概率论曹显兵 曹显兵谈概率与数理统计冲刺复习

主持人:网友关心的是考研的重点,请曹显兵老师介绍一下概率和数理统计的重点。

曹显兵:概率和数理统计数一要考30分,比高等数学的考试结果要差一些,没有那么理想,比线性代数也要差一些,给考生的印象是这个似乎是最难的,其实不是这样的。这门课程考试结果,虽然是最差的,最不理想的,但是并不等于这个最难,分数低主要有几个原因:这个课程在大学里高年级开的,是同学们最后学的课程,大家没有那么重视,而且课时比较少,有的学校也没有把这门课程作为必修课,而是选修课,作为必修课的学校可能在统计方面也没有怎么讲,所以大家这门课普遍考得不太理想。

我想重点是,如何去计算概率的问题,概率统计的一个核心问题是求概率。考试题可能从哪几个方面来考大家呢?第一可以利用随机事件的关系和运算律,还有概率的性质来求某些事件发生的概率。第二方面重点的是可以利用一些重要的概型,比如说古典概型,几何概型等来求概率,还有一些重要的公式,比如说贝斯公式、条件概率公式来求概率。

第三方面,它的可以重点考0-1分布来求概率,同学们要注意了,0-1分布求概率可以从这几个方面来出题,一个是0-1分布律,就是离散性数学说的分布律,再一个是0-1密度函数求概率,一个随机变量的函数和两个随机变量的函数都包括在这里,无论怎么考你都能够从容的对付他,0-1分布求概率绝对是考试的重点。

另外一个方面还可以从哪方面考察呢?就是0-1数字特征,这个是没有考过的。这个包括了数字期望,方差和协方差和相关系数,这些都是由概率求出来的,当然我们可以利用数字特征反过来求概率,这是考察我们反向思维能力,尤其是离散的分布律和联合分布律是可以反过来求概率的,求概率的问题主要是从这四个方面来出题。

我们从老师出题的角度来准备是非常充分的。

第二考试的重点大家要关注的是求分布。第一个问题是求概率,第二个问题是求分布。可以从哪些方面来考呢?第一是分布函数的计算,这个可以有这么些变化,一个是把分布律,或者把密度直接告诉考生,让大家把分布函数求出来,这是比较容易的,比较难的话,就可以给你一个随机实验,你从随机实验中要提炼出分布函数,当然大家要记住,分布函数本质是求概率,又回到第一个问题了。

什么是分布函数?是随机变量小于等于自变量的概率。所以这个地方又可以归结为求概率,求概率又会有很多的方法,这个地方也可以考我们这个问题。这个是大家要重点关注的题型,要在考试前巩固一下,这个绝对是考试的重点。

去年我们的考试情况是这样的,数学一分布函数考了8分的大题,数学三两个大题都是考分布函数。

第二个问题是求分布函数的第二个重点是,二维离散型随机变量联合的计算,04年就考了大题。对于这种离散型分布函数的分布律来说,它给出已知的随机变量,反过来造出两个新的随机变量,要你研究出这两个新的变量的分布律或者是其他的数字特征,包括协方差等,把问题展开。

求分布的还有一个特点是连续型的随机变量,是求边缘密度和条件密度,以及二维随机变量的取值概率。像边缘分布的的分布密度是考试的重点,求一个和两个函数的密度也是考试的重点。大家要从这几个方面巩固一下,这个是绝对会考的。

再说一个重点的话,就是求数值特征的问题,就是方差、协方差和相关系数,表面上有这么多不同的特征,大家要把握函数的数学期望,你只要掌握了函数的数学期望,你的数字特征的问题就解决了。这是概率的问题,三个重点的问题。一个是求概率的问题,二是求分布的问题,三是求数字特征的问题。数字特征归根到底是求函数的数学期望,一个随机函数的期望和两个随机函数的期望。

统计部分的话,数四是不考的,只有数一和数三要考,数一03年前大约是7分左右的题,最少是6分,最多是8分。数三100分制的时候,最少是9分,从去年和今年来看,数一是9分的题,数三比较特殊,03年这一部分没有出题,04年考了17分,一般情况下这个是要出一个题的,所以大家不要放弃统计的部分。我们看看会考什么东西呢?

