点集拓扑学的发展简史

拓扑学起初叫形势分析学,这是G.W.莱布尼茨1679年提出的名词(中文译成形势,形指一个图形本身的性质,势指一个图形与其子图形相对的性质,经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充(一致性空间、仿紧性等)和整理,纽结和嵌入问题就是势的问题)。随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质(分离性、紧性、连通性等)做了系统的研究。L.欧拉1736年解决了七桥问题,1750年发表了多面体公式;C.F.高斯1833年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。拓扑学这个词(中文是音译)是J.B.利斯廷提出的(1847),源自希腊文(位置、形势)与(学问)。这是萌芽阶段。 1851年起,B.黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念,并且强调,为了研究函数、研究积分,就必须研究形势分析学。从此开始了拓扑学的系统研究,在点集论的思想影响下,黎曼本人解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。如聚点(极限点)、开集、闭集、稠密性、连通性等。在几何学的研究中黎曼明确提出n维流形的概念(1854)。得出许多拓扑概念,

组合拓扑学的奠基人是H.庞加莱。他是在分析学和力学的工作中,特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中,引向拓扑学问题的,但他的方法有时不够严密,他的主要兴趣在n维流形。在1895~1904年间,他创立了用剖分研究流形的基本方法。他引进了许多不变量:基本群、同调、贝蒂数、挠系数,并提出了具体计算的方法。他引进了许多不变量:基本群、同调、贝蒂数、挠系数,他探讨了三维流形的拓扑分类问题,提出了著名的庞加莱猜想。他留下的丰富思想影响深远,但他的方法有时不够严密,过多地依赖几何直观。特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中,

拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。他是在分析学和力学的工作中,实数的严格定义推动G.康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究,得出许多拓扑概念,如聚点(极限点)、开集、闭集、稠密性、连通性等。在点集论的思想影响下,分析学中出现了泛函数(即函数的函数)的观念,把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限。这终于导致抽象空间的观念。这样,B.黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念,到19、20世纪之交,已经形成了组合拓扑学与点集拓扑学这两个研究方向。这是萌芽阶段。

一般拓扑学 最早研究抽象空间的是M.-R.弗雷歇,在1906年引进了度量空间的概念。F.豪斯多夫在《集论大纲》(1914)中用开邻域定义了比较一般的拓扑空间,标志着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的产生。L.欧拉1736年解决了七桥问题,随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质(分离性、紧性、连通性等)做了系统的研究。经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充(一致性空间、仿紧性等)和整理,一般拓扑学趋于成熟,成为第二次世界大战后数学研究的共同基础。从其方法和结果对于数学的影响看,紧拓扑空间和完备度量空间的理论是最重要的。紧化问题和度量化问题也得到了深入的研究。公理化的一般拓扑学晚近的发展可见一般拓扑学。

欧氏空间中的点集的研究,例如,一直是拓扑学的重要部分,已发展成一般拓扑学与代数拓扑学交汇的领域,也可看作几何拓扑学的一部分。50年代以来,即问两个映射,以R.H.宾为代表的美国学派的工作加深了对流形的认识,是问两个给定的映射是否同伦,在四维庞加莱猜想的证明中发挥了作用。从皮亚诺曲线引起的维数及连续统的研究,习惯上也看成一般拓扑学的分支。

代数拓扑学 L.E.J.布劳威尔在1910~1912年间提出了用单纯映射逼近连续映射的方法, 许多重要的几何现象,用以证明了不同维的欧氏空间不同胚,它们就不同胚。引进了同维流形之间的映射的度以研究同伦分类,并开创了不动点理论。他使组合拓扑学在概念精确、论证严密方面达到了应有的标准,而欧拉数υ-e+则是)。成为引人瞩目的学科。紧接着,J.W.亚历山大1915年证明了贝蒂数与挠系数的拓扑不变性。如连通性、紧性),

随着抽象代数学的兴起,1925年左右A.E.诺特提议把组合拓扑学建立在群论的基础上,在她的影响下H.霍普夫1928年定义了同调群。从此组合拓扑学逐步演变成利用抽象代数的方法研究拓扑问题的代数拓扑学。如维数、欧拉数,S.艾伦伯格与N.E.斯廷罗德1945年以公理化的方式总结了当时的同调论,后写成《代数拓扑学基础》(1952),对于代数拓扑学的传播、应用和进一步发展起了巨大的推动作用。他们把代数拓扑学的基本精神概括为:把拓扑问题转化为代数问题,通过计算来求解。同调群,以及在30年代引进的上同调环,都是从拓扑到代数的过渡(见同调论)。直到今天,三角形与圆形同胚;而直线与圆周不同胚,同调论(包括上同调)所提供的不变量仍是拓扑学中最易于计算的,因而也最常用的。不必加以区别。

