中国古今26位著名数学家的故事下
2017-07-05
字体:
大中小
浏览:
文章简介：15.陆家羲是中国组合数学家,生于上海一个贫苦市民家庭.父亲是个收入低微的小商贩,母亲没有职业,靠给别人缝洗衣服弥补家计的不足.他是这个家庭
15.陆家羲是中国组合数学家,生于上海一个贫苦市民家庭。父亲是个收入低微的小商贩,母亲没有职业,靠给别人缝洗衣服弥补家计的不足。他是这个家庭的独子,5岁开始上学,先后在上海正德小学、声扬中学和麦伦中学读书。他十分珍惜父母亲辛劳节俭给他提供的读书机会,从小就勤奋好学,成绩优秀。初中毕业后,因父亲去世家境困窘而中断学业,并到公共汽车五金材料行当徒工。工余时,他仍孜孜不倦地读书自学,立志日后要攀登科学高峰。上海解放后,他考入东北电器工业管理局的统计训练班。短期学习后,于1952年5月被分派到哈尔滨电机厂生产科担任统计工作。在此期间他自修了高中课程和俄语,并广泛涉猎天文、地理、文学、哲学、伦理学等多方面的知识。1957年在职考入东北师范大学物理系接受高等教育。1961年毕业分配到包头钢铁学院担任助教。高校调整时该校下马,他被调入包头市教育系统,先后在包头市教育局教研室、包头8中、包头5中、包头24中以及包头9中等校担任物理教师直到逝世。在哈尔滨电机厂工作期间,一次,他阅读了一本名为《数学方法趣引》的书——这是对他一生道路有决定意义的一件事。这本书是我国老一辈数学家孙泽瀛编写的数学普及读物。书中所介绍的两个问题——“柯克曼女生问题”和“斯坦纳系列问题”强烈地吸引了他,使他产生了跃跃欲试的愿望。此后,对这两个组合设计问题的追求再也没有同他的生活分离。他的本行专业不是数学。尽管数学是理工科的基础课,但对从事数学研究工作是远远不够的。50年代末期的中国也还没有开始对组合数学的系统研究,没有中文的参考书。他也难以找到向这方面求教的行家。就是在这样一种环境和条件下,他靠顽强的毅力而闯入组合设计领域。对于一个外行来说、起步时的艰难是可想而知的。“女学生问题”如果对于较小酌阶数,还可以作为一种数字游戏,以拼拼凑凑的方式去寻求答案。但随着阶数的增大,设计问题的成功已远非碰运气所能奏效的了。在众多的(甚至近乎天文数字的)可能排列组合中去搜寻少得可怜的正确组态真犹如大海捞针,即使是现代高速计算机也难以完全胜任。这里的关键是要掌握现代设计理论的方法和工具。意识到这一点,他感到首先必须去艰苦地学习,才能尽快地进入前沿而想方设法地学习。笔者曾经有幸在他生前于1983年大连会议上听他讲过这样一段话:“我从一名数学外行最终得以入门进到组合设计的前沿,一要感谢孙泽瀛先生的小册子,它确实对我是一个有趣的向导;二要感谢那些可供不同层次读者学习的专业书籍。我没有时间也不需要从头到尾去读大部头的专论。我是带着问题学,实用主义式的。我当然还要感谢国内外数学界前辈和同行的工作,他们的文章为我打好了基础,也使我从中借鉴了不少好的方法。”这就是他所选择的学习道路和研究方式。
这既是一条捷径,也是一条艰难的道路。进入大学后,他借阅有关的书籍,逐一学习自己不懂的数学概念、术语、方法,学习组合设计理论的方法。他边学边实践,搞懂了就去联想、构思,从实用中尝到甜头,提高信心,再进一步学习。这个期间,他先后学习了近世代数、初等数论、0—1矩阵理论、有限几何、差集理论以至正交拉丁方理论等多个数学分支。热切地追求真理的愿望和顽强执着地向既定目标迈进的精神,使图书馆、资料室、走廊灯下、校园僻静处都成了他的数学天地。在这个天地中,他的辛劳勤奋不仅使他以优异成绩取得物理专业的毕业文凭,而且完成了他自己的第一篇数学论文,在攻克“柯克曼女生问题”的道路上迈出了第一步。
工作以后,他承担着繁重的教学任务。为了能在认真完成教学任务的同时再在自己心心思念的两个数学问题上投入力量,他投入了自己所有的业余时间:不分日夜、没有节假、理发周期一再增长、简单的饮食乃至婚姻大事也一直被忽略到37岁的年纪。人们都知道居里夫妇的实验室,既类似马厩,又宛若马铃薯窖。但是谁又能和中国知识分子的工作和生活环境的艰难程度相比呢?陆家羲一家4口挤住在一间10多平方米的小屋内,这既是卧室,又是厨房和写字间。室内仅有一些陈旧的家俱和寒酸的衣物。唯一的一张可写字的桌面要让给上学的女儿用。他是趴在多处贴补了旧报纸的破土炕上演算着世纪性难题!包头地处边睡,信息闭塞,资料缺乏。为了查阅文献,他除了通过各方面关系与一些高校的图书资料部门取得联系外,还不时要千里迢迢自费进京。他唯一的业余爱好是欣赏京剧唱段,但是为了提高自己的英语水平,他的京剧唱片换成了英语唱片。他的一切:家庭生活、时间、精力和有限的金钱都完完全全地付给了唯一的目标——攻克尖端、他逝世后,他的女儿在“悼念爸爸”的短文中遗憾地写道:“爸爸,您走得这样匆忙,……您前几年提出要照一张全家福,可一直没抽出时间。如今,我们只有把这张全家福印在心上了。”他的妻子曾说:“……是祖国和人民将他培养起来的。……他所以不分昼夜地拼,更重要的还是要干出成绩来报效国家,报效人民。”
从1961年到1983年,他共撰写了20余篇研究论文。这些论文除6篇于他去世前后在美国《组合杂志》上发表外,其余均在国内投稿,但结果不是退稿就是石沉大海。
当然,这里有各种各样的原因。中国数学会有关同志曾于1984年专门就此查询了陆所投稿件的处理情况,发现有的是社会大环境造成的(***期间,一些学术性刊物已处于实际上停刊的状态);有的是稿件本身的原因(信息的不灵,时间的滞误使国外已枪在前面);也确实有的应归咎于审稿方面(对问题的价值的不理解或判断的失误。最不能让人原谅的是对第2、3两篇的轻率处理,它使我们丢掉了在RB[3,1;V]和RB[4,1;V]方面的优先权)。但不论是哪种因素,对当时的陆家羲来说都是不公正的打击。面对这一再的挫折和不幸,他没有气馁,更没有自暴自弃。对接到的退稿,他或是加以修改,充实后再投、改投,或是更上一层,对新的高度发起下一轮冲击。
他所受到的不公正还不止这一方面。在极左思路泛滥和***灾难时期,他时常受到一些人的巩笑,说他是“傻子”,有“精神病”;他还被指责为追求名利、不务正业;甚至有一段时间被扣上“不问政治、走白专道路”的帽子,送到干校去集训,接受批判,进行劳动改造,……。研究成果的不被承认,生活上的窘困,政治上的受压抑,统统压到了他那高度近视的、饱经沧桑的身体上。但是,他以惊人的顽强挺住了,凭着对事业的追求,凭着振兴中华民族的一颗耿耿爱国之心,他含辛茹苦、百折不挠,终于迎来了胜利的喜悦。1983年7月,他应邀在全国首届组合数学会议(大连)上报告了他的研究成果,受到与会中外学者的一致称赞。国际组合论界权威性刊物,美国的《组合论杂志》A辑分别在1983和1984年的两期上,以总共99个印刷页的惊人篇幅连载了他的6篇论文“论不相交的斯坦纳(Steiner)三元系大集”。我国数学界的一级刊物《数学学报》也在1984年底全文发表了他解决“柯克曼女生问题”的重要论文。为了使他能更好地从事前沿研究,华南师范大学开始商调他去任教,加拿大多伦多大学拟邀他去合作研究。美国《数学评论》杂志主管编辑则函请他担任该刊的评论员。1983年l0月在武汉召开的中国数学学会第四次全国代表大会破例邀请他作为唯一的中学代表并在会上作报告。
1983年10月30日晚,他从武汉返回包头家中,兴奋地向他的妻子滔滔不绝地讲述着他这几个月来内心的感受:研究成果所受到的重视国内外学术界给他的赞誉,自己进一步攻关的打算……。他妻子事后追忆说,她第一次见到他笑得这样爽朗,这样欢快!是的,他笑了,但是这已是积劳成疾的他的最后笑声。当夜凌晨,他带着成功的喜悦和未竞事业的遗憾长逝了!
