王永春数学思想方法 小学数学核心素养与数学思想方法

中国数学教育的某些优势是明显的,上海参加PISA测试的学生在65个国家的同龄学生中脱颖而出,在阅读(Reading)、数学(Math)和科学(Science)三项评价中均大幅领先排在第一位。在2014年5月召开的首届华人数学教育会议上,有专家认为:中国数学教育的主要优势是“双基 变式练习”,中国数学教育主要有三个弱项:独立思考、问题解决、创造性。

因此,中国学生创造性地解决实际问题的能力还有待提高!

在2014年10月召开的中国教育学会小学数学年会上,美国陶森大学孙伟教授认为:美国数学教育学生分为三个层次:前20%,高中学习Advanced Placement(大学先修课,其中有一批优秀的学生已经修完了微积分课程);中间60%,基本达标;20%,不达标(上社区大学后需要补中学甚至小学数学的内容)。修完微积分的学生主要是基于兴趣学习数学,其中部分学生进入大学后继续研究数学。

美国特拉华大学蔡金法教授通过比较中美学生在四类数学任务上的表现后发现,中国整体水平(平均数)高于美国,极差和方差小于美国,高水平的低于美国,低水平的高于美国。这说明中国保底教育搞得好,人人获得良好的数学教育;但是上面封顶了,不同的人在数学上没有得到更好的发展,中国尖子生不如美国的发展得好。

作为一名小学数学教师,首先要恰当地继承我国数学教育的优良传统和经验,改变教师讲授、学生听的单一模式,引导和启发学生独立思考和创造。培养独立思考能力应该加强主体性教学,引导学生学会数学地思考,会运用数学思想和方法解决问题。

我们还应学习西方的优点,今后应该把天花板盖高一些,给优秀的、有兴趣学习的孩子提供更大的空间,减少不必要的过度的训练,让那些想学习的孩子不要在题海战术中消磨了进一步学习的热情和创造力。其次,为我国经济的转型升级和可持续发展培养人才打造小学数学教育的升级版:①构建小学数学核心素养(学什么),②探索主体性教学模式 (如何学好),③建立新的评价考试体系(到底学得好不好)。

二、小学数学核心素养主要指标

《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确提出了“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)、“四能”(发现问题、提出问题、分析问题、解决问题)、十大核心概念(数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识)。

高中数学课程总目标(修订草稿)指出:在义务教育阶段学习的基础上,通过高中数学课程的学习,进一步提高作为现代社会公民所应具备的数学素养,特别是数学核心素养,促进全面、可持续发展。使学生获得“四基”、发展“四能”、学会“三用”。高中数学课程标准跟小学义务教育课程总目标一致,进一步明确了至少未来5年、8年我们要沿着“四基”“四能”的方向去努力。

数学核心素养包含具有数学基本特征的思维品格和关键能力,是数学知识、技能、思想、经验及情感、态度、价值观的综合体现。数学核心素养既反映课程内容的主线,聚焦课程目标要求,也是学业质量标准的集中反映。高中阶段数学核心素养包括: 抽象能力、逻辑推理、数学建模、直观想象、运算能力、数据分析。更一般地说,还包括学会学习、数学应用、创新意识。

小学数学核心素养可以从以下几方面来认识。

知识:概念、公式、法则、性质、定律等是基础。

能力:运算、推理、空间想象、数据分析、几何直观、解决问题(纯数学、联系实际、开放性)建模。

思想方法:理性思维的升华,是核心素养的核心。

三、小学阶段重要的数学思想

抽象、符号化、模型、化归、推理、方程和函数、数形结合、分类讨论、统计、极限、假设、分析与综合、变中有不变、变换、算理算法都是小学阶段涉及的重要的数学思想。

(一)抽象思想

1. 抽象思想的概念。数学抽象是对现实世界具有数量关系和空间形式的真实材料进行加工、提炼出共同的本质属性,用数学语言表达进而形成数学理论的过程。数学抽象思想是一般化的思想方法,具有普遍的意义。

2. 如何理解抽象思想。(1)数学抽象在数学教学的过程中无处不在。 任何一个数学概念、法则、公式、规律等的学习,都要用到抽象概括。(2) 数学抽象是有层次的。随着数学的发展呈现出了逐步抽象的过程。如,数的发展,从结绳记数得到1,2,3,……等有限的自然数,再通过加法的运算,得到后继数,形成了无限的正整数序列: 1,2,3,……,n, …… 在此基础上形成了正整数集合N。

3. 抽象思想的应用。抽象思想在数学中无处不在。如一年级上册,在教学10的认识时,多数教师会结合计数器、点子图、小棒等直观教具认识到9添上1是10,然后再进一步学习10的组成及加减法。没有引导学生思考:10与前面学习的0~9这些数有什么不同?这里实际上隐含一个非常重要的思想方法——数学抽象,它比8和9的抽象水平更高,因为10不仅是对任何数量是10的物体的抽象,而且进一步地说它已经不再用新的数字计数了,而是采用了伟大的十进位值制计数原理。

4. 数学抽象思想的教学。

具体 → 抽象 → 具体

情境 → 模型 → 应用

注意,这里的模型是广义的,数学概念、法则、公式、数量关系、规律等都可以理解为模型。

(二)模型思想

1.模型思想的概念。数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲,数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型。

