院工作。他们在一家中餐馆举行了婚礼,两三桌客人里,只有一对夫妇是张益唐在普渡留学时的朋友,其余都是妻子的朋友。那时他已48岁。

结婚后,妻子跟随张益唐去了新罕布什尔大学。但那是个比普渡大学还小的镇子,而且夏天太短,冬天很冷。半年后,她就回到了加州。他们在圣何塞买了一套房子,每年两个假期,张益唐从东海岸飞回加州。

当时张益唐独自待在新罕布什尔大学,他住在离学校八公里的地方,每天坐公交车去上课。和以往一样,他在车上、在路上、在图书馆、在任何一个人的时候,都在思考。有时候,回到家里,他喜欢一边听古典音乐,一边想数学。古典音乐是他为数不多的业余爱好之一,他喜欢其中的逻辑和结构。

自从博士毕业离开普渡大学之后,张益唐思考的那些数学难题,正在变成果实。2001年,他在肯塔基州打工时所想的问题,变成了一篇论文,发表在《DukeMathematical Journal》,是关于黎曼函数导数的文章。

那是数学界的权威杂志之一,他得到的评价不错。那之后,张益唐陆续收到一些杂志邀他审稿,但是他太挑剔了。他认为某些文章的结果虽然是对的,但却没有太大意义。这是个很高的标准,所以他自己也很少发表文章。

到了2010年左右,张益唐发现他也许可以在孪生素数猜想上有所突破。这个问题他已断断续续想了多年。他知道在2005年,有三个来自美国、匈牙利、土耳其的数学家曾合作多年,想解决这个难题,但他们在证明孪生素数是“有限间隔”这一步上就差一点点,谁也跨不过去。

2008年,美国数学研究所曾专门为此开了一周的研讨会,但仍然没有人突破,大家都很悲观。不过,张益唐也不知道此事。他认为,那剩下的一步,也是最艰难的一步,就像是跨过一根头发丝那么微妙。他尝试过很多办法——也许不是一根头发丝,而是半根、甚至四分之一根的距离,但他就是迈不过去。

“我有一种直觉,我没法去论证这种直觉。”他说,“但直觉告诉我,我应该可以做出来。”

2012年7月,张益唐打算给自己放个假,前往科罗拉多州的朋友家休息。他没带任何书、论文、计算机,只是想放松一下。朋友是当地大学音乐系的教授,也是交响乐队的指挥。7月4日是美国国庆节,当地要举行一场公共的交响乐音乐会。前一天,张益唐打算跟着朋友去看排练。

朋友家的后院有两株树,夏天的时候,常有梅花鹿到树下乘凉。那天下午,张益唐走到后院等待梅花鹿。像往常一样,他在后院走来走去,然后某个瞬间,他似乎突然想通了。他没告诉任何人,当天晚上陪着朋友去了排练场。

很久之后,张益唐说,他没看到梅花鹿,但就是在那一刻他迈过了那根头发丝般的距离。

文中内容,部分来自作者和张益唐之间的对谈,部分来自张益唐接受的其他媒体采访,在此一并致谢