他不幸早逝后,国内外数学界许多专家学者、学校、部门纷纷发来唁电、唁函表示惋惜、悼念。包头市和内蒙古自治区政府授予他特级教师称号。在中国数学会理事长吴文俊等主持的首届刘微数学讨论班上专门安排了一个介绍他的研究成果的学术报告。l984年10月31日,内蒙古自治区领导召开表彰大会,授予他自治区科技进步特等奖;1987年底,国家科委又将他的大集成果评为国家自然科学一等奖。这也是他理所当然应当得到的荣誉。l984年9月,我国组合数学界组织的“陆家羲学术工作评审委员会”对他的斯坦纳三元系大集工作给出了这样的评价:“众所周知,1960年Bose等证明了>l时欧拉猜想不成立;1961年,汉纳尼给出并证明了[k,λ;v]设计存在的充要条件。这是区组设计理论中的两大举世闻名的成就。陆家羲关于大集的成果可以与上述两大成就相媲美,并将同它们一起载于组合数学的史册”。国际著名的组合数学家、加拿大多伦多大学教授门德尔森(Mendelsuhn)在83年7月访华时赞扬陆家羲的上述成果是“组合设计领域中20年来的重大成就之一”,称他是“一位很好的组合学家。”多伦多大学校长在来信中则称陆是“闻名西方的从事组合理论的数学家”。对陆1961—1965年未得发表的关于柯克曼女生问题的解决方法,威尔逊等国外学者也表示了极大的兴趣。1988年8月,根据国内外学者的倡仪,在安徽屯溪召开了以纪念陆家羲先生为主旨的“区组设计国际会议”,中国数学会并委托内蒙古数学会组织有关专家编辑出版《陆家羲遗文集》。16.李锐(1769—1817)是中国古代数学家,又名向,字尚之,号四香,江苏元和县(今属苏州市)人。(一)少从名师
李锐先世居河南,祖父名横,父名章培。李章培系乾隆十七年(1752)进士,曾任河南伊阳(今汝阳)知县,后调兵部主事。李锐生于l769年1月l5日,“幼开敏,有过人之资。从书塾中捡得《算法统宗》,心通其义,遂为九章八线之学。”
1788年,李锐为元和县生员。次年钱大听来主持紫阳书院,李锐就此受业其门下。1791年,李锐从紫阳书院肄业,开始向钱大听学习天文和数学知识。钱氏“始教以三角、八线、小轮、椭圆诸法,复引而进于古”。钱大听“日以翻阅群书校仇为事,遇有疑义辄与锐商榷”。例如撰成《三统术衍铃》之后,就请李锐算校并作跋,可见钱氏对这位弟子的学问相当满意。这段学徒生涯,使李锐不但学到了知识,而且熟悉了乾嘉学派大师的治学方法,对此有人记道:“受业于钱辛楣宫詹(指大听)为九数学,宫詹诲之曰:‘凡为弟子者,不胜其师,不为贤弟子,吾友段若鹰(即玉裁)之于戴东原(即震)是矣,子其勉之。’先生(即李锐)于是闲门沉思五年,尽通畴人家言。”
由于钱大听的介绍,李锐开始与比他年长6岁的焦循通信。l790年,焦循以所著《群经宫室图》二部寄钱大听,后者复函称“已分一部致李生尚之,并将尊札付其阅看,伊亦深佩服,以不得握手为恨李锐也给焦循去了一信内容主要讨论行星运动问题。
(二)幕宾生涯
1795年,阮元出任浙江学政,开始筹划编纂《畴人传》。不久李锐被邀至杭州,实际上成为这一中国历史上第一部天文、数学家传记的主笔。在此期间,他常往来于苏、杭之间,得以广泛接触江南各藏书名家所收珍本秘籍,并有可能获读文澜阁四库全书中的传抄本。在此基础上,李锐对中国古代数学进行了认真的研究,他的工作与乾嘉学派对古代经典的广泛整理是相一致的。先后经他整理过的中国古代数学名著有李冶的《测圆海镜》和《益古演段》、王孝通的《缉古算术》、秦九韶的《数书九章》,及《九章算术》等。在天文学方面,李锐相继对三绝、四分、乾象、奉元、占天、淳佑、会天、大明、大统等历法进行了疏解。并先后完成《三统术注》、《四分术注》等五部书稿。在经学方面,他曾协助阮元校勘《周易》、《谷梁》及《孟子》,其成果被载入阮元编的《十三经注疏》之中。他又自撰《周易虞氏略例》、《召浩曰名考》这样的经学作品。l798年,李锐完成了《弧矢算术细草》—书。1799年在读《宋书·律历志》时、对其中用棕转述之何承天调日法有所悟,撰成《日法朔余强弱考》—书。同年《畴人传》编竣。在此期间,李锐与焦循同居阮元节署之内。朝夕相处,“共论经史,穷天人消息之理。”、”大约此时,李锐通过焦循了解到汪莱的工作;汪、李初次见面则在l800年。
汪莱于1801年授馆扬州,同年撰成《衡斋算学》第五册,议论秦九韶,李冶开方之“可知”与“不可知”,即数字方程是否仪有—个正根。稿成后汪氏曾分送张敦仁和焦循二人求正、焦循逐将汪莱的书稿出示给李锐。李锐看毕“深叹为精善,复以两日之力作开方三例”。这是1862年9月5日的事。当时李锐丧妻不久、又逢失子,独自居住于西湖边之孤山附近,心境十分凄凉。他在为汪莱所作的跋文中说:“是卷穷幽极微,真算氏之最也”。随后给出的“三例”则是他研究方程理论的开篇之作。
l805年,李锐应扬州太守张敦仁之邀前往入幕。此时在场州的数学家还有焦循、汪莱、凌廷堪、沈钦裴等人,一时风云际会,尤以李、汪、焦(一说李、凌、焦)三人被誉为“谈天三友”。张敦仁先后撰写《缉古算经细草》,《求——算术》、《开方补记》等书,都得到李锐的鼎力相助。他觅得南宋版《九章算术》(前五章)、《孙子算经》、《张丘建算经》之后,都请李锐算校整理。大约同时,汪莱完成了《衡斋算学》第七册,把方程论的研究又向前推进了一大步。
1806年,李锐回到苏州。这一年他相继撰成《勾股算术细草》、《磐折说》、《戈戟考》等作品,又为张敦仁复校《求—算术》。1808年写成《方程新术草》,书成后即寄给北京的李潢一部抄本。当时李潢正在从事《九章算术》的研究,他后来复函李锐,对此书及两年前经由张敦仁送来的《勾股算书细草》给予很高的评价。李锐与李潢,也被人并称为“南北二李”。
