张景中的数学作品 数学家的眼光——院士数学讲座专辑·中国科普名家名作(典藏版)
青出于蓝 圈子里的蚂蚁 好多年以前,我像你们这样大的时候,曾经和小蚂蚁开过这样的玩笑: 用樟脑球在地上画个圈,圈住一只蚂蚁。
可怜的小蚂蚁,爬来爬去,再 也不敢爬出这个圈子了。
这个圈,是三角形的也好,正方形的也好,不规则的鸭蛋形也好,对小蚂蚁来说都是一样的——反正爬不出去。 在我们看来很不相同的三角形与圆,此时此刻,对于蚂蚁却没有什么区别了。
蚂蚁感兴趣的是:这个圈有没有一个缺口? 有一门数学,叫拓扑学。
数学家在研究拓扑学的问题的时候,倒和小蚂蚁有点同感。这时,他们也觉得,三角形的圈、圆形的圈、矩形的圈,没有什么分别,反正是个圈。 是不是拓扑学家的眼光就和蚂蚁的眼光完全一样呢?也不尽然。
如果圈子很大,能圈进半个地球,或圈子极小,小得放不进一粒细沙,蚂蚁就无所畏惧了。这就是说,圈子的大小,在蚂蚁看来是不同的;.但对于拓扑学家,圈子的大小是真正无所谓的,小得像原子,大得像太阳系都一样,反正是个圈子。
在弹性很好的橡胶膜上画个图形,你把橡胶膜压缩、扯大或揉成一团的时候,图形会变得稀奇古怪。三角形也许会变成六边形,圆圈也许会变成一只小鸭。
但只要不把橡胶膜扯破,不把某两部分粘合在一起,在拓扑学家看来,这个图形就等于没有变。 从拓扑学的观点来看,皮球和橡胶做的空心洋娃娃没有什么分别,但皮球和汽车轮胎却完全不同。
的确,蚂蚁放在皮球里爬不出来,放在轮胎里也爬不出来,但拓扑学家却有更巧妙的手段来查清皮球与汽车轮胎之间的不同。如果轮胎里有两只蚂蚁,可以用一块圆环形隔板把它们隔开,在皮球里,圆环形的隔板是不可能把两只蚂蚁隔开的!
拓扑学家把我们眼里很多不同的图形看成是相同的,然后把他们眼里相同的图形归为一类。
分类的结果,平面上的封闭曲线,如果不带端点,不带分岔点,就只有一种:圈。 空间的封闭曲面,如果不带边缘(圆筒、碗都有边缘,球、轮胎都没有边缘),不带分岔点,最简单的是球面。
球面上挖两个洞,镶嵌上一截管子(叫环柄),在拓扑学家眼里,便和轮胎没有分别了。再挖两个洞,又可以加一个环柄。一个球上可以镶上任意多个环柄。
这样,现实空间里所有不带边的面、不带分岔点的曲面,便都在其中了。 似乎在拓扑学家眼里,世界要简单一些。但拓扑学的问题却并不简单,有不少难题尚待解决。
现代数学的许多分支,都要用到拓扑学的基本概念与成果。 最后,再回到蚂蚁爬不出的圈子里来。这样的一个圈,是一条连续的、封闭的、自己和自己不相交的曲线,叫做简单闭曲线,也叫“若当闭曲线”。
若当,是19世纪法国数学家的名字。 一个这样的圈子把平面分成两部分——有限的内部和无限的外部。蚂蚁在内部可以从一点爬到另外任一点而不碰到圈子,在外部也可以。
但要从外部到内部,或从内部到外部,就一定得经过圈子。这个事实,叫“若当定理”。 这么简单的事谁不知道,还配称为定理吗?我们这么想,若当以前的数学家也这么想。
若当却不这么想。他敏锐地看出,这个问题可并不简单。因为,什么叫连续,什么叫封闭,什么叫内,什么叫外,都应当用数学语言精确地加以定义,再根据定义来证明:蚂蚁要爬出去必须经过圈子。
这可就难了。 若当这么一指出,别的数学家也恍然大悟。若当严格地定义了这些概念,写了很长的一篇文章,证明了这条定理。你看,我们眼里千变万化的图形,数学家可以认为是同样的圈——在数学家眼里,复杂的东西变得简单了。
反过来,数学家若当又从简简单单的一个圈里提出了难题。从简单的现象背后,揭示出深刻的道理。P110-114 ……
