《结构力学》龙驭球第3章

2017-09-04

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文章简介：第3章静定结构受力分析第3章静定结构的受力分析第3章静定结构受力分析静定结构几何特性:无多余联系的几何不变体系静力特征:仅由静力平衡条件可求全部反力内力求解一般原则:从几何组成入手,按组成的相反顺序进行逐步分析即可本章内容: 静定梁; 静定刚架; 三铰拱;静定桁架; 静定组合结构;虚功原理学习中应注意的问题:多思考,勤动手.本章是后面学习的基础,十分重要,要熟练掌握!第3章静定结构受力分析§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 §3-7 §3-8 §3-9

第3章静定结构受力分析

第3章静定结构的受力分析

第3章静定结构受力分析

静定结构

几何特性:无多余联系的几何不变体系静力特征:仅由静力平衡条件可求全部反力内力求解一般原则:从几何组成入手,按组成的相反顺序进行逐步分析即可本章内容: 静定梁; 静定刚架; 三铰拱;静定桁架; 静定组合结构;

虚功原理学习中应注意的问题:多思考,勤动手。本章是后面学习的基础,十分重要,要熟练掌握!

第3章静定结构受力分析

§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 §3-7 §3-8 §3-9 §3-10

梁的内力计算回顾静定多跨梁静定平面刚架静定平面桁架组合结构三铰拱隔离体方法及其截取顺序的优选刚体体系的虚功原理用求解器确定截面单杆小结

第3章静定结构受力分析

§3-1 梁的内力计算回顾

首先回顾一下梁的内力计算。

1、截面的内力分量及正负号的规定

轴力FN — 拉力为正剪力FQ — 使隔离体顺时针方向转动者为正弯矩M — 使梁的下侧纤维受拉者为正

第3章静定结构受力分析

正 MAB

FNAB A端

杆端内力

B端

MBA

正

FNBA FQBA

FQAB

轴力和剪力图可绘在杆件的任一侧,但需标明正负号。

弯矩图习惯绘在杆件受拉的一侧,不需标正

负号。

第3章静定结构受力分析

2. 截面法:将杆件在指定截面切开,取其中一部分为隔离体,利用平衡条件,确定此截面的三

个内力分量。

注意:取隔离体后,未知力一般假设为正方向

轴力=截面一边的所有外力沿杆轴线方向的投影代数和。剪力=截面一边的所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和。弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的力矩代数和。

第3章静定结构受力分析

注意事项:

? 截开 ? 代替 ? 平衡

1. 隔离体与周围约束要全部切断,代之以相应的约束力; 2. 约束力要符合约束性质;

3. 利用平衡条件计算未知力时,隔离体上只能有本身所受到的力;

4. 不要遗漏力; 5. 受力分析时,未知力一般假设成为正号方向,数值是代数值; 已知力按实际方向画,数值是绝对值; 计算所得的未知力的正负号即为实际的正负号。

第3章静定结构受力分析

M ? dM

FQ ? dFQ

dFQ dx

FN ? dFN x

y dx

dFN ? ? qx dx

? ?q y

dM ? FQ dx

第3章静定结构受力分析

? dFN ? dx ? ? qx ? ? dFQ ? ?q y ? ? dx ? dM ? dx ? FQ ?

微分关系

M ? dM

FQ ? dFQ

FN ? dFN x

y dx

① qx=0时,轴力图为矩形图; ② qx=常数时,轴力图为斜直线; ③ qy=0时,剪力力图为矩形图,弯矩图为斜直线; ④ qy=常数时,剪力图为斜直线,弯矩图为二次抛物线。

第3章静定结构受力分析 4.荷载与内力之间的增量关系

M ? ?M

y dx

FQ ? ?FQ

FN ? ?FN x

?FN ? ? FX ?FQ ? ? FY ?M ? M 0

⑤ 纵向集中力作用点处,轴力图发生突变; ⑥ 横向集中力作用点处,剪力图发生突变; ⑦ 集中力偶作用点处,弯矩图发生突变;

第3章静定结构受力分析

5.荷载与内力之间的积分关系

MA FNA

FQA

FQB

FNB

FNB ? FNA ? ? qx dx

FQB ? FQA ? ? q y dx M B ? M A ? ? FQ dx

xA xA xB

第3章静定结构受力分析

前提条件:——两个线性

1. 几何线性条件——小变形

2. 物理线性条件——线弹性

第3章静定结构受力分析

B MB

ql 2 8

M ? ql 2 8

第3章静定结构受力分析

q A

MB FNA MB

FNA

FQA

B FQB

? 选定外力的不连续点为控制截面; FQB FQA

?分段画弯矩图。

第3章静定结构受力分析 7.小结(剪力图与弯矩图的特征)

梁上无外力情况 (q =0)

均布力作用 (q向下)

集中力作用处(FP向下)

集中力偶 m作用处

铰处无影响

剪力图水平线

斜直线

有突变 (突变值=FP)

无变化

一般弯矩图为斜直线

抛物线下凸

有尖角 (向下)