李锐生平虽曾多次参加科举考试,但是均未获成功。1801年,李锐从张敦仁在南昌的府邸出发,前往北京参加他的最后一次考试。这次顺天府的乡试又以失败告终,但他得以与李潢这位神交已久的学术知己聚首。在京期间,他们曾频繁往来,主要讨论《九章算术》中的问题。
李锐一生对中算古籍十分珍视,除了以—上提到曾多部古算书校释外,又于1800年亲自购得梅文鼎手录之明清之际数学珍本《西镜录》;此书后由焦循另抄一册,得以流传至今。在北京滞留期间,他又从李潢处读到阮元录自《永乐大典》的多部算书。1814年,李锐得到一部散乱的《杨辉算法》,遂据文义重新排列整齐。18l6年,他从张敦仁处获阅阮元早先访得并呈入四库的《四元玉鉴》,开始动手整理,可惜因体力不支未能卒业,以至阮元叹道:“惜乎李君细草未成,遂无能读是书矣。”(三)贫病相伴李锐虽然长年奔走于达官显贵之间,他的家庭生活却是十分清苦的。在他留下的日记中,经常可以看到“受某某银若干”的记载;有一则日记还提到李潢托请张敦仁“少分清俸,以瞻其家,俾得悉心、著书。”李锐也经常以自己的精神劳动来回报他的导师或保护人,钱大听、张敦仁、阮元、李潢等人都曾采用过他的研究成果,难怪有人说他“凡有诘者”,“悉详告无隐”。李锐嗜书如命。为此不得不节衣缩食。有时实在买不起。他就靠借书和抄书来获得所需的资料。尤为可悲的是、为了传宗延嗣.他在发妻龚氏及爱子天亡之后又相继二次娶妻,直到临终始得一子。过度的工作量和沉重的家庭负担无疑加剧了他生活的贫困,也损害了他的健康。
l814年,李锐已患重病,此时他开始向弟子黎应南讲授开方与解方程的理论,断断续续地讲了三年,其讲稿就是后来的《开方说》。l8l7年夏,李锐病情恶化,临终前嘱托黎应南务必将尚未定稿的《开方说》下卷写好。1817年8月12日,正值创造盛年的李锐咯血身亡。时年仅48岁。
李锐去世后,黎应南“谨遵先生遗命,依法推衍”。于1819年将《方程论》全部完成。
李锐的科学著作,主要的都被收集在《李氏遗书》之中。该书初刊***庆年间,共11种18卷,其子目为:《召浩曰名考》、《三统术注》、《四分术注》、《乾象术注》、《奉元术注》、《占天术注》、《日法朔余强弱考》、《方程新术革》、《勾股算术细草》、《弧矢算术细草》、《开方说》。此外,他还著有《测圆海镜细草》、《缉古算经细草》、《补宋金六家术》;《回回历元考》等书。李锐在其学术活动中集继承与创造于—身。他对数学的贡献,主要有以下四个方面:
(一)编纂《畴人传》
《畴人传》是一部以历法沿革为主线,以人物为核心的大型天文、数学家传记,共收录自远古至清初的中外历算家3l6人。每一人物均由“传”、“论”两部分组成:“传”主要是原始文献的荟萃、“论”是编者对传主的简短评语。没有对中国古代天文、数学的全面了解和博览群书的条件,是很难胜任这一任务的。李锐正是这部书的总体设计者和主要执笔人。
作为该书名义上主编的阮元,提到其编辑过程时自云“供职内外,公事频繁”,而“元和学生李锐暨台州学生周治平力居多”。类似的话在他为罗士林《续畴人传》写的序言和应李锐子可玖写的传记中都一再重复。阮元以地方长官的身份办学刻书,先后冠其名出版的《经籍纂诂》,《十三经注疏》、《皇清经解》等大部头经学著作无不出自其幕宾之手,此情自可推论到《畴人传》上。阮自称“本昧于天算”,又认定李锐“深于天算术。江以南第一人也”,因而将《畴人传》的具体工作交李锐来于是十分可能的。
从该书的具体内容来看,“张寿王”、“刘洪”、“马显”、“昭素”、“周踪”、“刘孝荣”、“卫朴”、“姚舜辅”、“蒋友仁“王孝通”、“李德卿”、“谭玉”、“杨级”、“耶律履”、“贝琳”传都与李锐有关著作中的文字完全相同;“虞刘”、“王处钠”论中亦可见到“李尚之锐曰”等字样,因而早就有人说:“(人传)正传成于阮氏,实乃元和李氏之笔”。
(二)整理古算书
乾隆年间编纂《四库全书》,一大批久经埋没的珍贵古代学经典得以重见天日,戴震、阮元、张敦仁等人都曾致力于罗各种“算经十书”和宋元数学名著。然而这些古书历经辗传抄或翻刻,讹文夺字迭出,所用术语又往往与当时的不同,而校勘和注释的任务是相当艰巨的。
《九章算术》是中国古代数学的代表作,现在公认早期最的校注工作是1820年出版的李潢之《九章算术细草图说》。而早在此之前,李锐就已先后完成《勾股算术细草》和《方新术草》二书,书成后都曾送李潢过目,有李潢的信为证:
“读大著《方程新术草》一卷,正负相当各率,一?自然,正从前传刻之误,阐古人未发之覆,愉快弥日。《股(算术)细草》,前岁(1807)古愚太守(即张敦仁)见。
惠一本,条段各图,细入毫芒,真精思大力之作也。”对照李潢和李锐关于勾股定理及其应用的·说明,不难发现二者所用“条段各图”几乎雷同,尤其·是李潢书中关于刘微用“出入相补”法证明勾股定理的一段说明显然是完全照搬李锐的。李潢书中关于.“方程新术”的解释,基本上也是因袭李锐的著作。
李锐也曾撰写《海岛算经细草》和《缉古算术衍》、二书均已失传。但张敦仁有《缉古算术细草》传世,李锐曾为之算校并作跋,有人“疑此细草即以《缉古算术衍》为兰本,而扩其意耳。”李锐又协助张敦仁完成《求一算术》和《开方补记》二书。
李锐还曾整理过《孙子算经》、《测圆海镜》、《益古演段》、《数书九章》、《四元玉鉴》、《杨辉算法》等。
(三)疏解调日法和求一术
调日法是中国古代天文学家用分数来近似表达天文基本数据的一种数理方法,但是“元明以来畴人子弟,罔识古义,竞天知其说者。”李锐在读《宋书·律历志》的时候,注意到其中周琼转述“宋世何承天更以四十九分之二十六为强率,十七分之九为弱率,于强弱之际以求日法”的意义,他解释道:何氏以26/49和19/17为上、下限,将朔望月的奇零部分表示为(2615+91)/(4915+171)=399/752,即选取强、弱二率适当的加权平均来近似表达观测值,这就是调日法的本质。上述分数中分子叫作朔余,分母叫作日法。以此为契机,李锐对51家古代历法进行了考察.试图将每一历法所给出的日法和朔余二值表示成上述带权加成的形式,并以此推测它们是否应用调日法而来。这一工作使调日法这—古代分数近似法重新受到重视,被人称为“尤为抉尽间奥,皆必传之作,不但与秦氏书为羽翼也。”