第一个是求统计量的数字特征,或者是求统计量的分布,这个题型你做过没有,一般的方法是否掌握了?第二个是求矩估计和极大似然估计,第三是对估计量的好坏进行评价,第一是无偏检,有效性和一致性,这里面最重要的是无偏性,这个涉及到数学期望的计算,其次是有效性,一致性不是重点,但是什么是一致性你要知道。

05年的考统计的地方,最有可能考什么不好说,但是我可以作一下预测。04年最有可能考试的是矩估计和极大似然估计,不小心说对了,05年最有可能考的是求统计量的数字特征,这是重点要关注的。我认为这个考的可能性最大。

其次关注是矩估计,极大似然估计求出来之后估计量的评价,这个也是重点考的,最大的分数放在估计量的标准上。05年假设检验这个地方会出一个小题,这个不是考试的重点,已经连续6年没有在这一地方出题了,但是既然大纲里写了,今年很可能考。

关于你比如说U检验,T检验还有卡方检验,这三个的检验统计是什么,分布是什么,你了解一下,说不定一秒钟会得四分,这个不是重点,但是6年没有考了,可能会出小题。

网友:请问在答题书写方面有什么要注意的,我在大学里没有学过数学,是自学的,所以这方面比较欠缺。

曹显兵:这位网友没有学过数学的话,一定要注意这几个方面,根据教育部的评分标准上看,每一个题的关键步骤要写出来,如果写出来分数就高了,有的同学是知道这个步骤,但是没有写就丢分了,简单的步骤可以少一点,节约时间。

举个例子说,积分定理上,你是用的什么定理一定要写出来,由什么定理得到什么东西?这都要写出来,还要明确函数的性质,这个题的关键的理论依据你必须要写出来。还有尽可能不要涂改得太多,不小心写错一个地方是可以的,但是少作涂改,卷面整洁会给老师一个好印象,印象分也是重要的。如果你的卷面比较工整,可能就会少失分。

网友:概率这部分,公式、概念特别多,而且不好记,请问老师现在冲刺阶段应该如何复习比较好?

曹显兵:概率统计的公式相对于微积分来说是比较少的,大家想想古典概型谈不上公式,有些公式就是重要几个分布,0-1分布,泊松分布,正态分布、区域分布、指数分布,这些分布律和密度函数和分布函数、数学期望等这些都是要记住的,公式密的也基本上在这里。

还有刚才说的函数的期望公式,在后面公式是不多的,概念是有一些。我想同学们如何死记硬背,效果会差一些,而且很快会忘记,大家可以结合一些模型来记忆。比如说二项分布,可以去记一个例子,就是把一枚硬币重复的抛N次,你想想正面向上的次数是K次,如何计算?你把这个模型记住了,公式你就记住了,就是在N中取K的总和。

这个公式可是一个考试的重点,而且05年最有可能考的公式,这个公式已经有几年没有考了,前几年考得频率非常非常高,我们之前考过指数分布和特征分布,这个公式大家要记住。

另外比如说想全概率公式也可以通过这个模型记住。我举个例子,全概率公式如果是死记硬背,就算记得再熟悉可能不一定会解决问题,大家可以记得这么一个模型,比如说现在我们有两箱产品,每箱产品的次品率大家知道了,我们在任一个箱子中任取一些产品,现在我要求得出来,拿出来的产品次品的概率是什么?这个就是我们要解决的问题。

我们仔细推敲一下这个随机实验,这个有一个特点,我们是分两步作完的,第一步是取出一个箱子,第二步我们取出一些产品。现在我们要求的是产品是次品的概率,这个就要求公式里B,自然就记住了,你要总结一下,什么时候用这个公式,就是一个随机实验分两步作完,要求第二步发生的情况的概率。

第一步的所有的结果,你找出来,这就是公式里面的完美事件组。这里面有模型的,你尽可能的通过模型去理解和分析,这是最牢固的,也是最能解决问题的。

网友:今年数一概率统计的重点是什么?是中间估计和矩估计,还是中心极限定理?