有突变 (突变为零值 =m )

第3章静定结构受力分析用分段叠加法画弯矩图简支梁的弯矩图必须熟记

▲ 简支梁在均布荷载

qL2/8 FP

作用下的弯矩图

▲ 简支梁在集中力作

FPL/4

L/2

M/2

L/2

用下的弯矩图

▲ 简支梁在集中力矩作

用下的弯矩图

M/2

L/2

第3章静定结构受力分析例3-1:用分段叠加法画出图示简支梁的弯矩图。

8kN

A FYA 1m 1m C 2m 2m 4kN/m E 16kN?m G 1m 1m F YG

解:a、把梁分成三段:AC、CE、EG。 b、求反力:

?M ? 0 ?Y ? 0

FY G ? (8 ? 1 ? 4 ? 4 ? 4 ? 16) ? 8 ? 7kN

FY A ? 8 ? 4 ? 4 ? 7 ? 17kN

c、求分段点C、E点的弯矩值:

第3章静定结构受力分析取AC为隔离体

A 17

FQCA

MC ? 17 ? 2 ? 8 ?1 ? 26kN ? m

取EG为隔离体

16kN?m

ME FQEG

M E ? 7 ? 2 ? 16 ? 30kN ? m

第3章静定结构受力分析 d、把A、C、E、G四点的弯矩值标在杆上,点

与点之间连以直线。然后叠加原理画弯矩图

如下所示:

8kN A 1m 1m C 4kN/m E 16kN?m G 1m 1m

E G 8

M图

A 4

26 8

30 8

第3章静定结构受力分析

8kN A 17kN 1m 1m 4kN/m 16kN?m G 1m 1m 7kN

2m 2m

17 9

FQ图

第3章静定结构受力分析注意:

①弯矩图叠加是竖标相加,不是图形的拼合;

②要熟练地掌握简支梁在跨中荷载作用下的弯矩图;

③利用叠加法可以少求或不求反力,就可绘制弯矩图;

④利用叠加法可以少求控制截面的弯矩;

⑤问题越复杂外力越多,叠加法的优越性越突出。

练习:画出该梁的内力图

130KN 1m

4m 160

310KN 2m

M图

130 340 210 130 280 140 120

FQ图

30 190

第3章静定结构受力分析

§3-2 静定多跨梁

计算简图

第3章静定结构受力分析

计算简图

支撑关系

第3章静定结构受力分析

1)静定多跨梁的组成由若干根梁用铰联接后跨越几个相连跨度的静定结构——称为静定多跨梁,如图所示:

2)静定多跨梁的应用应用于木结构的房屋檩条、桥梁结构等。

第3章静定结构受力分析 3)静定多跨梁杆件间的支撑关系计算简图和支撑关系如下所示:

基本部分

计算简图

附属部分 E

附属部分

支撑关系图

ABC称为:基本部分,CDE、EF称为附属部分。

第3章静定结构受力分析 4)传力关系

FP C B FP FP

支撑关系图

* 力作用在基本部分上时,仅在自身上产生内力和弹性变形,附属部分不受力; * 力作用在附属部分上时,可使自身和基本部分上均产生内力和弹性变形; * 力的传力顺序与组成顺序相反。

第3章静定结构受力分析 5)静定多跨梁的计算原则

计算步骤: 1、把多跨静定梁拆成一系列单跨静定梁,先计算附属部分; 2、将附属部分的反力反向加在基本部分上,计算基本部分; 3、最后把各单跨静定梁的内力图连在一起即可。

计算从附属部分开始

例:求图示多跨静定梁的弯矩和剪力图。

1kN/m A B 4m 1kN C 3kN D 2m E F 3m 2kN/m H 1m 1m

1m 1m

第3章静定结构受力分析解:a、支撑关系图

1kN/m A 1kN 3kN D 2m E F 3m G G 2kN/m H

C 1m

1m 1m E F

1m 1m

b、求反力

FYF

FGH部分:

2kN/m

FYG

? ?

2? 2? 4 ? 5.33kN M F ? 0 FYG ? 3 Y ? 0 FYF ? ?5.33 ? 4 ? ?1.33kN

第3章静定结构受力分析 CEF部分:

3kN -1.33kN F D E

?MC ? 0 FYE ?

