胡海岩 机械振动基础课后习题解答 第2章习题

P87,2-1: 图示用于风洞试验的翼型剖面由拉伸弹簧k1和扭转弹簧k2支承着, 剖面重心G到支承点 的距离为e, 剖面绕重心的转动惯量为J 0 , 试建立系统运动微分方程。

1 & 1 & & 动能: = m(h eθ ) 2 J 0θ 2 T 2 2 1 1 势能:U = k1h 2 k2θ 2 2 2

P87,2-2: 图示双复摆在(u1 , u2 )平面内微摆动,其中两个刚体质量为m1和m2 , 绕质心C1和C2 的转动惯量分别为J1和J 2。 试建立系统运动微分方程。

1 1 & & 1 & & 动能: = ( J1 m1a 2 )θ12 m2 (lθ1 bθ 2 ) 2 J 2θ 22 T 2 2 2 1 1 & 1 && & = ( J1 m1a 2 m2l 2 )θ12 m2 (2lbθ1θ 2 ) ( J 2 m2b 2 )θ 22 2 2 2

1 & 1 势能: = ( m1 ga m2 gl )θ12 m2 gbθ 22 U 2 2

P88,2-3: 求图示系统的固有频率和固有振型。

P88,2-4: 图示电车由两节质量均为2.28 ×104 kg的车厢组成, 中间连接器的刚度为 2.86 ×106 N/m。 求电车振动的固有频率和固有振型。

P88,2-5: 求图示扭转振动系统的固有频率和固有振型。

P88,2-6: 不计刚杆质量,按图示坐标建立运动微分方程,并求出固有频率和固有振型。

系统动能:T = 系统势能:U = 1 1 & &2 mu12 2mu2 2 2 1 1 k (2u1 ? u2 ) 2 k (2u2 ? u1 ) 2 2 2

&& ? m 0 ? ? u1 ? ? 5k 运动方程: ? 0 2m ? ?u ? ? ?4k ? ? ? &&2 ? ?

P88,2-7: 已知刚杆质量为m,按图示坐标建立运动微分方程,并求出固有频率和固有振型。

1 2 1 ml 2 &2 系统势能:U = 1 k(u ? lθ )2 1 k(u lθ )2 & 系统动能:T = mu θ 2 2 2 4 2 2 12

&& 0 ? ? u ? ? 2k ? kl / 4 ? ? u ? ?0 ? ?m 运动方程: ? ? 0 ml 2 /12 ? ?θ ? ?kl / 4 5kl 2 /16 ? ?θ ? = ?0 ? && ? ?? ? ? ?? ? ? ?

P88,2-8: 图示刚杆质量不计, 1 = 4kg, m2 = 5kg, k1 = 2 ×103 N/m, k2 = 5 × 103 N/m, 求系统 m 的固有频率和固有振型。

?m 运动方程: 1 ?0 ?

P88,2-9: 图示均匀刚杆质量为m,求系统的固有模态。

&& ? ma 2 / 3 0 ? ?θ ? ? k1b 2 k2 a 2 运动方程: ? ?? ? ? && 0 m ? ? u ? ? ?k2 a ?

P89,2-10: 建立图示双单摆的微振动微分方程,并求固有频率和固有振型。

系 统动能 : T = 1 1 1 1 1 m (lθ&1 ) 2 m (lθ&1 lθ&2 ) 2 = 2 ml 2θ&12 ml 2θ&22 2 ml 2θ&1θ&2 2 2 2 2 2

?θ ? ?θ ? ?θ ? 系统势能:U = mgl (1 ? cos θ1 ) mgl (2 ? cos θ1 ? cos θ 2 ) ≈ mgl 2 ? 1 ? mgl (2 ? 1 ? 2 ? 2 ? ) ?2? ?2? ?2?

&& ? 2 1? ?θ1 ? g ? 2 0 ? ?θ1 ? ?0 ? 运动方程: ?1 1? ? && ? l ? 0 1 ? ?θ ? = ?0 ? ? ? ?θ 2 ? ? ?? 2? ? ?

& & P89,2-12: 若θ1 (0) = θ 0 ,θ 2 (0) = 0,θ1 (0) = 0,θ 2 (0) = 0, 求其自由摆动。

P89,2-13: 图示刚杆质量不计,并求系统的固有频率和固有振型。如果将杆向下平移0.1l , 求 突然释放后的自由振动。

&& 0 ? ? u ? ? 2k ? 2m 运动方程: ? 0 2ml 2 ? ?θ ? ? ?kl && ? ?? ? ?