曹显兵:刚才这个网友说的中心极限定理考试的重点,这个好象数一还从来没有考过,只要了解一下什么是中心极限定理就可以了,不要当成重点。似然估计和矩估计在04年是考过大题的,05年不是重点,如果要考,就是求出来之,是不是无偏的,是不是有效的。区间估计数一和数三都不是重点,只要知道方程可以了。这个不能改的,是固定的。

复习技巧

网友:冲刺阶段复习概率有没有好的办法?

曹显兵:我刚才说了,最好这一部分的复习,因为就只有这么三个礼拜了,这一阶段时间的重点应该放在前边已经作过的模型题和真题拉出来看一下,巩固一下,不要陷在题海里面,再做一到两套就足够了。要把以前的题拿出来看一下,是否很快就可以想到方法,而且是否会知道这个题的考试重点是什么?如果这个题有困难的话,再把参考书拿出来看一下,找出自己的漏洞,看是否有不熟悉的概念和公式,不要做太多的题。

网友:感觉事件的关系运算比较有难度,能不能请老师说一下复习的重点和方法?

曹显兵:好的,事件的关系和性质这方面一般会出填空题和选择题的可能性大一点,一般不会出大题,事件的关系和运算规律要把中学学的集合联系起来,这个不是数的运算而是集合的运算。比如我们有A-B B=A,但是A-B A不等于A.

把这些关系和集合作一些比较,重点要放在概率的性质中,性质有这么几个:加法公式、减法公式、对立事件的概率公式。大家注意尤其是减法公式考得比较多,A-B的概率等于A-AB的概率,还有一些题型是A-B实际上是差别的事件,这个事件是与A和B的对立事件的集事件是相等的,经常要搞好这个互换,就是A的概率减去B的概率,要把这个概率性质熟悉一下,从书中总结归纳的结论再仔细看一下,巩固一下,我想这就没有问题了。

网友:我参加的是MBA的联考,这样的题目特别多,同时关系的运算往往同概率计算结合到一起,遇到独立的事件我就感觉更晕了。

曹显兵:MBA联考时概率是要考的,分数也占得很多,我也在北京大学讲过课。联考和普研比要简单一些,独立性也是要考的,我想独立性这方面我再说两句,B发生的条件下A发生的条件概率就是A的独立性,如果严格的判断两个独立性的话,积事件的概率等于概率的乘积,用它去判别它,一个事件发生不影响另外一个事件发生的概率,这两个事件都是独立的,这个独立性千万不要把它混淆起来,去年普研就单独考了一个题,两个事件独立,并不能推出这两个事件是互斥的,也就是说两个独立的事件可能是互斥的,也可能不是互斥的,可以独立也可以不独立,在逻辑上是没有推导关系的。

如果两个事件是独立的,而且这两个事件的概率都不为零的话,可以推出这两个事件一定是相容的,这个没有考过。

我再说一个命题:如果两个随机事件已经互斥了,而且这两个事件的概率不为零,那么这两个事件肯定是不独立的。另外的话,包括普研和联考,两个事件和三个事件的独立性大家区别一下,两个事件的独立是一个概念,但是三个或者三个以上事件的话有两个独立和两两独立,大家查一下书,这个是容易混淆的概念,相互独立和两两独立也是不同的。

网友:请问曹老师,有人说由于数三考的概率内容比数四多,所以个别题目数四会难于数三,有这回事吗?

曹显兵:应该说没有这回事,数三数四的大题基本上是一样的,而且数四因为自考的部分可能会多一个题,但是难度是差不多的,我们数三数四的概率统计部分比数一要难,分数也会多一些,上了研究生以后,这门课程经济类的会比理工的会重要一些。

网友:我认为古典概率比较难,虽然高中接触过,但是经常做错,有必要花很多时间做这个吗?

曹显兵:古典概率概率里面最难的,但是最难的是从来不考的。古典概率是难点、考点,但是不是考试的重点。古典概率的公式要记住,什么是古典概率你要知道,就是一个随机实验所有发生的结果,每个结果发生的可能性相同,那么一些比较简单的古典概率会做就可以了,在这个上面花太多的时间是得不偿失的,而且一般这个不单独出题。

比如说十件产品里面有三件次品,你任取一件,那么拿到次品概率是什么。网友:数理统计部分好难啊,曹老师是否有好的建议?