3 ? 2 ? 1.33 ? 4 ? 0.23 3

FYC

FYE

?Y ? 0

1kN

FYF ? 3 ? 0.23 ?1.33 ? 1.44

ABC部分:

1kN/m A C 1.44kN

FYA

FYB

1? 4 ? 2 ? 2.44 ? 5 FYB ? ? 5.05kN 4

?Y ? 0

FYA ? 1? 4 ? 2.44 ? 5.05 ? 1.39kN

c、画弯矩图及剪力图

1kN/m A 1.39 B 4m

1kN

3kN G 3m

2kN/m H 5.33 1m 1m

D E F C 5.05 0.23 1m 2m 1m 1m

M图

2.44

1 2 1.33 4

m 单位 kN·

2.89

FQ图

1.39

2.44

1.44

2.61

1.56

1.33

单位 kN

例3-2 试作图示静定多

跨梁的内力图。 (1)基本部分与附属部分间的支撑关系

(2) 先附属再基本

(3)画弯矩图和剪力图

0.25FP FP a 1.5FP 0.75FP 0.25FP

M图

0.25FP a

0.5FP a 0.5FP

FQ图

FP 0.25FP

第3章静定结构受力分析

小结

?基础部分和附属部分几何分析顺序:先基础后附属内力计算顺序:先附属后基础 ?内力计算——截面法 ?内力分布与单跨梁相比更为合理,但结构形式相对复杂

第3章静定结构受力分析

§3-3 静定平面刚架

第3章静定结构受力分析

1. 刚架的特点: ? 刚架由梁和柱组成,梁柱结点为刚性联接。 ? 在刚性联接的结点处,会产生位移如转角、竖向位移和

水平位移,但杆件之间不会发生相对转角、相对竖向位移

和相对水平位移,即“要动大家一起动”。

第3章静定结构受力分析

刚架的几种基本类型

2. 刚架的支座反力

1)悬臂刚架 2) 简支刚架

3) 三铰刚架

4) 主从刚架

先附属再基本

在中间铰处拆开

补充力的平衡方程

第3章静定结构受力分析

例

q C

图(a)示三铰刚架有四个未知反力

(1)整体平衡方程求FyA 和FyB

(a )

FXA A B FXB

?M ?M

?0 ?0

FYA

l /2

C FXC

l /2

FYB

qf 2 FyA ? ? (?) 2l qf 2 FyB ? (?) 2l

FYC B l /2 l /2 F YB

FXB

(2)利用右半边刚架作隔离体 qf ? M C ? 0 FxB ? 4 (? ) 3qf ? Fx ? 0 FxA ? ? 4 (?)

第3章静定结构受力分析

例:图示刚架为多跨刚架

刚架的组成次序为: 先固定右边,再固定左边计算反力的次序应为: -3

FYB FXA FYA

先算左边,再算右边考虑GE部分

FYE

FXE

FxG ? ?3kN(?)

F yA ? 2kN( ? ) FxA ? 1kN( ? ) F yB ? 30kN( ? )

再考虑整体平衡

? MB ? 0 ? Fx ? 0 ? MA ? 0

第3章静定结构受力分析

3. 刚架中各杆的杆端内力—截面法图(a)刚架需要分段求内力, 刚架分为AD、DC、DB三段,D点处有三个不同的截面D1、D2、D3 图(a)刚架取三个隔离体如图(b)、(c)、(d)

D D

第3章静定结构受力分析

对三个隔离体应用平衡条件得

? ? FQDA ? 5kN ? ? M DA ? 5kN ? m ? FNDA ? 0

左边受拉

? ? FQDB ? 5kN ? ? M DB ? 15kN ? m ? FNDB ? 4kN

右边受拉

? ? FQDC ? ?4kN ? ? M DC ? 20kN ? m ? FNDC ? 0

下边受拉

校核:利用结点D的三个平衡条件利用结点的平衡可以少取隔离体求内力

第3章静定结构受力分析

注意事项

需注意以下几点:

M1 M1

M2 M1

第3章静定结构受力分析

4. 刚架的内力图将各杆的内力图作出,并合在一起即为刚架内力图

总结:静定平面刚架作内力图的一般步骤

① 求支座反力 ② 分段:根据荷载不连续点、结点分段。

③ 定形:根据每段内的荷载情况,定出内力图的形状。

④ 求值:求出每段两端的内力值。 ⑤ 画图:画M图时,将两端弯矩竖标画在受拉侧,连以直

线,再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。FQ,FN 图

可以画在杆的任意一侧,但要标明 ,-号。 ⑥ 校核:利用结点的平衡条件

例题

解:

(1)求支座反力如图(a)

(2)求各杆端弯矩,作M图

M AC ? 0 M CA M BC ? 0 M CB qa2 ? (右边受拉 ) 2 qa2 ? (下边受拉 ) 2

(3)求各杆端剪力,作FQ图

FQAC ? qa FQCA ? 0 FQBC ? FQCB qa ?? 2

qa 2 ?0

(4)作FN图,求各杆端轴力 (5) 校核:

FNAC ? FNCA ? FNBC ? FNCB

结点C

例3-7 另一种方法作图示刚架的FQ、FN图。

qa 2 / 2

(1)先作M图,以杆件为隔离体利用杆端弯矩求杆端剪力以AC杆为隔离体求得

?M ?M

A C

? 0 FQCA ? 0 ? 0 FQAC ? qa

qa ?? 2

以CB杆为隔离体求得 FQCB ? FQBC

(2)求杆端轴力,取结点C为隔离体

? Fx ? 0 FNCB ? 0

? Fy ? 0 FNCA ?

