学习拓扑学的心得体会

核心内容：拓扑学是一门综合性比较强的数学学科,是我们大学生学习必不可少的学科。我们之前学习了的物理学、高等代数、数学分析、初等几何等多门学科都有关联,是我们之前学习的延伸,接触了比之前更高深的问题,同时加深了与其他学科的联系。

在学习集合相关概念时,引发了我对于现实生活中的一些思考,进一步感受到了数学的严谨性。在学习拓扑中的基,由此想到了之前在初等数论中学习的鸽巢原理。在学习连续函数的不同定义时,与之前学习的数学分析中的相关类容作出了比较,并进一步理解了函数的连续性。

拓扑学（tuò pū xué)（topology）是近代发展起来的一个数学分支，用来研究各种“空间”在连续性的变化下不变的性质。在20世纪，拓扑学发展成为数学中一个非常重要的领域。

有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题。后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。譬如哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。

七桥问题

18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如左图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。

有关图论研究的热点问题。18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如左图上）。有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。

后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题（如左图下）——一笔画问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件是：奇点的数目不是0 个就是2 个（连到一点的数目如是奇数条，就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成，必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，奇点只可能在两端，因此任何图能一笔画成，奇点要么没有要么在两端）

在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

四色问题

著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题，又称四色猜想。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时发现：每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，做了100亿种判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。

我们所谓的拓扑学,是在数学学科当中比较抽象的一门学科。它的英文名是Topology,直译是地质学,也就是和研究地形、地貌相类似的有关的学科。我国早期有人曾经把它翻译成为“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”,但是,这几种译名无论对于老师还是学生来说都不大好理解,于是在1956年最终用统一的《数学名词》把它确定为拓扑学,这是按音译过来的。

拓扑学是数学当中一个重要的、基础性的学科分支。它最初是几何学的一个分支,主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质,现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。然而,这种几何学又和通常的平面几何、立体几何又有所不同。

通常的平面几何或立体几何所研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质,而拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。举例来说,在通常的平面几何里,把平面上的一个图形搬到另一个图形上,如果它们能够完全重合,那么这两个图形叫做全等图形。但是,在拓扑学里所研究的图形,在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。

在拓扑学里没有不能弯曲的元素,每一个图形的大小、形状都可以改变。例如,前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候,他画的图形就不考虑它的大小、形状,仅考虑点和线的个数,这些就是拓扑学思考问题的出发点。

而在我们大学中主要主要学习两部分,一部分是一般拓扑学,另一部分是代数拓扑学。一般拓扑学分为了八章,分别是:集合论与逻辑、拓扑空间与连续函数、连通性与紧致性、可数性公理与分离公理、Tychonoff定理、度量化定理与仿紧致性、完备度量空间与函数空间、Baire空间和维数论。代数拓扑学分为了六章,分别是:基本群、平面分割定理、Seifert-van Kampen 定理、曲面分类、

复叠空间分类、在群论中的应用。

拓扑学本身是一门饶有兴味的学科,很多本科大学把它作为了大学生学习的必修课程,这样有利于培养学生的抽象思维能力,提高解决问题和分析问题的能力,为了让学生在学习中进一步掌握和奠定近世数学的一些知识基础。因此,它是大学生学习不可缺少的一门专业。

拓扑学是一门综合性的学科,它的作用非常广泛,广泛运用于微分几何学、分析学、抽象代数、物理、经济学、哲学等其他多门学科有着不可分开的关系,对他们都有着极大地推动作用。在微分几何中,H.M.莫尔斯在20世纪20年代为了研究流体问题,利用拓扑学的相关思想把流体上的光滑函数的临界点指数与流体本身的贝蒂数联系在一起,使之发展成了大范围的变分法。

随后,莫尔斯、陈省身等在这上面的成就,对微分几何和拓扑都有着十分重要的意义。在分析学中,微分拓扑学的进步,在很大程度上促进了分析学向流形上的分析学的发展。后来在托姆的影响下,将微分映射的结构稳定性理论和奇点理论发展成了当中重要的分支学科。后来,著名的阿蒂亚-辛格指标定理把算子的解析指标与流体结合起来,很好的将分析学与拓扑学结合在一起了。

同时,对现代泛函分析和复变函数的多个方面都有着重要的意义。在抽象代数中,拓扑学很好地促进了抽象代数的发展,在代数数论以及代数群的基础上都有巨大的进步。后来形成的范畴论又深入了数学基础、代数几何等,还有托普斯的的观念拓广了经典的拓扑空间观念。

在经济学中,很多地方都有着重要的作用,如均衡的存在性、性质、计算等根本问题。同时,在系统理论、对策论、规划论、网络论中也都有着十分重要的作用。

学习拓扑学,不仅仅让学生体会到拓扑学与其他学科紧密联系,还可用来解决很多实际问题,如:扭结问题、维数概念、向量场问题、不动点问题。此外,还能让学生了解当中的研究方法,拓宽了学生的思维,让学生在看问题以及解决问题的时候,能从多方面思考问题,并将其他学科紧紧联系在一起。