但是从现代数学的观点来看,位于两个既约分数之间的任何分数都可以表示为它们二者的带权加成形式,因此仅以此来判定古代历法的数据系由调日法而来是欠严谨的。况且由于精度所限和运算之繁复,古代制历者也不大可能全用这种累乘累加的方法来确定其日法和朔余。李锐大约感到了后一困难.他又创造了一种“有日法求强弱(数)”的方法,其目的仍然是将朔余与日法的比值表示为26/49和9/17的带权加成。若以A表示日法,x和y分别表示强、弱二数,李锐提出的问题相当与求解二元一次不定方程:47x+17y=A,其术文提供了一种依赖于求一术的简捷算法,从而在中国数学史上第一次沟通了二元一次不定方程与同余式组这两类问题之间的联系。
(四)研究代数方程论
李锐对代数方程论的兴趣发轫于对秦九韶、李冶等末元数学家著作的整理与研习,但其直接导因却是汪莱在《衡斋算学》第五册中对各类方程是否仅有一个正根的讨论。在为汪莱所作的跋文中,他将汪莱所得到的96条“知不知”归纳为三条判定准则,其中第一条相当于说系数序列有一次变号的方程只有一个正根,第三条相当于说系数序列有偶数次变号的方程不会只有一个正根;它们与l6世纪意大利数学家卡当(G·CarJano)提出的两个命题十分相似。
在《开方说》中,李锐则给出了更一般的陈述:“凡上负、下正,可开一数”,“上负、中正、下负,可开二数”,“上负、次正、次负、下正,可开三数或一数”,“上负、次正、次负、次正、下负,可开四数或二数”;推而广之,他的意思相当于说:(实系数)数字方程所具有的正根个数等于其系数符号序列的变化数或者比此变化数少2(精确的陈述应为“少一个偶数”)。这一认识与法国数学家笛卡儿(R.Descartes)于l637年提出的判别方程正根个数的符号法则是不分伯仲的。
除了关于方程正根个数的判定法则之外,《开方说》中还有许多其他的重要成果。例如李锐首先引进了负根和重根的概念;他又将方程的非正数解称为“无数”,并声称“凡无数必两,无一无数者”,这里隐约含着虚根共扼出现的思想。李锐又在整数范围内讨论了二次方程和双二次方程无实根的判别条件,创造了先求出一根首位再由变形方程续求其余位数字和其余根的“代开法”,还对末元算书中所包含的各种方程变形法,如倍根变形、缩根变形、减根变形、负根变形,逐一进行了解释并加以完善。
所有这些内容,标志着李锐在方程论领域的工作突破了中国古典代数学的窠臼,成为清代数学史上一个引人注目的理论成果。(公元1811年~1882年)下" TITLE="中国古今26位著名数学家的故事下" />十九世纪六十至九十年代,一批近代科学家脱颖而出,浙江海宁人李善兰就是其中的佼佼者。李善兰字壬叔,号秋纫,浙江海宁人,出生与一个书香门第,少年时代便喜欢数学。十岁那年,李善兰在读家塾时,从书架上“窃取”中国古代数学名著——《九章算术》“阅之”,仅靠书中的注解,竟将全书426个数字应用题全部解出,自此,李善兰对数学的兴趣更为浓酣。十五岁时,李善兰迷上了利玛窦、徐光启合译的《几何原本》,尽通其义,可惜徐、利二人没有译出后面更艰深的几卷,李善兰深以为憾,常幻想有“好事者或航海译归”,使自己得窥全豹。咸丰二年,他到了上海,结识了英国传教士伟烈亚力与艾约瑟,他们对李善兰的才能颇为欣赏,遂邀请他到墨海书院共译西方格致之书。墨海书院为英国传教士麦都斯所创立。此书馆原为传教而设,其后译书工作从宗教书刊扩张到西方科技领域,郭嵩焘出使英法前路经上海,曾到墨海书院参观,并在日记中写到:次至墨海书院,有麦都思者,西洋传教人也,自号墨海老人。所居前为礼拜祠,后厅置书甚多,东西窗下各设一球,右为天球,左为地球。麦君著书甚勤,其向相与校定者,一为海盐李壬叔(即李善兰),……李君淹博,习勾股之学。李善兰到墨海书院之后,率先与伟烈亚力合作,翻译《几何原本》后九卷,以续成利玛窦、徐光启的未尽之业。《几何原本》一书,在西方各国亦多为全译,英国虽有一部从希腊文译为英文的完本,但因翻译和校勘粗疏,伪误层见叠出。“毫厘千里所失非轻”。连伟烈亚力自己也承认,“余愧翦陋,虽生长泰西,而此术未深,不敢妄为勘定”。只能就英译本照本宣科,口译为汉语,而谬误之处全凭李善兰从深广的数学知识加以匡正审定。经伟烈亚力和李善兰“四历寒暑”的努力,《几何原本》译本终成完璧,西方近代的符号代数学以及解析几何和微积分以《几何原本》全本为载体,第一次传入我国。《几何原本》的全译是一项艰苦的工作,在《几何原本后九卷续译序》中,李善兰语重心长地说:“后之读者勿以为书全本入中国为等闲事也”。其间包容了经历过万般艰辛后的无限感叹。在全书的翻译过程中,李善兰用力甚巨,伟烈亚力曾不无谦逊地说:“删芜正讹,反复详审,伸其无有疵病,则李君之力居多,余得以借手先成矣”。他同时宣称:“异日西士欲求是书善本,当反求诸中国矣”。可见对译书的质量十分满意。在《几何原本》后九卷的翻译过程中,艾约瑟又邀请李善兰同译英国人胡威力所著《重学》。所谓“重学”即力学。于是,李善兰“朝译几何,暮译重学”,李善兰所译的《重学》虽然只是原文书的中间部分,但译出的部分已较为详细地介绍了力学的一般知识。书中的牛顿力学三大定律则是第一次介绍入中国。除了《几何原本》后九卷与《重学》外,李善兰还与伟烈亚力合译了另一本重要的科学理论著作,这就是《谈天》。《谈天》是一本天文学著作,原名《天文学纲要》,其作者是英国著名天文学家约翰·赫歇尔。