qa 2

第3章静定结构受力分析刚架剪力图和轴力图的绘制

弯矩图取杆件作隔离体剪力图取结点作隔离体

轴力图

例3-8 作图示门式刚架的内力图。

该例题中出现了一种斜梁,下面补充一下斜梁的内力计算 1)斜梁在工程中的应用

B A L

用作楼梯梁、屋面梁等。

第3章静定结构受力分析 2)斜梁的内力计算

讨论时我们把斜梁与相应的水平梁作一比较。

FXA b

Fp2 Fp1 A B

(1)支座反力

C FYB

FXA ? F FYB ? F

0 XA

FYA FXA0

L Fp2 B

0 FYB

0 FYA ? FYA 0 YB

Fp1

0 FYA

C L

斜梁的反力与相应简支梁的反力相同。

第3章静定结构受力分析 (2)内力求斜梁的任意截面C的内力,取隔离体AC:

a FP1 MC

相应简支梁C点的内力为:

FNC FQC

0 MC ? FY 0 A ? x ? FP1 ? ( x ? a )

A FYA

? C x

0 QC

? FY A ? FP1 F

0 NC

Fp1 FYA

斜梁C点的内力为:

0 MC ? FYA ? x ? FP1 ? ( x ? a) ? MC

0 FQC ? ( FYA ? FP1 )Cos? ? FQC Cos?

FQC

0 FNC ? ?( FYA ? FP1 ) Sin? ? ? FQC Sin?

第3章静定结构受力分析结论:斜梁任意点的弯矩与水平梁相应点相同, 剪力和轴力等于水平梁相应点的剪力在沿斜梁法线及轴线上的投影。例:求图示斜梁的内力图。

q B

解:a、求反力

FX A ? 0

FYA ? FYB

qL ? 2

第3章静定结构受力分析 b、画内力图

qL 8

A qLcosα 2

弯矩图

qL sin α 2 B

qLcosα 2

剪力图

A qL sin α 2

轴力图

例3-8 作图示门式刚架的内力图。解:(1)求支反力

?M ? 0 ?M ? 0 ?M ? 0 ?F ? 0

A B C x

FyB ? 1.5kN(?) FyA ? 4.5kN(?) FxB ? 1.384kN(?) FxA ? FxB ? 1.384kN(?)

(2) 求杆端弯矩,作M图

6.23 6.23 1.38 6.23 6.23

M DA ? M DC ? FxA ? 4.5 ? 6.23kN ? m

左边受拉

M EB ? M EC ? FxB ? 4.5 ? 6.23kN ? m

M图 (kN· M)

ql 1 ? 6 ? ? 4.5kN ? m 8 8

2 2

右边受拉

(3) 作FQ图,取隔离体如图

?M ?M

同理

C D

? 0 ? FQDC ? ?6.23 ? 1? 6 ? 3? 6.33 ? 3.83kN

? 0 ? FQCD ? ?6.23 ? 1? 6 ? 3? 6.33 ? ?1.86kN

FQEC ? ? 6.23 6.33 ? ?0.985kN

FQDA ? ?1.384kN FQEB ? 1.384kN

(4) 作FN图

FNAD ? ?FyA ? ?4.5kN FNBE ? ?FyB ? ?1.5kN

取结点D为隔离体

3.83

FNDC

1.384

FNDC ? ?1.384cos? ? 4.5 sin? ? ?2.74KN 3 1 cos? ? sin? ? 10 10

4.5

取结点E为隔离体,同理可得 FNEC ? ?1.789KN 取结C点为隔离体, FNCD ? ?0.839KN

第3章静定结构受力分析例题:作图示刚架的弯矩图

算法(同多跨静定梁)

2FP FP 1m 1m E (主 ) A 2m B 2m

(从 )

——区分主从,先从后主

(1) 先由从部分,有

FP ? (? ) 2 FP ? (? ) 2

?M D ? 0

得: FYC

FYDF FXDF (从 ) C

?FY ? 0 得: FYDF

?FX ? 0 得:FXDF ? FP (?)

FYC

第3章静定结构受力分析

2FP

(2) 再由主部分,有

?M ? 0 得: FYB A

FXDF

E FXA FYA 2FP 2FP 2FP E D B FP/2 A D FYDF (主 )

FP ? (? ) 2

FYB FP F C FP/2

?FY ? 0 得: FYA ? 2FP (?)

?FX ? 0 得:FXA ? FP (?)

