对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用 >> 正文
(内蒙古财经学院 统计与数学学院,内蒙古 呼和浩特 010051) 摘 要:文章阐述了利用泰勒公式对函数进行展开以及对 泰勒公式与向量空间的关系的理解,介绍了泰勒公式在数学分析中的应用。 关键词:向量空间;泰勒公式;数学分析 中图分类号:O177.92 文献标识码:A 文章编号:1007—6921(2009)24—0073—01
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泰勒公式是高 等数 学中的一个非常重要的内容,在课本上已对泰勒公式进行了详细的说明与论述,那么,对泰勒 公式的理解只限于课本上的一种理解形式吗?有其他新的理解形式吗?文章通过向量空间对 泰勒公式有了更深层次的理解,用泰勒公式可以对函数进行展开,那么,泰勒公式有没有其他 的应用之处呢?还有哪些应用呢?文章将对泰勒公式的应用作进一步的说明与论述,以此来 加强对泰勒公式的理解。
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1 函数展开与向量空间
泰勒公式是函数展开的一种工具,也就是说,利用泰勒公式将函数展成幂级数是函数展开的一 种方法,当然,函数的展开方法有多种,例如:用泰勒公式展开、三角级数的展开等。为更好 地理解函数展开的意义以及泰勒公式的应用,文章先对函数的展开进行论述,然后,用例题对 其应用做进一步的说明。 在高等数学中,函数展开有许多不同的形式,最常用的有如下两种类型的函数级数展开。 1.1 函数的泰勒展开(幂级数展开)
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若函数f(x)在区间{x
x-x0
从函数展开式(1)和(2)两边的项来看,左边的函数f(x)作为一个整体,它只有有限的一项,而 右边却包含着无限多项,说明在一定条件下,有限形式的函数可以用无限形式的级数来表示, 关于这一点,可以从另一个视角来看,若把展开式(1)和(2)中的函数系:
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分别看成无限维函数空间的两个坐标系, 其中的函数就是相应的坐标向量,则f(x)就可以看作这个空间的一个点(或一个向量),则两 级数的系数组成的两个数列:
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就是f(x)分别在这两个坐标系中的坐标,于是从形式来看,f(x)作为这无限维空间中的一个 点(一个向量),但从数来看,f(x)在这个空间中却要用无限个坐标来决定.在高等数学中, 根据问题的需要,进行有限与无限形式的相互变换,在解决数学问题中是常有的。可见,换个 角度看函数的展开,会给人加深印象,能在原有的基础上根深蒂固。
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谈到有限与无限,在高等数学中,根据问题的需要,进行有限与无限形式的相互变换,在解决数 学问题中是常常会用到的,这就是泰勒公式的魅力所在.比如说:函数的分解与求和,函数关 系的证明等,就要用这种有限与无限之间的变换方法。
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可见,这种有限与无限的变换方法的重要性,也体现了泰勒公式的奥妙之处。通过认识这种函 数展开与向量空间的联系可以更深刻的理解函数的展开,从而更会、深刻的理解泰勒公式,使 它成为解决数学问题的更加有力的工具。 2 泰勒公式的应用 21 用泰勒公式求极限
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运用泰勒公式方法时需要注意的一个问题是:将函数展开到多少项才可以呢?其实从例题中 不难看出,只须展开至分子及分母分别经过化简后系数不为零的阶数即可。
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从以上例子中可以看出泰勒公式在求一些极限问题中起着非常大的作用,它可简化运算,并且 容易理解和掌握。 2.2 用泰勒公式证明不等式
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其中.比较(5)式和(6)式 可得k=f(c)。证毕 可见,泰勒公式用于解决数学问题的广泛性,它是很有力的工具。 [参考文献] [1] 刘玉琏,傅沛仁. 数学分析讲义(第3版)[M]. 北京:高等教育出版社,1992 .
[2] 复旦大学数学系主编. 数学分析[M].上海:上海科学技术出版社,1983.[ZK )] [3] 汪林. 数学分析中的问题和反例[M].昆明:云南人民出版社,1990. [4] 江泽坚. 数学分析[M]. 北京:人民教育出版社,1998. [5] 高等学校工科数学课教学指导委员会. 高等数学释疑解难[M]. 北京:高等 教育出版社,1992.