该书对太阳系的结构和行星运动有比较详细的叙述,其中涉万有引力定律、太阳黑子理论、行星摄动理论、彗星轨道理论等方面的介绍。同治七年(1868年),李善兰因郭嵩涛推荐,到北京任同文馆天文算学馆总教习,天文算学馆相当于现在的大学数学系,李善兰可以称得上我国数学史上第一位数学教授,他在天文学馆执教十余年,先后课徒百余人,一直工作到病逝。在中国近代史上,李善兰以卓越的数学研究引人瞩目。善兰数学造诣颇深,“其精到之处自谓不让西人,抑且近代罕匹”。他编辑刊刻的《则古昔斋算学》中包括数学著作13种,李善兰早期研究的数学课题,主要是我国明清以来的传统数学。比较突出的是他对“尖锥术”的独立研究。他在中国传统数学垛积术的极限方法基础上,发明了尖锥术,创立了各种三角函数和对数函数的幂级数展开式,以及几个重要积分公式的雏形,李善兰在创造“尖锥术”的时候,还没有接触到微积分,但他实际上具有解析几何思想和微积分思想,“则以一端,即可闻名于世”。由此可见,即使没有西方传入的微积分,中国数学也将回通过自己的特殊途径,运用独特的思想方式达到微积分,从而完成由初等数学到高等数学的转变。
这既是一条捷径,也是一条艰难的道路。进入大学后,他借阅有关的书籍,逐一学习自己不懂的数学概念、术语、方法,学习组合设计理论的方法。他边学边实践,搞懂了就去联想、构思,从实用中尝到甜头,提高信心,再进一步学习。这个期间,他先后学习了近世代数、初等数论、0—1矩阵理论、有限几何、差集理论以至正交拉丁方理论等多个数学分支。热切地追求真理的愿望和顽强执着地向既定目标迈进的精神,使图书馆、资料室、走廊灯下、校园僻静处都成了他的数学天地。在这个天地中,他的辛劳勤奋不仅使他以优异成绩取得物理专业的毕业文凭,而且完成了他自己的第一篇数学论文,在攻克“柯克曼女生问题”的道路上迈出了第一步。
工作以后,他承担着繁重的教学任务。为了能在认真完成教学任务的同时再在自己心心思念的两个数学问题上投入力量,他投入了自己所有的业余时间:不分日夜、没有节假、理发周期一再增长、简单的饮食乃至婚姻大事也一直被忽略到37岁的年纪。人们都知道居里夫妇的实验室,既类似马厩,又宛若马铃薯窖。但是谁又能和中国知识分子的工作和生活环境的艰难程度相比呢?陆家羲一家4口挤住在一间10多平方米的小屋内,这既是卧室,又是厨房和写字间。室内仅有一些陈旧的家俱和寒酸的衣物。唯一的一张可写字的桌面要让给上学的女儿用。他是趴在多处贴补了旧报纸的破土炕上演算着世纪性难题!包头地处边睡,信息闭塞,资料缺乏。为了查阅文献,他除了通过各方面关系与一些高校的图书资料部门取得联系外,还不时要千里迢迢自费进京。他唯一的业余爱好是欣赏京剧唱段,但是为了提高自己的英语水平,他的京剧唱片换成了英语唱片。他的一切:家庭生活、时间、精力和有限的金钱都完完全全地付给了唯一的目标——攻克尖端、他逝世后,他的女儿在“悼念爸爸”的短文中遗憾地写道:“爸爸,您走得这样匆忙,……您前几年提出要照一张全家福,可一直没抽出时间。如今,我们只有把这张全家福印在心上了。”他的妻子曾说:“……是祖国和人民将他培养起来的。……他所以不分昼夜地拼,更重要的还是要干出成绩来报效国家,报效人民。”
从1961年到1983年,他共撰写了20余篇研究论文。这些论文除6篇于他去世前后在美国《组合杂志》上发表外,其余均在国内投稿,但结果不是退稿就是石沉大海。
当然,这里有各种各样的原因。中国数学会有关同志曾于1984年专门就此查询了陆所投稿件的处理情况,发现有的是社会大环境造成的(***期间,一些学术性刊物已处于实际上停刊的状态);有的是稿件本身的原因(信息的不灵,时间的滞误使国外已枪在前面);也确实有的应归咎于审稿方面(对问题的价值的不理解或判断的失误。最不能让人原谅的是对第2、3两篇的轻率处理,它使我们丢掉了在RB[3,1;V]和RB[4,1;V]方面的优先权)。但不论是哪种因素,对当时的陆家羲来说都是不公正的打击。面对这一再的挫折和不幸,他没有气馁,更没有自暴自弃。对接到的退稿,他或是加以修改,充实后再投、改投,或是更上一层,对新的高度发起下一轮冲击。
他所受到的不公正还不止这一方面。在极左思路泛滥和***灾难时期,他时常受到一些人的巩笑,说他是“傻子”,有“精神病”;他还被指责为追求名利、不务正业;甚至有一段时间被扣上“不问政治、走白专道路”的帽子,送到干校去集训,接受批判,进行劳动改造,……。研究成果的不被承认,生活上的窘困,政治上的受压抑,统统压到了他那高度近视的、饱经沧桑的身体上。但是,他以惊人的顽强挺住了,凭着对事业的追求,凭着振兴中华民族的一颗耿耿爱国之心,他含辛茹苦、百折不挠,终于迎来了胜利的喜悦。1983年7月,他应邀在全国首届组合数学会议(大连)上报告了他的研究成果,受到与会中外学者的一致称赞。国际组合论界权威性刊物,美国的《组合论杂志》A辑分别在1983和1984年的两期上,以总共99个印刷页的惊人篇幅连载了他的6篇论文“论不相交的斯坦纳(Steiner)三元系大集”。我国数学界的一级刊物《数学学报》也在1984年底全文发表了他解决“柯克曼女生问题”的重要论文。为了使他能更好地从事前沿研究,华南师范大学开始商调他去任教,加拿大多伦多大学拟邀他去合作研究。美国《数学评论》杂志主管编辑则函请他担任该刊的评论员。1983年l0月在武汉召开的中国数学学会第四次全国代表大会破例邀请他作为唯一的中学代表并在会上作报告。
1983年10月30日晚,他从武汉返回包头家中,兴奋地向他的妻子滔滔不绝地讲述着他这几个月来内心的感受:研究成果所受到的重视国内外学术界给他的赞誉,自己进一步攻关的打算……。他妻子事后追忆说,她第一次见到他笑得这样爽朗,这样欢快!是的,他笑了,但是这已是积劳成疾的他的最后笑声。当夜凌晨,他带着成功的喜悦和未竞事业的遗憾长逝了!