(3) 求作M图(可从两边向中间画)M图如图所示。

2FP

第3章静定结构受力分析练习1---快速绘制M图

FP q

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

第3章静定结构受力分析

q q

(h) (g)

(j) FP

第3章静定结构受力分析

§3-4 静定平面桁架

第3章静定结构受力分析 1)桁架的构成由杆件组成的格构体系。

武汉长江大桥采用的桁架形式

实际工程中的桁架是比较复杂的,与上面的理想桁架相比,需引入以下的假定:

第3章静定结构受力分析

a、所有的结点都是理想的铰结点; b、各杆的轴线都是直线并通过铰的中心; c、荷载与支座反力都作用在结点上。

上弦杆腹杆

二力杆

下弦杆

桁架的计算简图

桁架(a)中的任意杆件, 只在两端受力,CD只受轴力作用

第3章静定结构受力分析

结构力学只研究主内力

第3章静定结构受力分析

2)平面桁架的分类 (按几何组成分类) (1)简单桁架由基础(图(b))或一个基本铰接三角形(图(a))开始,每次用不在一条直线上的两个链杆连接一个新结点而组成的桁架。

第3章静定结构受力分析

(2)联合桁架由几个简单桁架联合组成几何不变的铰接体系。

(3)复杂桁架不属于前两类的桁架

第3章静定结构受力分析

桁架内力分析时注意: 由于桁架杆是二力杆,为方便计算常将斜杆的轴力双向分解处理,避免使用三角函数。

x X N ? ? FN l y Y N ? ? FN l

第3章静定结构受力分析

3)桁架的计算方法

(1)结点法 (2)截面法

(3)结点法和截面法联合运用

第3章静定结构受力分析 (1)结点法结点法 : 桁架分析时每次截取的隔离体只含一个结点的方法 ? 隔离体只包含一个结点时隔离体上受到的是平面汇交力系,应用两个独立的投影方程求解,故一般应先截取只包含两个未知轴力杆件的结点。 ?一般来说结点法适合计算简单桁架。

例3-4 图示一施工托架的计算简图, 解 (1)求支反力,如图在所示荷载作用下,试求各杆的轴力。 (2)作结点A的隔离体图 8kN A 19kN

0.5 8 ? FNAD ? ? 19 1.58 ? FNAD ? 34.76kN(拉力)

FNAC

1.5 FNAC ? FNAD ? ?0 1.58 ? FNAC ? ?33kN (压力)

(3)作结点C的隔离体图

(4)作结点D的隔离体图

FNCE ? ?33kN(压力) FNCD ? ?8kN(压力)

(5)利用对称性桁架和荷载都是对称的,桁架中的内 (6)校核:取结点E 力也是对称的。各杆的轴力如图

0.5 ? 11 ? 8 ? 0 ? FNDE ? ?5.4kN 0.9 0.75 FNDF ? FNDE ? ? 33 ? 0 ? FNDF ? ?37.5kN 0.9 FNDE ?

第3章静定结构受力分析

▲ 两杆结点 (L形结点)

结点单杆

▲ 三杆节点(T形结点)

结点单杆

当结点无荷载作用时,结点单杆的内力必为零 (称为零杆)

桁架中的某些杆件可能是零杆,计算前应先进行零杆的判断,这样可以简化计算。

第3章静定结构受力分析例:试指出图中的零杆

第3章静定结构受力分析

结点法的计算步骤: 1.去掉零杆 2.逐个截取结点,由结点平衡方程求轴力.

有些情况下,用结点法求解不方便,如:

1 2 3 1 2 3

(2)截面法

用截面切断拟求内力的杆件,从桁架中截出一部分为隔离体,利用平面力系的三个平衡方程,求解未知轴力。

第3章静定结构受力分析

例3-5 试求图示桁架中1、2、3三杆的轴力。

解:先求支反力如上图,作截面m-m,切断1、2、3杆,取右边为隔离体如图(a):

第3章静定结构受力分析

FN2 FN2

FN3 FN1

? MC ? 0

FN1 ? 2480 ? 1? 3000 ? 1.48 ? 11850 ? 0 ? FN1 ? 5.87kN

3000 ? 2800 ? 1.48 ? 8850 ? 0 ? FN2 ? ?4.7kN 3017

? Md ? 0 FN2 ?

? Fx ? 0 FN3 ?

3000 3000 ? FN1 ? FN2 ? ? 0 ? FN3 ? ?1.54kN 3892 3017

第3章静定结构受力分析

截面法计算步骤: 1.求反力 2.判断零杆; 3.合理选择截面,求杆的内力;4.列方程求内力

(3)结点法与截面法的联合应用

图示桁架求1、2的轴力用截面m-m,取左边隔离体由 ? Fy ? 0 得到包括Fy1和 Fy2两个未知量的方程。由结点G的平衡,可以建立Fx1和Fx2 的关系,从而就可建立Fy1和Fy2的关系,联立求解。

第3章静定结构受力分析

例3-6 试求图示桁架中1、2、3三杆的轴力。

解:先求支反力如图

取截面m-m以右部为隔

离体求FN4。

? 0 FN4 ? 12kN(拉力)

作n-n,取左部

? 0?