三、学习拓扑学中某一内容的感想

学习拓扑学之前,我们认定由一些对象构成的集合这个概念是直观自明的。而我们在学习第一章《集合论与逻辑》中,我们不仅知道了什么是集合,而且还介绍了集合论的思想,并建立了基本术语和记号,还知道了拓扑学与哲学的联系,集合可以既开又闭,而一扇门不能既开又闭。

通过这些,就很好的吸引了我们的兴趣,引发了我们很多的思考。对于集合,我们通常用字母A,B…表示集合,用小写字母a,b,…表示属于集合的成员或元素。集合有时简称为集,元素有时简称为元或点。如果成员a属于集合A,就记作a?A。如果a不属于A,就记作a?A。

若集合A与B是同一个集合的两个符号,也就是说A与B含有完全相同的元素,记为A=B。反之,则记为A?B。若A的每一个元素都是B的元素,就说A是B的子集,记作A?B。之后学习了集合的“并”与“或”的含义,即给定两个集合A和B,由A中所有元素及B中所有元素可以组成一个集合,这个集合就称为A与B的并或并集,记作A?B。也就是说A?B={xx?A或x?B}。

在日常生活中,“或”这个词是含糊的,有时“P或Q”这句话意味着“P或Q,或者既P又Q”,有时又意味着“P或Q,但不是既P又Q”,很多时候都要通过文章的上下文才能知道究竟指的是哪一种。而在数学当中,是不容许这种含糊的,无论何时都只承认它的一种含义,否则就要引起混乱。因此,数学家们在这种情况

下,若要表示“P或Q,但不是既P又Q”,就必须明确的加上短语“但不是既P又Q”。照这样下去,定义A?B的式子就很清楚了,它表明A?B是由所有属于A,或者属于B,或者既属于A又属于B的元素x组成的集合。

通过集合这个简单概念的学习,让我明白了数学的严谨性。很多东西在日常生活中是含糊的,但是在数学当中是非常严谨的。学习了拓扑学,让我们的思维变得严谨了,做事考虑得更周到,通过它的学习还是受益匪浅的。

在第二章的学习当中,学习了拓扑空间与连续函数的相关知识。这个当中,让我明白了拓扑当中的基必须满足两个条件:(1)对于每一个x?X,至少存在一个包含x的基元素B;(2)若x属于两个基元素B1和B2的交,则存在包含于x的一个基元素B3,使得B3?B1?B2。通过这个知识的学习,让我明白了用平面上的两个圆形域所组成的族也满足基的定义当中的两个条件。

同时,平面上所有矩形域组成的族,其中矩形的边平行于两个坐标轴,这样的图形就满足基的基本定义,由于任何两个基元素的交就是一个基元素。在这当中,我们抽象出了集合的基,知道了集合中元素的基与鸽巢原理的关系,这样和我们之前所学习的初等数论又很好的联系起来了。

在初等数论中,我们知道鸽巢原理就是:如果K+1个或更多的物体放入K个盒子,那么至少有一个盒子含2个或更多的物体。推广之后就是:(1)当盒子仅有N个,而物体的数目大于m×N时,则必有一个盒子有m+1个物体或者大于m+1个;(2)若m个物体放入N个盒子中,那么至少有一个盒子包含了至少[m/N]个物体。

在本章的后半部分,学习了函数的连续性,连续函数的概念是许许多多数学学科的基础,尤其是数学分析,基本上都是先讲直线上的连续函数,然后提到平面和空间上的连续函数。这一章的学习,是前面我们在数学分析中所给出的连续函数的性质的直接推广。

之前,我们在数学分析当中定义的连续函数,是通过极限来定义的,即函数中定义域内任意一点的左右极限存在,且左极限等于右极限为连续函数的定义。而在拓扑学中,则是通过拓扑空间来定义的,设X和Y是两个拓扑空间,函数f:X?Y称为连续的,如果对于Y中的每一个开子集V,f-1(V)是X中的一个开子集。

在此条件下,与f连续有三个等价的命题,即:(1)对于X的任意一个子集A,有f(A的闭包)包含于f(A)的闭包;(2)对于Y的任意一个闭集B,f-1(B)是X中的一个闭集;(3)对于每一个x?X和f(x)的每一个邻域V,存在x的一个邻域U使得f(U)?V。

仅仅从这些简单的定义来看,拓扑学在定义数学概念中更加严密,更深一步,是我们之前学习知识很好的延伸。通过大量的学习,让我们认识到了学习拓扑学的好处,它是我们大学学习必不可少的。虽然在学习的过程中感觉很艰难困苦,但是整个的收获还是不错的。总的来说,让我们的思维得到了很大的锻炼,提高了我们思维的高度。