九宫格填数 有趣的九宫格填数游戏
一个3×3的方格中,每个1×1的小方格内都要填一个数,其中右上角的数已经填好了,为30(如图)。接下来填的数需要满足下列条件: (1)每个数都能整除与它相邻的上面方格内的数(如果与它相邻的上面方格不存在,自然不用满足这个条件); (2)每个数都能整除与他相邻的右面方格内的数(如果与它相邻的右面方格不存在,自然不用满足这个条件)。 则不同的填法有多少种?
分析与解答 答案:共6859种填法。
本题是16届中环杯四年级决赛中的一道试题。 剩余的8个格子分别用A~H表示,如图所示,根据填数条件知,A~H中的数都要能整除30,即都是30的约数。 由于30=2×3×5,那么A~H中的数均为2a×3b×5c的形式,其中a、b、c只能是0或1。
当指数为1时,该格的数含有相应的质因数,反之则不含。 下面我们只要对这三个质因数在8个格中的填法进行分类讨论即可。首先考虑2在8个格子中的填法,原则就是:若该格填2,则该格的右和上也一定要填2。
① 8个格中都不填2,即8个格中的a均为0,只有1种填法; ② 8个格中有1个格填2,则这个格只能是G或H,有2种填法; ③ 8个格中有2个格填2,则这2个格可以是GH、DG、HF,有3种填法; ④ 8个格中有3个格填2,则这3个格可以是GEH、DGH、GHF,有3种填法; ⑤ 8个格中有4个格填2,则这4个格可以是GHDE、GHEF、GHDF,有3种填法; ⑥ 8个格中有5个格填2,即有3个格不填2,这3个格可以是ABC、ABD、ACF,有3种填法; ⑦ 8个格中有6个格填2,即有2个格不填2,这2个格可以是AB、AF,有2种填法;; ⑧ 8个格中有7个格填2,即有1个格不填2,这个格只能是A,有1种填法; ⑨ 8个格都填2,有1种填法。
所以,填2方法数有:1 2 3 3 3 3 2 1 1=19种。 同理,考虑质因数3和5的填法,都分别有19种方法,根据乘法原理,共有19×19×19=6859种填法。
