祖冲之最突出的贡献 祖冲之:他不只算出了圆周率
今天,是国际数学节,也是圆周率日。说到圆周率,不得不提的人自然是我国古代数学家祖冲之。很少有人知道,除了数学外,祖冲之在天文、机械等多个领域都颇有研究,甚至还精通乐理、音韵。
割之弥细,所失弥少……
——刘徽(魏晋)
撰文:蔡天新(浙江大学数学科学学院)
责编:李娟、韩琨
一、祖冲之与圆周率
祖冲之祖籍河北涞水,该县如今隶属保定市,与北京市的门头沟区和房山区相接。但他于公元429年出生于南北朝时期南朝的政治、经济中心建康(今南京),这是比较稀罕的,依笔者之见,大都市不容易产生天才人物。自从317年晋室(东晋)南迁以来,江南地区的经济迅速发展,出现了一些繁荣的城市,建康是其中较为突出的代表。
祖家是一个官宦人家,祖冲之的曾祖父在东晋时官至侍中、光禄大夫,相当于宰相和国策顾问之类。他的祖父和父亲都在南朝做官,祖父是大匠卿,掌管宫室、宗庙、陵寝等的土木营建;父亲是奉朝请,这是闲散大官。古时称春季的朝见为朝,秋季的朝见为请。这个家族的历代成员,大多对天文历法颇有研究。
相比之下,祖冲之担任过的官职较低,却在天文学和数学领域,乃至机械制造方面较其前辈取得更为杰出的成就。在刘宋时期,他曾出任南徐州从事史,这是督促文书、察举非法的官职。必须指出的是,南徐州并非徐州之南,而是徐州东南三百多公里以外的镇江。他还做过娄县(今苏州昆山)县令,也做过掌朝廷礼仪与传达使命的谒者仆射。到了萧齐王朝,祖冲之官至长水校尉,这是他一生担任过的最高官职(四品)。
从青年时代开始,祖冲之便对数学和天文学怀有浓厚兴趣,他曾在著作中自述说,自幼起“专功数术,搜炼古今”。祖冲之把上古时起至他生活年代的各种文献资料搜罗来研究,同时亲自进行精密的测量和仔细的推算,也不把自己束缚在古人陈腐的思想中。可以说,祖冲之批判地接受了前人的学术遗产,并勇于提出自己的新见解,这是古往今来一切杰出科学家共有的优良品质。
在数学领域,祖冲之师承的是比他早两百多年的魏晋时期的刘徽,后者发明了计算圆周率的“割圆术”和计算球体积的方法。由圆面积计算公式,容易得知,只要求得圆的面积,再除以半径的平方,即为圆周率。而如何求圆面积,刘徽在《九章算术》的注释里这样写道,割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣。
刘徽从圆内接正六边形开始计算面积,依次将边数加倍,求出内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形等等的面积。随着边数的增加,内接正多边形的面积越来越接近圆的面积,圆面积和圆周率的精确度就越高。
在古代,包括中国和巴比伦在内的一些民族,都把3作为圆周率。这方面,古埃及人的计算较为准确,他们得到的圆周率为3.1。刘徽用他的割圆术,求得圆周率为3.14,这与古希腊数学家阿基米德算得的圆周率是一致的,后者比刘徽要早六个世纪。也有人认为刘徽算出了3.1416,但未有足够的证据。
祖冲之计算出的圆周率 范围为:
即精确到小数点后7位。此外,他还得了被称为密率的这个分数的圆周率,虽然只精确到小数点后6位,却同样让人惊叹。直到962年以后,祖冲之的圆周率才被阿拉伯统治下的波斯数学家卡西改进。卡西利用了余弦函数的半角公式,简化了计算,精确到了小数点后17位。而德国人奥托求得密率,则比祖冲之晚了一千多年。
祖冲之的成就是如何取得的?没有任何史料流传下来,因为祖冲之的著作全部失传了,而记载圆周率值的《隋书》又没有具体交代。由于当时只有刘徽的割圆术一种方法,因此,我们只能猜测祖冲之用的是同样的方法。那样的话,他需要算出圆内接正24576边形的面积,而密率(有日本学者建议称为祖率)的求得恐怕是借助于前辈天文学家何承天发明的“调日法”。
二、球体积与大明历
相比圆的面积,球(古人称为立圆)体积的计算公式更富技巧。在中国古典数学名著《九章算术》里,是按照以下比例公式来求球体积的:
显而易见,正方形面积、圆面积和圆柱体体积这三项数据是比较容易求得的。
祖冲之知道这个公式有误,他在《驳议》中写道,“至若立圆旧误,张衡述而弗改……此则算氏剧疵也……臣昔以暇日,撰正众谬。”可见球体积也是祖冲之的工作,但是,四百年以后,唐代学者李淳风却在为《九章算术》所写的注文中,将这一工作归功给了祖冲之的儿子 祖暅,把它作为“祖暅开立圆术”加以引述。无论如何,我们可以将此看成是祖氏父子共同的研究成果。
说起来,祖冲之父子的这一成就,也是在刘徽的工作基础上完成的。刘徽首先发现上述比例的错误,并提出“牟合方盖”的新概念,这是垂直相交的两个同样直径的圆柱体的共同部分。在上述比例公式中,刘徽用牟合方盖体积来代替圆柱体体积,即得