他不幸早逝后,国内外数学界许多专家学者、学校、部门纷纷发来唁电、唁函表示惋惜、悼念。包头市和内蒙古自治区政府授予他特级教师称号。在中国数学会理事长吴文俊等主持的首届刘微数学讨论班上专门安排了一个介绍他的研究成果的学术报告。l984年10月31日,内蒙古自治区领导召开表彰大会,授予他自治区科技进步特等奖;1987年底,国家科委又将他的大集成果评为国家自然科学一等奖。这也是他理所当然应当得到的荣誉。l984年9月,我国组合数学界组织的“陆家羲学术工作评审委员会”对他的斯坦纳三元系大集工作给出了这样的评价:“众所周知,1960年Bose等证明了>l时欧拉猜想不成立;1961年,汉纳尼给出并证明了[k,λ;v]设计存在的充要条件。这是区组设计理论中的两大举世闻名的成就。陆家羲关于大集的成果可以与上述两大成就相媲美,并将同它们一起载于组合数学的史册”。国际著名的组合数学家、加拿大多伦多大学教授门德尔森(Mendelsuhn)在83年7月访华时赞扬陆家羲的上述成果是“组合设计领域中20年来的重大成就之一”,称他是“一位很好的组合学家。”多伦多大学校长在来信中则称陆是“闻名西方的从事组合理论的数学家”。对陆1961—1965年未得发表的关于柯克曼女生问题的解决方法,威尔逊等国外学者也表示了极大的兴趣。1988年8月,根据国内外学者的倡仪,在安徽屯溪召开了以纪念陆家羲先生为主旨的“区组设计国际会议”,中国数学会并委托内蒙古数学会组织有关专家编辑出版《陆家羲遗文集》。16.李锐(1769—1817)是中国古代数学家,又名向,字尚之,号四香,江苏元和县(今属苏州市)人。(一)少从名师
李锐先世居河南,祖父名横,父名章培。李章培系乾隆十七年(1752)进士,曾任河南伊阳(今汝阳)知县,后调兵部主事。李锐生于l769年1月l5日,“幼开敏,有过人之资。从书塾中捡得《算法统宗》,心通其义,遂为九章八线之学。”
1788年,李锐为元和县生员。次年钱大听来主持紫阳书院,李锐就此受业其门下。1791年,李锐从紫阳书院肄业,开始向钱大听学习天文和数学知识。钱氏“始教以三角、八线、小轮、椭圆诸法,复引而进于古”。钱大听“日以翻阅群书校仇为事,遇有疑义辄与锐商榷”。例如撰成《三统术衍铃》之后,就请李锐算校并作跋,可见钱氏对这位弟子的学问相当满意。这段学徒生涯,使李锐不但学到了知识,而且熟悉了乾嘉学派大师的治学方法,对此有人记道:“受业于钱辛楣宫詹(指大听)为九数学,宫詹诲之曰:‘凡为弟子者,不胜其师,不为贤弟子,吾友段若鹰(即玉裁)之于戴东原(即震)是矣,子其勉之。’先生(即李锐)于是闲门沉思五年,尽通畴人家言。”
由于钱大听的介绍,李锐开始与比他年长6岁的焦循通信。l790年,焦循以所著《群经宫室图》二部寄钱大听,后者复函称“已分一部致李生尚之,并将尊札付其阅看,伊亦深佩服,以不得握手为恨李锐也给焦循去了一信内容主要讨论行星运动问题。
(二)幕宾生涯
1795年,阮元出任浙江学政,开始筹划编纂《畴人传》。不久李锐被邀至杭州,实际上成为这一中国历史上第一部天文、数学家传记的主笔。在此期间,他常往来于苏、杭之间,得以广泛接触江南各藏书名家所收珍本秘籍,并有可能获读文澜阁四库全书中的传抄本。在此基础上,李锐对中国古代数学进行了认真的研究,他的工作与乾嘉学派对古代经典的广泛整理是相一致的。先后经他整理过的中国古代数学名著有李冶的《测圆海镜》和《益古演段》、王孝通的《缉古算术》、秦九韶的《数书九章》,及《九章算术》等。在天文学方面,李锐相继对三绝、四分、乾象、奉元、占天、淳佑、会天、大明、大统等历法进行了疏解。并先后完成《三统术注》、《四分术注》等五部书稿。在经学方面,他曾协助阮元校勘《周易》、《谷梁》及《孟子》,其成果被载入阮元编的《十三经注疏》之中。他又自撰《周易虞氏略例》、《召浩曰名考》这样的经学作品。l798年,李锐完成了《弧矢算术细草》—书。1799年在读《宋书·律历志》时、对其中用棕转述之何承天调日法有所悟,撰成《日法朔余强弱考》—书。同年《畴人传》编竣。在此期间,李锐与焦循同居阮元节署之内。朝夕相处,“共论经史,穷天人消息之理。”、”大约此时,李锐通过焦循了解到汪莱的工作;汪、李初次见面则在l800年。
汪莱于1801年授馆扬州,同年撰成《衡斋算学》第五册,议论秦九韶,李冶开方之“可知”与“不可知”,即数字方程是否仪有—个正根。稿成后汪氏曾分送张敦仁和焦循二人求正、焦循逐将汪莱的书稿出示给李锐。李锐看毕“深叹为精善,复以两日之力作开方三例”。这是1862年9月5日的事。当时李锐丧妻不久、又逢失子,独自居住于西湖边之孤山附近,心境十分凄凉。他在为汪莱所作的跋文中说:“是卷穷幽极微,真算氏之最也”。随后给出的“三例”则是他研究方程理论的开篇之作。
l805年,李锐应扬州太守张敦仁之邀前往入幕。此时在场州的数学家还有焦循、汪莱、凌廷堪、沈钦裴等人,一时风云际会,尤以李、汪、焦(一说李、凌、焦)三人被誉为“谈天三友”。张敦仁先后撰写《缉古算经细草》,《求——算术》、《开方补记》等书,都得到李锐的鼎力相助。他觅得南宋版《九章算术》(前五章)、《孙子算经》、《张丘建算经》之后,都请李锐算校整理。大约同时,汪莱完成了《衡斋算学》第七册,把方程论的研究又向前推进了一大步。
1806年,李锐回到苏州。这一年他相继撰成《勾股算术细草》、《磐折说》、《戈戟考》等作品,又为张敦仁复校《求—算术》。1808年写成《方程新术草》,书成后即寄给北京的李潢一部抄本。当时李潢正在从事《九章算术》的研究,他后来复函李锐,对此书及两年前经由张敦仁送来的《勾股算书细草》给予很高的评价。李锐与李潢,也被人并称为“南北二李”。
李锐生平虽曾多次参加科举考试,但是均未获成功。1801年,李锐从张敦仁在南昌的府邸出发,前往北京参加他的最后一次考试。这次顺天府的乡试又以失败告终,但他得以与李潢这位神交已久的学术知己聚首。在京期间,他们曾频繁往来,主要讨论《九章算术》中的问题。