数学模型思想是一般化的思想方法,数学模型的主要表现形式是数学符号表达式和图表,因而它与符号化思想有很多相通之处,同样具有普遍的意义。不过,也有很多数学家对数学模型的理解似乎更注重数学的应用性,即把数学模型描述为事物系统特定的数学关系结构。

如通过数学在经济、物理、农业、生物、社会学等领域的应用,所构造的各种数学模型。为了把数学模型与数学知识或是符号思想明显地区分开来,主要从狭义的角度讨论数学模型,即重点分析小学数学的应用及数学模型的构建。

2.模型思想的重要意义。模型思想在数学思想方法中有非常重要的地位。如果说符号化思想更注重数学抽象和符号表达,那么模型思想更注重数学的应用,即通过数学结构化解决问题,尤其是现实中的各种问题。当然,把现实情境数学结构化的过程也是一个抽象的过程。

2011版课程标准与原课程标准相比有了较大变化,在课程内容部分中明确提出了“初步形成模型思想”,并具体解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果并讨论结果的意义。

这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想,提高学习数学的兴趣和应用意识”。

3.以数学模型为核心的问题解决的教学。传统上应用题的结构与四则运算、混合运算相匹配,包括有连续两问的应用题、相似应用题的比较,现在有问题串,这些都是很好的做法和经验,是知识结构的基础,但这种结构是线性的。

我们以基本模型和问题为核心,构建问题链,可以是网状结构,从而最大限度地整合丰富多彩的问题。以s=vt为例,模型结构图如下,a是常数。请老师自己编题。

(三)推理思想

1. 推理思想的概念。推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提,根据前提所得到的判断叫结论。推理分为两种形式:演绎推理和合情推理。演绎推理是根据一般性的真命题(或逻辑规则)推出特殊性命题的推理。

演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真。演绎推理的常用形式有:三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。合情推理是从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过归纳和类比等推测某些结果。合情推理的常用形式有:归纳推理和类比推理。当前提为真时,合情推理所得的结论可能为真也可能为假。

2. 推理思想的重要意义。在解决问题的过程中,合情推理有助于探索解决问题的思路,发现结论;演绎推理用于证明结论的正确性。人们在利用数学解决各种实际问题的过程中,虽然大量的计算和推理可以通过计算机来完成。但是就人的思维能力构成而言,推理能力仍然是至关重要的能力之一,因而培养推理能力仍然是数学教育的主要任务之一。

3.推理思想的教学。就演绎推理和合情推理的关系及教学建议,根据《义务教育数学课程标准(2011年版)》关于推理思想的理念和要求,在小学数学教学中要注意把握以下几点。第一,推理是重要的思想方法之一,是数学的基本思维方式,要贯穿于数学教学的始终。

第二,合情推理和演绎推理二者不可偏废。合情推理多用于根据特殊的事实去发现和总结一般性的结论,演绎推理往往用于根据已有的一般性的结论去证明和推导新的结论。二者在数学中的作用都是很重要的。

事实上,小学数学教材和教学长期重视归纳法,现在应加强类比法、演绎推理。如,整数乘法运算定律推广到分数,学生已有的知识基础是分数的运算顺序、整小数运算律;教学时,可不必再探究,直接引导学生类比。

第三,推理能力的培养与四大内容领域的教学要有机地结合,在教学过程中要给学生提供各个领域丰富的、有挑战性的观察、实验、猜想、验证等活动,去发现结论,培养推理能力。第四,把握好推理思想教学的层次性和差异性。推理能力的培养要结合具体知识的学习,同时要考虑学生的认知水平和接受能力。

四、如何进行数学思想方法的学习研究

首先,要转变观念,提高认识。建立现代数学教育观、落实新课程理念,培养人的理性精神、逻辑思维、解决问题的能力;提高教师专业素养、提高教学水平,授人以渔、既见树又见林,实现高观点下的小学数学教育;提高学生的思维水平、培养“四能”,认识数学的价值(不能单纯地认为数学是考试升学的工具)。

其次,注重团队研修。有条件的话,本校所有数学教师全员参与,按照主要的核心素养和思想方法,如抽象、推理、转化、数形结合、模型、方程与函数、统计、其他等分成若干个专题,在一年的时间内,大约一个月搞一次专题研修活动,所有教师分成几个小组,每次活动以一个小组为主,汇报一个专题的学习研究成果。

再次,将理论学习与教学实践结合。在一年的时间内,可根据教学进度确定每个月的交流专题,每个教师的汇报能够结合案例,最好是在课堂中进行几次教学实践探索,总结比较成熟的经验,便于在全校教师中推广。

最后,以积累优秀案例的方式积累教学经验。每一个普通教师要以名师为学习的榜样,需要学习其方方面面,但是更要从具体的事情做起。希望每个教师每学期研究两节课,重点体现一两个数学思想方法,写成教学设计,包括学情分析、教材分析、教学过程、教学反思、磨课过程等。

总之,在小学数学课中渗透数学思想,提升学生的数学核心素养不是一朝一夕的事情,需要我们用联系和发展的观点,处理好知识间的联系与区别,帮助学生将碎片化的知识建构为结构化的知识,促进学科的深度学习。知易行难,行胜于言,内化于心,外化于行,只有这样我们的学习、研究才会真正发生。