谁能帮我证明一下施密特正交化过程
2017-05-26
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文章简介：具体参考知识:可逆矩阵的UT分解. 在此,我简单的说一下: 首先能正交化的矩阵必须是可逆的,也就是满秩,否则得话,它的列向量一定线性相关,那么它们根本不能作为N维空间的一组基,也就更谈不上将其正交化了.其次根据UT分解定理: 对于任何可逆阵A,一定存在酉矩阵U和主对角线恒为正的上三角阵T,使得A=UT 其实施密特正交化就是这个定理的逆用: U=T^(-1)A A为任意可逆阵,也就是为正交化之前的那个矩阵.U为酉矩阵(酉矩阵退化到实数范围就是正交阵),也就是施密特正交化之后的结果. T^(-1)还
具体参考知识:可逆矩阵的UT分解. 在此,我简单的说一下: 首先能正交化的矩阵必须是可逆的,也就是满秩,否则得话,它的列向量一定线性相关,那么它们根本不能作为N维空间的一组基,也就更谈不上将其正交化了.
其次根据UT分解定理: 对于任何可逆阵A,一定存在酉矩阵U和主对角线恒为正的上三角阵T,使得A=UT 其实施密特正交化就是这个定理的逆用: U=T^(-1)A A为任意可逆阵,也就是为正交化之前的那个矩阵.
U为酉矩阵(酉矩阵退化到实数范围就是正交阵),也就是施密特正交化之后的结果. T^(-1)还是上三角阵.从此可以看出,为什么施密特正交化过程中,b1只与a1有关,但b2与a1,a2有关,b3与a1,a2,a3有关.
其实质是乘以了一个上三角阵.具体乘的过程中你就可以发现了. 至于怎么求这个T^(-1),其实是就求个向量在正交基上的投影系数,这个的推导,你可以看看内积空间的变换,向量a在向量b上的投影系数就是a,b做内积,具体在这里说不太清楚. 癞蛤蟆0467 2014-10-10