为隔离体,求FN2。

取结点E为隔离体

FX 2 ? 4 ? 12 ? 4 ? 6 ? 2 ? 3 ? 4 ? 18 ? 4 ? 0 ? FX 2 ? 0 ? FN 2 ? 0

? 0 Fx 3 ? 12kN

F y 3 ? 12kN FN 3 ? 16.97kN (拉力 )

? 0 FN1 ? ?12kN (压力)

第3章静定结构受力分析

§3-5 组合结构

组合结构是由链杆和受弯构件混合组成的结构。

一、注意分清各种杆件的受力性能: 链杆只受轴力,是二力杆; 梁式构件受弯、剪和轴力作用。例如:

第3章静定结构受力分析

由I-I左部隔离体求不出杆的轴力

Ⅱ

若截面切在梁式杆上,将暴露三个未知力, 故为减少隔离体上未知力个数,应使截面通过受弯杆的端铰。二、组合结构的受力分析先算二力杆,后算弯曲杆。

第3章静定结构受力分析例:

FXA

1kN/m

FYC

B 2m

E 2m 2m

FXC

n 2m

FYA

FNEG FYB G

解:a、求支反力由于对称: FYA ? FYB ? 1? 4 ? 4kN FXA ? 0 b、求链杆的轴力作n—n截面,取左半部分,由: ?1 ? 4 ? 2 ? 4 ? 4 ? 4kN ? MC ? 0 FNEG ? 2

第3章静定结构受力分析取E结点:

F NED F NEA E F NEG

?X ?0

FNEA ? 4 2kN

?Y ? 0

FNED ? ?4kN

c、画弯矩图、剪力图和轴力图

1kN/m A D F B

M D ? 1? 2 ?1 ? 2kN ? m

上侧受拉

4kN 4 2kN

2m 2m

4kN

4 2kN

MC ? 0

FN ? ?4 KN

第3章静定结构受力分析

2kN· m

1kN/m D C F B

2kN· m

4kN 4 2kN

2m 2m

4kN

4 2kN

M图

4kN

2kN

-2kN

4 2kN -4kN 4kN

-4kN 4 2kN

F Q图

F N图

第3章静定结构受力分析

§3-6

三铰拱

1、工程中使用的拱结构实例

第3章静定结构受力分析

重庆朝天门大桥

第3章静定结构受力分析

重庆万县长江大桥:世界上跨度最大的单孔混凝土拱桥 (净跨420米,桥面距江面140米)

第3章静定结构受力分析

世界上最古老的铸铁拱桥(英国科尔布鲁克代尔桥)

第3章静定结构受力分析

甘肃灞陵桥是一座古典纯木结构伸臂曲拱型廊桥, 号称“渭水长虹”、“渭水第一桥” 。主跨:40米建成时间:1368

第3章静定结构受力分析 2、三铰拱的概念

(1)定义:拱式结构是指杆轴为曲线,在竖向荷载作用下, ? 支座处产生水平推力的结构。拱与曲梁的区别:

如图(a)所示结构水平反力等于零,因此它不是拱结构,是曲梁。如图(b)所示结构会产生水平反力,是拱结构。

第3章静定结构受力分析

(2)拱的类型

三铰拱两铰拱

无铰拱

拉杆拱静定拱

超静定拱

3、三铰拱的构成

第3章静定结构受力分析

第3章静定结构受力分析 4、三铰拱的受力特点

FP FP FP FP

FXA FYA FYB

FXB

FYA

FYB

有拉杆的三铰拱, 推力就是拉杆内的拉力。拱式结构受力特点:在竖向荷载作用下,会产生水平推力。

第3章静定结构受力分析 5、三铰拱的计算在研究它的支反力、内力计算时,为了便于理

解,始终与相应的简支梁作对比。

支座反力的计算内力的计算

(1)竖向荷载作用下拱支座反力的计算

P1 三铰拱 A FHA FVA 相应简支梁 P1 A a1 FVA0 a2 l/2 l P2 C P2 B l/2 FVB FHB FHA FVA FVA0 Mc0

C b1

0 b2 FVB

1 l l FHA ? [ FVA ? ? P1 ( ? a1 )] f 2 2 l l 0 0 M ? [ FVA ? ? P1 ( ? a1 )] c 2 2

FVA=FVA0

FVB=FVB0

FH= MC0 / f

第3章静定结构受力分析

关于反力

FVA=FVA0 FVB=FVB0 FH= MC0 / f

? 拱的竖向反力与其相应简支梁的竖向反力相等; ? 水平反力只与荷载及三个铰的位置有关,与拱轴

线形状无关;

? 荷载与跨度一定时,水平推力与拱高成反比。

? 该组结论仅适合于平拱,且承受竖向荷载。

(2)内力计算:求D点的内力 ?

y f l/2 l l/2

P2 B

FQD M D

FND P1

0 FQD

0 MD

FHA

FVA

0 VA

C b1 B b2 FVB0

0 MD ? MD ? FH ? y

FQD ? F cos? ? FH sin?

0 QD

FVA0

0 FND ? ?FQD sin? ? FH cos?

三铰拱的内力计算公式:

M ? M 0 ? FH ? y

0 FQ ? FQ cos? ? FH sin?

0 FN ? ?FQ sin? ? FH cos?

0 ? ? M M ? ? ?1 0 ?y ? ? 0? ? ? ? ? ? FQ ? ? ?0 cos? ? sin ? ? ? FQ ? ? F ? ?0 ? sin ? ? cos? ? ? F ? ? N? ? ?? H?

