曹显兵基础班 2008文都概率基础班讲义(曹显兵) pdf

1 2008文都概率基础班讲义第一讲随机事件与概率考试要求 1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算. 2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式.

3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法.

一、古典概型与几何概型 1.试验,样本空间与事件. 2.古典概型:设样本空间W为一个有限集,且每个样本点的出现具有等可能性,则基本事件总数中有利事件数 A A P= ) ( 3.几何概型:设W为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性,则、体积)Ω的度量(长度、面积、体积)A的度量(长度、面积= ) (A P 【例 1】一个盒中有 4 个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取 3 个球, 试求取出的球中有 2 个黄球, 1 个白球的概率.

(1) 一次取 3 个; (2) 一次取 1 个, 取后不放回; (3) 一次取 1 个, 取后放回. 【例 2 】从 (0,1) 中随机地取两个数,试求下列概率: (1) 两数之和小于 1.

2; (2) 两数之和小于 1 且其积小于 16 3 . 一、事件的关系与概率的性质 1. 事件之间的关系与运算律(与集合对应), 其中特别重要的关系有: (1) A 与B 互斥(互不相容)ÛF= AB (2) A 与 B 互逆(对立事件)ÛF= AB ,W= B AU (3) A 与 B相互独立Û P(AB)=P(A)P(B).

Û P(B

A)=P(B) (P(A)>0).Û (

)(

)1 PBAPBA = (0<P(A)<1).Û P(B

A) =P(B

A) ( 0 < P(A) < 1)2 注: 若(0<P(B)<1),则 , AB独立Û P(A

B)=P(A) (P(B)>0)Û 1 )

( )

(= B A P B A P (0<P(B)<1).Û P(A

B)=P(A

B) (0<P(B)<1)Û P( A

B)=P( A

B) (0<P(B)<1) (4) A, B, C 两两独立Û P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C). (5) A, B, C 相互独立Û P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C).

2. 重要公式 (1) ) ( 1 ) ( A P A P-= (2) ) ( ) ( ) ( AB P A P B A P-=- (3) ) ( ) ( ) ( ) ( AB P B P A P B A P- =U ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P --- =UU (4) 若A1,A2,…,An 两两互斥, 则å=== n i i n i i A P A P 1 1 ) ( ) (U .

(5) 若 A 2 1 ,A , …,A n 相互独立, 则 ) ( 1 ) ( 1 1 i n i n i i A P A P Õ==-=U )] ( 1 [ 1 1 i n i A P Õ=--= . Õ=== n i i n i i A P A P 1 1 ) ( ) (I . (6) 条件概率公式: ) ( ) ( )

( A P AB P A B P= (P(A)>0) 【例 3】已知(A B)( B A ) B A B A =C, 且 P( C )= 3 1 , 试求 P(B ). 【例 4】设两两相互独立的三事件 A, B, C 满足条件: ABC=Φ, P(A)=P(B)=P(C)< 2 1 ,且已知 9 () 16 PABC= UU , 则 P(A)= .

【例 5】设三个事件A、B、C满足 P(AB)=P(ABC), 且 0<P(C)<1, 则 (A) P(AUB

C)=P(A

C) P(B

C). (B) P(AUB

C)=P(AUB). (C) P(AUB

C )=P(A

C ) P(B

C ). (D) P(AUB

C )=P(AUB). 【】【例 6】设事件 A, B, C满足条件: P(AB)=P(AC)=P(BC) 1 8= , P(ABC)= 1 16 , 则事件A, B, C 中至多一个发生的概率为 . 【例 7】设事件 A,B 满足 P(B

A)=1 则 (A) A 为必然事件. (B) P(B

A)=0. (C ) ABÉ . (D) ABÌ . 【】3 【例 8】设A, B, C 为三个相互独立的事件, 且 0<P(C)<1, 则不独立的事件为 (A) B A 与 C . (B) AC 与C (C ) B A-与C (D) AB与C 【】【例 9】设A,B 为任意两个事件,试证 P(A)P(B)-P(AB) P(A-B) P(B-A) 4 1 .

三乘法公式,全概率公式,Bayes 公式与二项概率公式 1 乘法公式: ).

( )

( )

( ) ( ) ( ).

( ) ( )

( ) ( ) ( 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1-=== n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P A A P A P A A P A P A A PLLL 2 全概率公式: 1 1 ()(

)(),,,. iiiji i i PBPBAPAAAijA====F=Wå U 3 Bayes 公式: 1 1 (

)() (

),,,. (

)() jj jiji i ii i PBAPA PABAijA PBAPA====F=Wå U A 4 二项概率公式: ()(1),0,1,2,,. kknk nn PkCPPkn-=-= L , 【例 10】 10 件产品中有 4 件次品, 6 件正品, 现从中任取 2 件, 若已知其中有一件为次品, 试求另一件也为次品的概率.

【例 11】设 10件产品中有 3 件次品, 7件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放回.

试求下列事件的概率. (1) 第三次取得次品 (2) 第三次才取得次品 (3) 已知前两次没有取得次品, 第三次取得次品 (4) 不超过三次取到次品 【例 12】甲, 乙两人对同一目标进行射击,命中率分别为 0.

6 和 0.5, 试在下列两种情形下, 分别求事件“已知目标被命中,它是甲射中”的概率. (1) 在甲, 乙两人中随机地挑选一人, 由他射击一次 (2) 甲, 乙两人独立地各射击一次.

【例 13】设有来自三个地区的各 10 名、 15名和 25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3 份,7 份和 5份. 随机地取一个地区的报名表,从中先后任意抽出两份. (1) 求先抽到的一份是女生表的概率 p (2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率 q .

第二讲随机变量及其分布考试要求 1. 理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数( ()() FxPXx= ) 的概念及性质.

会计算与随机变量有关的事件的概率.4 2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握 0-1 分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布及其应用.

3. 了解泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布. 4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握均匀分布、正态分布 2 (,) Nms、指数分布及其应用,其中参数为 (0)ll>的指数分布的概率密度为 ,0, () 0,0.

x ex fx xll-ì>=íî 5. 会求随机变量函数的分布. 一、分布函数 1.随机变量:定义在样本空间上,取值于实数的函数称为随机变量.

2.分布函数: -= , e! ) (===- k k k X P k lll . (4) 均匀分布ïîïíì-= . , 0, , e ) ( : ) ( 其他 x x f E xlll >0l .

(7) 几何分布 . 2 1 1 0 , ) 1 ( ) ( : ) ( 1L , , k , <>0 (a 1 ) ( 1 ) , (= =Û-= b aX Y P Y Xr )

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