数理统计是最容易的部分,可能网友在大学中没有学过这门课程,所以复习起来比较困难。数理统计的题型特别少,而且作题的方法也是固定的,只要把数理统计的三个重要分布,卡方分布、T分布和F分布的结构掌握了,把重要统计的分布掌握了,那么前面这一部分求统计量的数字特征和分布量题就掌握了,至于矩阵完全是固定的方法,就是一个求数学期望的问题,如果把这个问题解决了,矩估计是可以完全解决的。

不会考一个非常复杂数学期望,你会做期望就会做矩估计,第一步把似然函数写出来,第二步求对数,第三步求偏导数,在这也不会考导的问题。

每个题都是这样的步骤,所以我想数理统计部分,只要概率重要部分掌握了的话,应该没有什么难度的。一致性也不是重点,只要知道什么是一致性就可以了。

网友:曹老师,数一的平均分这几年大概是多少?

曹显兵:比较理想的是50分到51分,不是很理想的,比如说98年就只有37分多一点。那一年的录取分数线也只是40分,然后比较难的是01年是38分,录取分数线是41分,现在考150分了,统计的平均分应该是67分的样子,这个是符合教育部对试卷的要求的。

如果100分制,低于40分,就说明出得难了。题目难易程度对考生的影响不是太大,因为要难大家都难,实际上最关心难度的还是主管部门:教育部,因为如果太难,对考生的区分不太好办。所以现在不会太难,重点还是在基本的知识点和基本概念和基本原理上面,看大家是否熟练,可以结合两个以上的考点来考大家的知识掌握的连续性。

网友:关于数字特征部分去年考了协方差结算,今年是考一维随机变量的可能性大还是二维?

曹显兵:网友问到这个问题,我想05年到底考一维还是二维不是我出题,我不好说。但是我可以作一个分析,无论是一个随机变量一维还是二维,我前面说了都归结为函数的数学期望,什么是数学期望?我分成两种类型的随机变量,一个是离散性一个是连续型,其他类型的随机变量我们是求不了的,也是大纲之外的。

离散型的随机变量是变量的取值和概率,作乘积再作和,连续型是求值和密度的乘积在整个上面做广义积分,要把握离散型要知道分布函数,连续型要知道密度函数,有的同学搞混了。协方差是两个随机变量乘积的期望减去期望的乘积,方差也是期望。

05年如果考一个随机变量的话,可能会给你一个随机实验,你自己找出来,再去作期望。如果考分布函数,重点可能在二维,因为考二维你肯定要掌握一维,所以最有可能考的是二维。

网友:概率题型感觉上很固定,是不是每年把考研真题做好了,考研就没有问题的?

曹显兵:考研真题作好了,对你有极大的参考作用,但不是说这样就可以稳稳的到理想的分数。一个前提条件是你是否把历年真题的考的重点掌握了?不要投机取巧的押题。比如说求分布函数的题,你是否真正掌握了?自己是否能够真的作出来。

你指导了已知的随机变量,抓两个新的变量出来,你会不会做。还有联合密度,你是否会求,是否会处理?还有两个随机变量函数的问题,这个是考试的重点和难点,你要把这个地方掌握透了,我说几点,看看你是否掌握了。

两个随机变量函数分布,离散性,那么函数的随机变量一定是离散性的,这个分布如何求呢?就把函数随即变量看成Z,这个Z取什么值?把概率的值求出来,04年经济类的不就考了吗?连续性的你是否掌握了?基本方法是求分布函数,是求新的随机变量的分布函数,关键是要求流动区域上面的二层积分,这是考试的难点,它的基本的方法是讨论积分区域,要分情况讨论。

要根据流动的积分区域和函数,如果是分段函数的话,要分析区域,不相交的是哪些情况?这个地方掌握了吗?