关于内力

?三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有关,而且

与拱轴线的形状有关;

?由于推力的存在,

拱的弯矩比相应简支梁的弯矩要小;

?三铰拱在竖向荷载作用下内力轴压为主; ?公式是以左半跨推导的,对右半跨取角度为负即可; ?上述公式仅适合于平拱,且承受竖向荷载情况。

4f 例3-11 图示三铰拱的轴线为抛物线: y ? 2 x(l ? x ) l

试求D截面内力。解(1)反力计算由计算公式

0 FVA ? FV A ? 7kN( ? ) 0 FVB ? FV B ? 5kN( ? ) 0 MC FH ? ? 6kN f

(2)内力计算:截面D x=12m 截面D的几何参数

M ? M 0 ? FH ? y

0 FQ ? FQ cos? ? FH sin?

y ? 3m ? ? -26?34? sin ? ? ?0.447 cos? ? 0.894

M ? M 0 ? FH y ? 2kN ? m FQL ? 1.79kN FNL ? ?5.81kN FQR ? ?1.79kN FNR ? ?7.61kN

0 FN ? ?FQ sin? ? FH cos?

第3章静定结构受力分析

第3章静定结构受力分析结论

?三铰拱在竖向荷载作用下,与简支梁相比,拱的弯矩、剪力较小,轴力较大(压力)。 ?拱结构的优点:选用耐压性能好而抗拉性能差的砖石、混凝土材料。 ?拱结构的缺点:由于推力的存在,所以对基础的要求较严; 拱轴的曲线形状不便于施工。

第3章静定结构受力分析

6、三铰拱的合理拱轴线

使拱在给定荷载下各截面弯矩都等于零的拱轴线,被称为与该荷载对应的合理拱轴线。只限于三铰 M 0 ?x ? y?x ? ? 平拱受竖向 M ? M 0 ? FH y ? 0 FH 荷载作用例3-12 试求图示三铰拱的合理拱轴线。解:合理拱轴线

M0 y? FH

M0 ? q x(l ? x ) 2

图(b)简支梁的弯矩为

拱的推力为

4f y ? 2 x(l ? x ) l

0 MC ql 2 FH ? ? f 8f

第3章静定结构受力分析

在工程实践中,由于荷载的多样性,不可能有真正的无弯矩拱,但是可以想象,接近合理拱轴的设计,应当是可行的方案。赵州桥是我国隋代工匠李春建造的一个著名的范例。

第3章静定结构受力分析 §3-7 隔离体方法及其截取顺序的优选

一、静定结构受力分析的方法静定结构的受力分析,主要是利用平衡方程确定支座反力和内力,作出内力图。对静定结构来说,所能建立的独立的平衡方程的数目= 所含的未知力的数目。为了避免解联立方程应按一定的顺序截取单元,尽量使一个方程中只含一个未知量。

A P

B C D E

第3章静定结构受力分析

1.隔离体的形式、约束力及独立平衡方程 (1)隔离体的形式结点(铰结点、刚结点,组合结点),杆件,刚片(内部几何不变体系),内部几何可变体或杆件微单元) 结点:桁架的结点法、刚架计算中已知Q求N时取结点为单元。

杆件:静定梁的计算、刚架计算中已知M求Q时取杆件为单元。杆件体系:桁架、刚架计算的截面法取杆件体系为单元。杆件微单元:推导荷载与内力之间关系时取杆件微单元为单元。

第3章静定结构受力分析

杆件体系单元

结点单元

杆件单元

第3章静定结构受力分析

(2)约束力的类型选取隔离体时,把截断的约束力暴露出来,使约束力成为隔离体的外力。截断链杆----有一个约束力(轴力) 截断简单铰结----一般有两个约束力截断简单刚结(或截断梁式杆)----一般有三个约束力截断辊轴支座、铰支座、定向支座、固定支座--分别有一个、二个、二个、三个约束力。

第3章静定结构受力分析

(3)隔离体的独立平衡方程的数目单元平衡方程的数目=单元的自由度数,不一定等于单元上未知力的数目。

P P1

杆件体系单元

结点单元

第3章静定结构受力分析

2.计算的简化与截取单元的次序

计算简化的原则:避免解联立方程,尽量使一个方程中只含

一个未知量。 (1)根据结构的内力分布规律来简化计算

①在桁架计算中先找出零杆,常可使简化计算;

②对称结构在对称荷载作用下,内力和反力也是对称的; ③对称结构在反对称荷载作用下,内力和反力也是反对称的。 (2)分析几何组成,合理地选择截取单元的次序 ①主从结构,先算附属部分,后算基本部分; ②简单桁架,按去除二元体的次序截取结点; ③联合桁架,先用截面法求出连接杆的轴力,再计算其它杆。