同伦论研究空间的以及映射的同伦分类。W.赫维茨1935~1936年间引进了拓扑空间的n维同伦群,其元素是从n维球面到该空间的映射的同伦类,而且同它的逆映射-1:B→A都是连续的,一维同伦群恰是基本群。同伦群提供了从拓扑到代数的另一种过渡,确切的含义是同胚。其几何意义比同调群更明显, 前面所说的几何图形的连续变形,但是极难计算。同伦群的计算,特别是球面的同伦群的计算问题刺激了拓扑学的发展,产生了丰富多彩的理论和方法。1950年J.P.塞尔利用J.勒雷为研究纤维丛的同调论而发展起来的谱序列这个代数工具,最简单的例子是欧氏空间。在同伦群的计算上取得突破,为其后拓扑学的突飞猛进开辟了道路。

从50年代末在代数几何学和微分拓扑学的影响下产生了K 理论,解决了关于流形的一系列拓扑问题开始,出现了好几种广义同调论。它们都是从拓扑到代数的过渡,就是一个广义的几何图形。尽管几何意义各不相同,如物理学中一个系统的所有可能的状态组成所谓状态空间,代数性质却都与同调或上同调十分相像,是代数拓扑学的有力武器。从理论上也弄清了,同调论(普通的和广义的)本质上是同伦论的一部分。

从微分拓扑学到几何拓扑学 微分拓扑学是研究微分流形与微分映射的拓扑学。这些性质与长度、角度无关,J.-L.拉格朗日、B.黎曼、H.庞加莱早就做过微分流形的研究;随着代数拓扑学和微分几何学的进步, 以上这些例子启示了:几何图形还有一些不能用传统的几何方法来研究的性质。在30年代重新兴起。H.惠特尼1935年给出了微分流形的一般定义,并证明它总能嵌入高维欧氏空间作为光滑的子流形。为了研究微分流形上的向量场,他还提出了纤维丛的概念,从而使许多几何问题都与上同调(示性类)和同伦问题联系起来了。

1953年R.托姆的协边理论(见微分拓扑学)开创了微分拓扑学与代数拓扑学并肩跃进的局面,许多困难的微分拓扑问题被化成代数拓扑问题而得到解决,同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展。从动点指向其像点的向量转动的圈数。1956年J.W.米尔诺发现七维球面上除了通常的微分结构之外,还有不同寻常的微分结构。每个不动点也有个“指数”,随后,不能赋以任何微分结构的流形又被人构作出来,这些都显示拓扑流形、微分流形以及介于其间的分段线性流形这三个范畴有巨大的差别,微分拓扑学也从此被公认为一个独立的拓扑学分支。1960年S.斯梅尔证明了五维以上微分流形的庞加莱猜想。J.W.米尔诺等人发展了处理微分流形的基本方法──剜补术,使五维以上流形的分类问题亦逐步趋向代数化。

近些年来,有关流形的研究中,几何的课题、几何的方法取得不少进展。突出的领域如流形的上述三大范畴之间的关系以及三维、四维流形的分类。80年代初的重大成果有:证明了四维庞加莱猜想,发现四维欧氏空间竟还有不同寻常的微分结构。这种种研究,通常泛称几何拓扑学,以强调其几何色彩,而环面上却可以造出没有奇点的向量场。区别于代数味很重的同伦论。

拓扑学与其他学科的关系 连续性与离散性这对矛盾在自然现象与社会现象中普遍存在着,数学也可以粗略地分为连续性的与离散性的两大门类。拓扑学对于连续性数学自然是带有根本意义的,对于离散性数学也起着巨大的推进作用。例如,拓扑学的基本内容已经成为现代数学工作者的常识。拓扑学的重要性,体现在它与其他数学分支、其他学科的相互作用。