还有一个随机变量函数的分布,你是否掌握了,标准是什么呢?我给一个随机变量X,你要知道Y=GX,Y的分布你就会求,你可以知道已知的X是离散型的你会吗?如果是连续型的你会吗?那么只给你分布函数,不给你连续型还是离散型,你会求吗?如果你把这几个问题搞清楚了,这个地方你就彻底搞清楚的,如果考这几个知识点你就应该可以了。

当然第三个问题从来没有考过。分布函数完全可以作为概率里面最重要也是最基础的问题去分析,每年都会直接或者间接的涉及到分布函数,大家还要再巩固一下分布函数,对大家会有很大的帮助。

网友:在计算时我们会假设一个事件,之后进行计算,但是我可能假设不到,所以无法作出,但是我只要看到书上的答案,就可以做下去。这是什么原因?

曹显兵:可能大家对题没有准确的把握住,有人给他假设好了,他就会做了。我们不妨看一个练习来说,我说一个例子,现在我们城里有两个小孩的家庭,我们从这些家庭中作这么一个实验,随机的选一个家庭,现在我知道所选择的家庭里面小孩有一个是男孩,我让你计算一下另外一个小孩是女孩概率,你是否会做出正确的假设,你会正确的表述这个事件。

我们要把握两点,要求的东西是什么概率?你要清楚什么是条件概率,你要知道一个小孩是男孩,这是一个信息,另外一个信息你不知道,所以这是条件概率。

你假设事件A是有一个小孩是男孩,要完全根据来假设。B表示另外一个小孩是女孩,你要求的是P(B一数A)这个就表示A方程下B发生的概率。你会写出条件概率的话,会表述了就会求了,简单的条件概率可以直接写出来,复杂的概率也可以根据方程去做。

这个结果应该是2/3,这个也是可以根据古典概型去计算的。两个小孩有四种情况,老大是男孩,老二是男孩,老大是男孩,老二是女孩,老大是女孩,老二是男孩,还有老大老二都是女孩,之后就可以求出来了,能否正确的作出假设就需要大家准确的理解题意,不知道这个同学是否满意。

关于答题技巧

网友:请问在答题书写方面有什么要注意的,我在大学里没有学过数学,是自学的,所以这方面比较欠缺。

曹显兵:这位网友没有学过数学的话,一定要注意这几个方面,根据教育部的评分标准看,每一个题的关键步骤要写出来,如果写出来分数就高了,有的同学是知道这个步骤,但是没有写就丢分了,简单的步骤可以少一点,节约时间。

举个例子说,积分定理上,你是用的什么定理一定要写出来,由什么定理得到什么东西?这都要写出来,还要明确函数的性质,这个题的关键的理论依据你必须要写出来。还有尽可能不要涂改得太多,不小心写错一个地方是可以的,但是少作涂改,卷面整洁会给老师一个好印象,印象分也是重要的。如果你的卷面比较工整,可能就会少失分。

主持人:由于时间关系,我们的聊天就要结束了,最后请曹显兵老师就概率和数理统计的冲刺作一些指导性建议?

曹显兵:在最后20多天的复习中,大家要把握,这些重要的公式,包括全概率公式,贝叶斯公式,贝努利概型公式等,这些重要的公式一定要通过具体的例子去理解和把握它,刚才说的这几个公式也是05年要重点考的,求分布的题是肯定考的,至于是求分布函数还是联合分布律还是考密度,这个就不好说了,但是求分布是肯定要考的,同学们要把历年考求分布的题看一下,也可以把我们学校中讲的题拿出来看一下,巩固一下,不要做什么难题了,这样会打击自己的信心。

硕士研究生也不会考什么难题,会考基本题,要看一下方差、协方差和函数,归根到底是函数的数学期望,一个函数随机变量函数和两个函数的随机变量函数,这个地方也是要看,也是一定要考的。

刚才有的网友提出来古典概型,这个不要去花太多的时间看了。像中心极限定理都不是考试的重点,大家看一下就可以了,统计这一部分就是数一和数三的同学考,重点关注一下无偏性有效性的地方,如果把握好这些地方就没有问题了,就可以拿到好的成绩。谢谢大家。