这个思想和方法是正确的,可惜的是,刘徽本人求不出牟合方盖的体积。这一步是由祖氏父子完成的,他们把牟合方盖以外的部分分成三块,称为“外三棋”,经过适当的调整、拼贴,求得那部分占立方体体积的三分之一。那样一来,牟合方盖的体积自然占了三分之二。再利用上述比例等式,便可求得球体积公式为:
不难想象,当年祖冲之父子得到这个公式时,是何等的喜悦和激动。可是,他们有所不知的是,这个公式早在公元前3世纪就有了,它同样得自于有着“数学之神”雅称的古希腊数学家阿基米德。
除了数学领域,祖冲之在天文学方面也有成就。经过实际观察,他发现何承天制定的为当时刘宋王朝所采纳的元嘉历有不少错误。例如,冬至时太阳所在宿度距实测已差三度,冬至、夏至时刻已差一天,五星(金木水火土)的出没时间更是相差40天。于是,祖冲之便动手编制了新的历法——《大明历》,这是那个时代最准确的历法。
公元462年,33岁的祖冲之上表孝武帝刘骏,请他对新的历法进行讨论。不料,却遭到皇帝宠幸的大臣戴法兴的反对。朝中百官惧怕戴的势力,多有所附和。祖冲之理直气壮,勇敢地进行了辩论,并写下了著名的《驳议》呈送皇帝。文中有他的两句名言,“愿闻显据,以核理实”“浮辞虚贬,窃非所惧”。这场辩论反映了进步与保守、科学与反科学两种势力的斗争,这也是科学的每一次进步常会遇到的。
由于种种阻碍,直到半个世纪以后,已经过了刘宋王朝和萧齐王朝,终于在梁朝天监九年(510年),由于祖暅的坚决请求,再经过实际天象的校验,大明历才得以“甲子元历”之名正式颁行,那时祖冲之已去世10年了。“甲子元历”引入了“岁差”的概念,把旧历中每19年闰7年改为每391年闰144年,使得一年的误差仅50秒。直到宋代,才有更好的历法出现。
三、指南针和千里船
除了数学和天文学方面的工作以外,祖冲之还制造过各种奇巧的机械,包括指南针和千里船,同时他还通晓音律,堪称毕达哥拉斯式或阿基米德式的博学多才的科学人物。指南针的名称在我国由来已久,但其机制构造均未见流传。据说三国时期的大发明家马钧曾制造出指南针,但到晋时早已失传。
说到马钧,他是陕西兴平人,不善言辞,还口吃,有点像16世纪那位给出三次方程一般解的意大利人塔尔塔利亚。除了指南针,他还奉诏制木偶百戏,民间称“水转百戏”。又改造了织绫机,将工效提高了四五倍。马钧还改良了用于农业灌溉的龙骨水车,以及由诸葛亮发明的军事机械连弩,后者是一种可以连续射箭的装置。
据说,东晋末年,南朝刘宋的开国皇帝刘裕攻入十六国时期后秦的首都长安,得到的许多器物中就有指南针,但“机数不精,虽曰指南,多不审正,回曲步骤,犹须人功正之”。南朝最后一个皇帝顺帝在位时,辅政的萧道成“使冲之追修古法。冲之改造铜机,圆转不穷而司方入如一,马钧以来未有也。”
除了指南针,祖冲之还“以诸葛亮有木牛流马,乃造一器”,此器“不因风水,施机自运,不劳人力”。但因缺乏图像资料,我们无法想象这是何种机械。不过,祖冲之“又造千里船,于新亭江试之,日行八百里”。显然这是一种快船,却不知新亭江在何处?是否是长江上的一段呢?他又“于乐游苑内造水碓磨,武帝(齐武帝,483-494年在位)亲自临视”。
祖冲之的成就不仅限于自然科学方面,他还精通乐理、对于音律很有研究。有史料记载,“冲之解钟律博塞当时独绝,莫能对者”。 (注:以上诸引言出自《南齐书》或《南史》中的《祖冲之传》。)另外,祖冲之还著有《易义》《老子义》《庄子义》《释论语》等哲学著作,可惜与他的数学书一样均已失传。他的文学作品有《述异记》,在宋代的类书《太平御览》等古籍中,尚可以看到此文的片断摘录。
在祖冲之生活的年代,算盘尚未发明,人们使用一种叫算筹的计算工具,它是一根根几寸长的方形或扁形的小棍子,有竹、木、铁、玉等材料。计算数字的位数越多,所需要摆放的面积就越大,筹算计算一次就要用笔记下结果,这样就无法得到直观的图形和算式。因此只要有差错,就只能从头开始。祖冲之精益求精,反复筹算,才求得圆周率的精准数值。
至于祖暅,他的生卒年代不详,只知他曾任太府卿,这是南朝设置的掌管金帛财帑的官职。由于受家庭尤其是父亲的影响,祖暅从小就对数学有浓厚的兴趣,祖冲之的《大明历》便是在祖暅三次建议的基础上完成的。祖冲之的代表作、曾列入唐代数学教科书并流传朝鲜和日本的《缀术》经学者们考证,有些条目系祖暅所作。至于球体积的计算公式,则应该是祖暅一生最具代表性的发现(如果是他发现的话)。
纵观祖冲之父子的两项主要数学成就,因为阿基米德早已给出球体积计算公式,圆周率方面的工作更为世人称道。但那就像体育比赛的记录一样,是为了被人打破而出现的。自从有了无穷级数的表示法和计算机,圆周率的人为竞争便失去了意义。个人认为,南宋数学家秦九韶的两项成就——中国剩余定理和秦九韶算法更有意义,也更重要。但圆周率的结论和故事无疑更容易被普通人了解,也更符合国人的英雄想象。
作者简介
蔡天新: 浙江大学教授,诗人、随笔家,近作有《数学传奇》《数之书》《里约的诱惑:回忆拉丁美洲》《轻轻掐了她几下》等。