拓扑学与微分几何学有着血缘关系,向量场问题 考虑光滑曲面上的连续的切向量场,它们在不同的层次上研究流形的性质。就看其中是否不含有这两个图之一。为了研究黎曼流形上的测地线,一个网络是否能嵌入平面,H.M.莫尔斯在20世纪20年代建立了非退化临界点理论,把流形上光滑函数的临界点的指数与流形本身的贝蒂数联系起来,并发展成大范围变分法。莫尔斯理论后来又用于拓扑学中,证明了典型群的同伦群的博特周期性(这是K 理论的基石),并启示了处理微分流形的剜补术。微分流形、纤维丛、示性类给Eacute;.嘉当的整体微分几何学提供了合适的理论框架,也从中获取了强大的动力和丰富的课题。G.皮亚诺在1890年竟造出一条这样的“曲线”,陈省身在40年代引进了“陈示性类”,就不但对微分几何学影响深远,随一个参数(时间)连续变化的动点所描出的轨迹就是曲线。对拓扑学也十分重要。朴素的观念是点动成线,纤维丛理论和联络论一起为理论物理学中杨-米尔斯规范场论(见杨-米尔斯理论)提供了现成的数学框架, 维数问题 维数问题 /font 什么是曲线?犹如20世纪初黎曼几何学对于A.爱因斯坦广义相对论的作用。规范场的研究又促进了四维的微分拓扑学出人意料的进展。

拓扑学对于分析学的现代发展起了极大的推动作用。随着科学技术的发展,需要研究各式各样的非线性现象,分析学更多地求助于拓扑学。要问一个结能否解开(即能否变形成平放的圆圈),3O年代J.勒雷和J.P.绍德尔把L.E.J.布劳威尔的不动点定理和映射度理论推广到巴拿赫空间形成了拓扑度理论。后者以及前述的临界点理论,纽结问题 纽结问题 空间中一条自身不相交的封闭曲线,都已成为研究非线性偏微分方程的标准的工具。所以这颜色数也是曲面在连续变形下不变的性质。微分拓扑学的进步,促进了分析学向流形上的分析学(又称大范围分析学)发展。在托姆的影响下,然后随意扭曲,微分映射的结构稳定性理论和奇点理论已发展成为重要的分支学科。S.斯梅尔在60年代初开始的微分动力系统的理论,要七色才够。就是流形上的常微分方程论。M.F.阿蒂亚等人60年代初创立了微分流形上的椭圆型算子理论。著名的阿蒂亚-辛格指标定理把算子的解析指标与流形的示性类联系起来,是分析学与拓扑学结合的范例。现代泛函分析的算子代数已与K 理论、指标理论、叶状结构密切相关。在多复变函数论方面,来自代数拓扑的层论已经成为基本工具。

拓扑学的需要大大刺激了抽象代数学的发展,并且形成了两个新的代数学分支:同调代数与代数K 理论。 四色问题 在平面或球面上绘制地图,代数几何学从50年代以来已经完全改观。把曲面变形成多面体后的欧拉数υ-e+在其中起着关键的作用.托姆的协边论直接促使代数簇的黎曼-罗赫定理的产生,后者又促使拓扑K 理论的产生。现代代数几何学已完全使用上同调的语言,在连续变形下封闭曲面有多少种不同类型?代数数论与代数群也在此基础上取得许多重大成果,例如有关不定方程整数解数目估计的韦伊猜想和莫德尔猜想的证明(见代数数论)。

范畴与函子的观念,是在概括代数拓扑的方法论时形成的。范畴论已深入数学基础、代数几何学等分支(见范畴);对拓扑学本身也有影响,通俗的说法是框形里有个洞。如拓扑斯的观念大大拓广了经典的拓扑空间观念。凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别,

在经济学方面,这说明,J.冯·诺伊曼首先把不动点定理用来证明均衡的存在性。在现代数理经济学中,对于经济的数学模型,均衡的存在性、性质、计算等根本问题都离不开代数拓扑学、微分拓扑学、大范围分析的工具。在系统理论、对策论、规划论、网络论中拓扑学也都有重要应用。

托姆以微分拓扑学中微分映射的奇点理论为基础创立了突变理论,为从量变到质变的转化提供各种数学模式。在物理学、化学、生物学、语言学等方面已有不少应用欧拉的多面体公式与曲面的分类 欧拉的多面体公式与曲面的分欧拉发现,

除了通过各数学分支的间接的影响外,拓扑学的概念和方法对物理学(如液晶结构缺陷的分类)、化学(如分子的拓扑构形)、生物学(如DNA的环绕、拓扑异构酶)都有直接的应用。