第3章静定结构受力分析

二、各种结构型式的受力特点梁、刚架、拱、桁架的受力特点

{

无推力结构:梁、梁式桁架有推力结构:三铰拱、三铰刚架、拱式桁架、组合结构

杆件

{

链杆

梁式杆

组成桁架组合结构组成梁、刚架

链杆只有轴力,无弯矩,截面上正应力均布,充分利用了材料的强度。梁式杆有弯矩,截面上正应力不均布,没有充分利用材料强度。为达到物尽其用,尽量减小杆件中的弯矩。

第3章静定结构受力分析

1)在静定多跨梁和伸臂梁中,利用杆端负弯矩可减小跨中正弯矩; 2)在推力结构中,利用水平推力可减小弯矩峰值; 3)在桁架中,利用杆件的铰结及荷载的结点传递,使各杆处于无弯矩状态; 4)三铰拱采用合理拱轴线可处于无弯矩状态。

为了对各种结构型式的力学特点进行比较,给出几种结构型式在相同跨度和相同荷载作用下的主要内力的数值。

ql2/8

ql2/48

0.586l

ql2/48

ql2/32

0.207l

第3章静定结构受力分析

无弯矩状态

ql2/8f

ql2/192 ql2/192

ql2/48 f/6

ql2/48 ql2/8f

7f/12 5f/12

无弯矩状态

l/4

简支梁M最大(使用于小跨度结构);伸臂梁、多跨静定梁、

三铰刚架、组合结构M次之(使用于中跨度结构);桁架、具有合理轴线的三铰拱M为零(使用于大跨度结构)。

第3章静定结构受力分析

§3-8

刚体体系的虚功原理

计算静定结构内力的另一个普遍方法—虚功原理, 它等价于平衡方程。

虚功的概念:力与沿力作用点方向上的位移的乘积。虚功中的力和位移之间没有因果关系。这是虚功区别于实功的重要特点。

? ?

虚功可大于零也可小于零。

第3章静定结构受力分析一、刚体体系的虚功原理

设刚体体系上作用任意的平衡力系,又设体系

发生符合约束的无限小刚体位移,则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。刚体体系的虚功方程: W外虚=0 由于虚功中的力与位移没有因果关系,可使其中

的一种状态是虚设的,而另一种是真实的状态。

因此,虚功方程演变出两种形式及应用:

第3章静定结构受力分析

两种应用:

虚设位移—虚位移原理求静定结构内力。虚设力系—虚力原理求刚体体系的位移。

? 虚位移原理的应用体系上真实的平衡力系,虚设体系的无限小刚体位移,外力所作的总虚功等于零。虚位移方程用于求真实的未知力(内力、支座反力)。

第3章静定结构受力分析

例: 虚设位移求未知力:图示杠杆,在B点作用已知荷载FP, 求杠杆平衡时在A点需加的未知力FX。

? X?

FX FX A

FP FP

C b B

虚功方程为 FX ? X ? (? FP? P ) ? 0

?? P

?P b 几何关系: ? ?X a b 则 FX ? FP a

或设 ? X ? 1

b? ? 相应的虚功方程为 FX ? 1 ? ? ? FP ? ? ? 0 a? ? b 则 FX ? FP

第3章静定结构受力分析

二、应用虚功原理求静定结构的支反力图(a)为一静定梁,

拟求支座A的反力FX。

结论:撤除与FX相应的约束,结构变成机构,约束力变成主动力,机构可能发生的刚体体系位移当作虚位移,写出虚功方程确定几何关系,求FX 。

第3章静定结构受力分析

例3-16 试求图示静定多跨梁在C点的支座反力FX。设荷载FP1 和 FP2 等于常数FP 。解(1)撤除支杆C,FX 变成主动力,体系变成机构,如图(b) (2)取图(c)虚线所示机构的刚体体系位移作为虚位移, 设δx=1。 (3)由虚功方程求得

3 2

3 4

? 3? ? 3? FX ? 1 ? FP ? ? ? ? ? FP ? ? ? ? 0 ? 2? ? 4?

? FX ?

3 FP 4

三、应用虚功原理求静定结构的内力例3-17 试求简支梁截面C的弯矩MC。解(1)撤除与MC相应的约束,MC 变成主动力,如图(b)。 (2)取虚位移如图(c),可见 C截面的一对力偶对应的虚位移为 ? ? ? (3)虚功方程为

M C ? ?? ? ? ? ? M? ? 0 b 解得 MC ? M l

b 令? ? ? ? 1 ? ? ? l

例3-18 试求图示简支梁截面C的剪力FQC。解(1)撤除与FQC相应的约束, FQC 变成主动力,如图(b)。 (2)取虚位移如图(c)。 (3)令图(b)的主动力在图(c)虚位移上作功。虚功方程为

FQC ? ?a? ? b? ? ? q ? ydx ? q ? ydx ? 0

a l 0 a

1 1 ? FQC ? ?a? ? b? ? ? q a ? a? ? q b ? b? ? 0 2 2 q F ? (b ? a ) 解得 QC 2

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