李锐一生对中算古籍十分珍视,除了以—上提到曾多部古算书校释外,又于1800年亲自购得梅文鼎手录之明清之际数学珍本《西镜录》;此书后由焦循另抄一册,得以流传至今。在北京滞留期间,他又从李潢处读到阮元录自《永乐大典》的多部算书。1814年,李锐得到一部散乱的《杨辉算法》,遂据文义重新排列整齐。18l6年,他从张敦仁处获阅阮元早先访得并呈入四库的《四元玉鉴》,开始动手整理,可惜因体力不支未能卒业,以至阮元叹道:“惜乎李君细草未成,遂无能读是书矣。”(三)贫病相伴李锐虽然长年奔走于达官显贵之间,他的家庭生活却是十分清苦的。在他留下的日记中,经常可以看到“受某某银若干”的记载;有一则日记还提到李潢托请张敦仁“少分清俸,以瞻其家,俾得悉心、著书。”李锐也经常以自己的精神劳动来回报他的导师或保护人,钱大听、张敦仁、阮元、李潢等人都曾采用过他的研究成果,难怪有人说他“凡有诘者”,“悉详告无隐”。李锐嗜书如命。为此不得不节衣缩食。有时实在买不起。他就靠借书和抄书来获得所需的资料。尤为可悲的是、为了传宗延嗣.他在发妻龚氏及爱子天亡之后又相继二次娶妻,直到临终始得一子。过度的工作量和沉重的家庭负担无疑加剧了他生活的贫困,也损害了他的健康。
l814年,李锐已患重病,此时他开始向弟子黎应南讲授开方与解方程的理论,断断续续地讲了三年,其讲稿就是后来的《开方说》。l8l7年夏,李锐病情恶化,临终前嘱托黎应南务必将尚未定稿的《开方说》下卷写好。1817年8月12日,正值创造盛年的李锐咯血身亡。时年仅48岁。
李锐去世后,黎应南“谨遵先生遗命,依法推衍”。于1819年将《方程论》全部完成。
李锐的科学著作,主要的都被收集在《李氏遗书》之中。该书初刊***庆年间,共11种18卷,其子目为:《召浩曰名考》、《三统术注》、《四分术注》、《乾象术注》、《奉元术注》、《占天术注》、《日法朔余强弱考》、《方程新术革》、《勾股算术细草》、《弧矢算术细草》、《开方说》。此外,他还著有《测圆海镜细草》、《缉古算经细草》、《补宋金六家术》;《回回历元考》等书。李锐在其学术活动中集继承与创造于—身。他对数学的贡献,主要有以下四个方面:
(一)编纂《畴人传》
《畴人传》是一部以历法沿革为主线,以人物为核心的大型天文、数学家传记,共收录自远古至清初的中外历算家3l6人。每一人物均由“传”、“论”两部分组成:“传”主要是原始文献的荟萃、“论”是编者对传主的简短评语。没有对中国古代天文、数学的全面了解和博览群书的条件,是很难胜任这一任务的。李锐正是这部书的总体设计者和主要执笔人。
作为该书名义上主编的阮元,提到其编辑过程时自云“供职内外,公事频繁”,而“元和学生李锐暨台州学生周治平力居多”。类似的话在他为罗士林《续畴人传》写的序言和应李锐子可玖写的传记中都一再重复。阮元以地方长官的身份办学刻书,先后冠其名出版的《经籍纂诂》,《十三经注疏》、《皇清经解》等大部头经学著作无不出自其幕宾之手,此情自可推论到《畴人传》上。阮自称“本昧于天算”,又认定李锐“深于天算术。江以南第一人也”,因而将《畴人传》的具体工作交李锐来于是十分可能的。
从该书的具体内容来看,“张寿王”、“刘洪”、“马显”、“昭素”、“周踪”、“刘孝荣”、“卫朴”、“姚舜辅”、“蒋友仁“王孝通”、“李德卿”、“谭玉”、“杨级”、“耶律履”、“贝琳”传都与李锐有关著作中的文字完全相同;“虞刘”、“王处钠”论中亦可见到“李尚之锐曰”等字样,因而早就有人说:“(人传)正传成于阮氏,实乃元和李氏之笔”。
(二)整理古算书
乾隆年间编纂《四库全书》,一大批久经埋没的珍贵古代学经典得以重见天日,戴震、阮元、张敦仁等人都曾致力于罗各种“算经十书”和宋元数学名著。然而这些古书历经辗传抄或翻刻,讹文夺字迭出,所用术语又往往与当时的不同,而校勘和注释的任务是相当艰巨的。
《九章算术》是中国古代数学的代表作,现在公认早期最的校注工作是1820年出版的李潢之《九章算术细草图说》。而早在此之前,李锐就已先后完成《勾股算术细草》和《方新术草》二书,书成后都曾送李潢过目,有李潢的信为证:
“读大著《方程新术草》一卷,正负相当各率,一?自然,正从前传刻之误,阐古人未发之覆,愉快弥日。《股(算术)细草》,前岁(1807)古愚太守(即张敦仁)见。
惠一本,条段各图,细入毫芒,真精思大力之作也。”对照李潢和李锐关于勾股定理及其应用的·说明,不难发现二者所用“条段各图”几乎雷同,尤其·是李潢书中关于刘微用“出入相补”法证明勾股定理的一段说明显然是完全照搬李锐的。李潢书中关于.“方程新术”的解释,基本上也是因袭李锐的著作。
李锐也曾撰写《海岛算经细草》和《缉古算术衍》、二书均已失传。但张敦仁有《缉古算术细草》传世,李锐曾为之算校并作跋,有人“疑此细草即以《缉古算术衍》为兰本,而扩其意耳。”李锐又协助张敦仁完成《求一算术》和《开方补记》二书。
李锐还曾整理过《孙子算经》、《测圆海镜》、《益古演段》、《数书九章》、《四元玉鉴》、《杨辉算法》等。
(三)疏解调日法和求一术
调日法是中国古代天文学家用分数来近似表达天文基本数据的一种数理方法,但是“元明以来畴人子弟,罔识古义,竞天知其说者。”李锐在读《宋书·律历志》的时候,注意到其中周琼转述“宋世何承天更以四十九分之二十六为强率,十七分之九为弱率,于强弱之际以求日法”的意义,他解释道:何氏以26/49和19/17为上、下限,将朔望月的奇零部分表示为(2615+91)/(4915+171)=399/752,即选取强、弱二率适当的加权平均来近似表达观测值,这就是调日法的本质。上述分数中分子叫作朔余,分母叫作日法。以此为契机,李锐对51家古代历法进行了考察.试图将每一历法所给出的日法和朔余二值表示成上述带权加成的形式,并以此推测它们是否应用调日法而来。这一工作使调日法这—古代分数近似法重新受到重视,被人称为“尤为抉尽间奥,皆必传之作,不但与秦氏书为羽翼也。”
但是从现代数学的观点来看,位于两个既约分数之间的任何分数都可以表示为它们二者的带权加成形式,因此仅以此来判定古代历法的数据系由调日法而来是欠严谨的。况且由于精度所限和运算之繁复,古代制历者也不大可能全用这种累乘累加的方法来确定其日法和朔余。李锐大约感到了后一困难.他又创造了一种“有日法求强弱(数)”的方法,其目的仍然是将朔余与日法的比值表示为26/49和9/17的带权加成。若以A表示日法,x和y分别表示强、弱二数,李锐提出的问题相当与求解二元一次不定方程:47x+17y=A,其术文提供了一种依赖于求一术的简捷算法,从而在中国数学史上第一次沟通了二元一次不定方程与同余式组这两类问题之间的联系。