P89,2-14: 图示悬臂梁宽b = 0.036m, 厚h = 2.5 × 10?3 m, 长2l = 0.14m, 材料弹性模量E = 2.1×102 GPa。 梁上安装有两个重块m1 = 0.5kg和m1 = 0.25kg, 梁的质量可以忽略。 (1) 求系统的固有频率 (2) 当简谐力 f1 sin ωt 作用于 m1 时, 不计阻尼,求反共振频率f a。

悬臂梁在单位力作用下的挠度公式为

bh3 截 面 惯 性 矩 :I = 12

2l ? ?悬臂梁总长; a ? ?力作用点到固定端的距离 计算柔度系数: = l d11

l3 ? 1 柔度矩阵:D = 3 E I ? 2 .5 ?

刚 度 矩 阵 :K =

?m 运动方程: 1 ?0 ?

系 统 的 固 有 频 率 : ω 1 = 1 8 9 (rad /s), ω 2 = 9 7 3 .7 7 (rad /s)

H 1 1 ( ω )的 分 子 :

反 共 振 频 率: ω = 12 EI = 4 4 3 .6 (rad /s) 7l 3m 2

30 EI H 2 1 (ω )的 分 子 : 7l 3

P89,2-15: 双层建筑结构简化模型如图所示, 其中m1 = m, m2 = 2m, 剪切刚度k1 = k , k2 = 2k。 (1) 求结构的固有频率和固有振型 (2) 若在m1上作用力产生单位位移,然后无初速度释放,求其自由响应; (3) 由于地震,基础产生水平方向运动v = v sin ωt , 求结构稳态响应。

(1) 求结构的固有频率和固有振型

&& ? m 0 ? ? u1 ? ? k 运动方程: ? 0 2m ? ? u ? ? ? k ? ? ? &&2 ? ? ?k ? ? u1 ? ?0 ? = 3k ? ?u2 ? ?0 ? ?? ? ? ?

(2) 求结构的自由响应

? 1 ? 初始条件:u0 = ? ? ?1/ 3?

(3) 求结构的稳态响应

&& ? m 0 ? ? u1 ? ? k 运动方程: ? 0 2m ? ?u ? ? ? k ? ? ? &&2 ? ? ?? k ?? ? ? ?k

?a ? 设稳态解为: * (t ) = ? 1 ? sin ωt u ? a2 ?

P89,2-16: 图示系统中m1 = m2 = m, 作用在m1和m2上的激振力分别为f1 (t ) = f1 sin ωt和

解法1:

f 2 (t ) = f 2 cos ωt , 且ω ≠ ω1 , ω2。求系统的稳态响应。

&& ? m 0 ? ? u1 ? ? 2k 运动方程: ? 0 m ? ?u ? ? ? k ? ? ? &&2 ? ? ? m 0 ? && ? 2k ? 0 m ? u ? ?k ? ? ?

? ? f1 sin ωt ? k 1 ?k ? ω 2m 系统的稳态响应: (t ) = u u = u ? ? ?? 2 2 4 2 ?(ω ) ? k 2k ? ω 2 m ? ? f 2 cos ωt ? ?(ω ) = k ? 3kω m ω m

解法2:

&& ? m 0 ? ? u1 ? ? 2k 运动方程: ? 0 m ? ?u ? ? ? k ? ? ? &&2 ? ? ?m 0 ? ? 2k && u ? ? 0 m? ? ? ? ?k

用复数激振力的实部表示真实的激振力

真实的响应:

P89,2-17: 在题2-6系统的左侧质量上作用简谐力f sin ωt,求系统的稳态响应。

&& ? m 0 ? ? u1 ? ? 5k 运动方程: ? 0 2m ? ?u ? ? ?4k ? ? ? &&2 ? ? ?4k ? ? u1 ? ? f sin ωt ? ? ? ?u ? = ? 5k ? ? 2 ? ? 0 ?

P89,2-18: 若要使图示系统中左边质量块的稳态振幅取最小值,激振力的频率应为多少? 并求出此时右边质量块的稳态响应。

&& ? 4m 0 ? ? u1 ? ? 7k 运动方程: ? 0 m ? ?u ? ? ?4k ? ? ? &&2 ? ? ?4k ? ? u1 ? ? f1 sin ωt ? =? ? 5k ? ? u 2 ? ? 0 ? ?? ?

? 4k 1 ? 5k ? ω 2 m 频响函数:H (ω ) = ? ? ? (ω ) ? 4k 7 k ? 4ω 2 m ?

? u1 (t ) ? 1 ?5k ? ω 2 m ? 稳态响应: ? f1 sin ωt ?u (t ) ? = ?(ω ) ? ? 2 ? ? 4k ?

5k 时,左边质量块位移最小,为零。 m 5k 1 5k 时,右边质量块位移为- f1 sin t m 4 m

P90,2-19: 求图示系统在零初始条件下的脉冲响应。