(四)研究代数方程论
李锐对代数方程论的兴趣发轫于对秦九韶、李冶等末元数学家著作的整理与研习,但其直接导因却是汪莱在《衡斋算学》第五册中对各类方程是否仅有一个正根的讨论。在为汪莱所作的跋文中,他将汪莱所得到的96条“知不知”归纳为三条判定准则,其中第一条相当于说系数序列有一次变号的方程只有一个正根,第三条相当于说系数序列有偶数次变号的方程不会只有一个正根;它们与l6世纪意大利数学家卡当(G·CarJano)提出的两个命题十分相似。
在《开方说》中,李锐则给出了更一般的陈述:“凡上负、下正,可开一数”,“上负、中正、下负,可开二数”,“上负、次正、次负、下正,可开三数或一数”,“上负、次正、次负、次正、下负,可开四数或二数”;推而广之,他的意思相当于说:(实系数)数字方程所具有的正根个数等于其系数符号序列的变化数或者比此变化数少2(精确的陈述应为“少一个偶数”)。这一认识与法国数学家笛卡儿(R.Descartes)于l637年提出的判别方程正根个数的符号法则是不分伯仲的。
除了关于方程正根个数的判定法则之外,《开方说》中还有许多其他的重要成果。例如李锐首先引进了负根和重根的概念;他又将方程的非正数解称为“无数”,并声称“凡无数必两,无一无数者”,这里隐约含着虚根共扼出现的思想。李锐又在整数范围内讨论了二次方程和双二次方程无实根的判别条件,创造了先求出一根首位再由变形方程续求其余位数字和其余根的“代开法”,还对末元算书中所包含的各种方程变形法,如倍根变形、缩根变形、减根变形、负根变形,逐一进行了解释并加以完善。
所有这些内容,标志着李锐在方程论领域的工作突破了中国古典代数学的窠臼,成为清代数学史上一个引人注目的理论成果。(公元1811年~1882年)下" TITLE="中国古今26位著名数学家的故事下" />十九世纪六十至九十年代,一批近代科学家脱颖而出,浙江海宁人李善兰就是其中的佼佼者。李善兰字壬叔,号秋纫,浙江海宁人,出生与一个书香门第,少年时代便喜欢数学。十岁那年,李善兰在读家塾时,从书架上“窃取”中国古代数学名著——《九章算术》“阅之”,仅靠书中的注解,竟将全书426个数字应用题全部解出,自此,李善兰对数学的兴趣更为浓酣。十五岁时,李善兰迷上了利玛窦、徐光启合译的《几何原本》,尽通其义,可惜徐、利二人没有译出后面更艰深的几卷,李善兰深以为憾,常幻想有“好事者或航海译归”,使自己得窥全豹。咸丰二年,他到了上海,结识了英国传教士伟烈亚力与艾约瑟,他们对李善兰的才能颇为欣赏,遂邀请他到墨海书院共译西方格致之书。墨海书院为英国传教士麦都斯所创立。此书馆原为传教而设,其后译书工作从宗教书刊扩张到西方科技领域,郭嵩焘出使英法前路经上海,曾到墨海书院参观,并在日记中写到:次至墨海书院,有麦都思者,西洋传教人也,自号墨海老人。所居前为礼拜祠,后厅置书甚多,东西窗下各设一球,右为天球,左为地球。麦君著书甚勤,其向相与校定者,一为海盐李壬叔(即李善兰),……李君淹博,习勾股之学。李善兰到墨海书院之后,率先与伟烈亚力合作,翻译《几何原本》后九卷,以续成利玛窦、徐光启的未尽之业。《几何原本》一书,在西方各国亦多为全译,英国虽有一部从希腊文译为英文的完本,但因翻译和校勘粗疏,伪误层见叠出。“毫厘千里所失非轻”。连伟烈亚力自己也承认,“余愧翦陋,虽生长泰西,而此术未深,不敢妄为勘定”。只能就英译本照本宣科,口译为汉语,而谬误之处全凭李善兰从深广的数学知识加以匡正审定。经伟烈亚力和李善兰“四历寒暑”的努力,《几何原本》译本终成完璧,西方近代的符号代数学以及解析几何和微积分以《几何原本》全本为载体,第一次传入我国。《几何原本》的全译是一项艰苦的工作,在《几何原本后九卷续译序》中,李善兰语重心长地说:“后之读者勿以为书全本入中国为等闲事也”。其间包容了经历过万般艰辛后的无限感叹。在全书的翻译过程中,李善兰用力甚巨,伟烈亚力曾不无谦逊地说:“删芜正讹,反复详审,伸其无有疵病,则李君之力居多,余得以借手先成矣”。他同时宣称:“异日西士欲求是书善本,当反求诸中国矣”。可见对译书的质量十分满意。在《几何原本》后九卷的翻译过程中,艾约瑟又邀请李善兰同译英国人胡威力所著《重学》。所谓“重学”即力学。于是,李善兰“朝译几何,暮译重学”,李善兰所译的《重学》虽然只是原文书的中间部分,但译出的部分已较为详细地介绍了力学的一般知识。书中的牛顿力学三大定律则是第一次介绍入中国。除了《几何原本》后九卷与《重学》外,李善兰还与伟烈亚力合译了另一本重要的科学理论著作,这就是《谈天》。《谈天》是一本天文学著作,原名《天文学纲要》,其作者是英国著名天文学家约翰·赫歇尔。该书对太阳系的结构和行星运动有比较详细的叙述,其中涉万有引力定律、太阳黑子理论、行星摄动理论、彗星轨道理论等方面的介绍。同治七年(1868年),李善兰因郭嵩涛推荐,到北京任同文馆天文算学馆总教习,天文算学馆相当于现在的大学数学系,李善兰可以称得上我国数学史上第一位数学教授,他在天文学馆执教十余年,先后课徒百余人,一直工作到病逝。在中国近代史上,李善兰以卓越的数学研究引人瞩目。善兰数学造诣颇深,“其精到之处自谓不让西人,抑且近代罕匹”。他编辑刊刻的《则古昔斋算学》中包括数学著作13种,李善兰早期研究的数学课题,主要是我国明清以来的传统数学。比较突出的是他对“尖锥术”的独立研究。他在中国传统数学垛积术的极限方法基础上,发明了尖锥术,创立了各种三角函数和对数函数的幂级数展开式,以及几个重要积分公式的雏形,李善兰在创造“尖锥术”的时候,还没有接触到微积分,但他实际上具有解析几何思想和微积分思想,“则以一端,即可闻名于世”。由此可见,即使没有西方传入的微积分,中国数学也将回通过自己的特殊途径,运用独特的思想方式达到微积分,从而完成由初等数学到高等数学的转变。
