计数原理苗金利 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题(有答案)

选修2-3  1.1第一课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

一、选择题 1.一个袋子里放有6个球,另一个袋子里放有8个球,每个球各不相同,从两袋子里各取一个球,不同取法的种数为( ) A.182  B.14 C.48  D.91 [答案] C [解析] 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8=48,故选C.

2.从甲地到乙地一天有汽车8班,火车3班,轮船2班,某人从甲地到乙地,他共有不同的走法数为( ) A.13种    B.

16种  C.24种    D.48种 [答案] A [解析] 应用分类加法计数原理,不同走法数为8 3 2=13(种).故选A. 3.集合A={a,b,c},B={d,e,f,g},从集合A到集合B的不同的映射个数是( ) A.

24     B.81  C.6     D.

64 [答案] D [解析] 由分步乘法计数原理得43=64,故选D. 4.5本不同的书,全部送给6位学生,有多少种不同的送书方法( ) A.720种    B.

7776种 C.360种    D.3888种 [答案] B [解析] 每本书有6种不同去向,5本书全部送完,这件事情才算完成.由乘法原理知不同送书方法有65=7776种.

5.有四位老师在同一年级的4个班级中,各教一个班的数学,在数学考试时,要求每位老师均不在本班监考,则安排监考的方法种数是( ) A.8种    B.

9种 C.10种    D.11种 [答案] B [解析] 设四个班级分别是A,B,C,D,它们的老师分别是a,b,c,d,并设a监考的是B,则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级,共有3种不同的方法;同理当a监考C,D时,剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法.

这样,用分类加法计数原理求解,共有3 3 3=9(种)不同的安排方法.另外,本题还可让a先选,可从B,C,D中选一个,即有3种选法.

若选的是B,则b从剩下的3个班级中任选一个,也有3种选法,剩下的两个老师都只有一种选法,这样用分步乘法计数原理求解,共有3×3×1×1=9(种)不同的安排方法.

6.某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码,公司规定:凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) A.

2 000    B.4 096  C.5 904    D.8 320 [答案] C [解析] 可从反面考虑,卡号后四位数不带“4”或“7”的共有8×8×8×8=4 096个,所以符合题意的共有5 904个.

7.如下图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的线段表示它们有网线相连.

连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以从分开不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为( )   A.26     B.

24 C.20     D.19 [答案] D [解析] 因信息可以分开沿不同的路线同时传递,由分类计数原理,完成从A向B传递有四种方法:12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6,故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和:3 4 6 6=19,故选D.

8.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目,如果将这2个新节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为( ) A.

42     B.30  C.20     D.

12 [答案] A [解析] 将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中,插入第1个有6种插法,插入第2个时有7个空,共7种插法,所以不同的插法共6×7=42(种). 9.定义集合A与B的运算A*B如下:A*B={(x,y)

x∈A,y∈B},若A={a,b,c},B={a,c,d,e},则集合A*B的元素个数为( ) A.34     B.43  C.12     D.

24 [答案] C [解析] 显然(a,a)、(a,c)等均为A*B中的元素,确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x,B中取一个元素来确定y,由分步计数原理可知A*B中有3×4=12个元素.

故选C. 10.某医院研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4、X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4,现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验,又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用,但X3和X4两种药不能同时使用,则不同的试验方案有( ) A.

16种    B.15种  C.14种    D.

13种 [答案] C [解析] 解决这类问题应分类讨论,要做到不重不漏,尽量做到一题多解,从不同角度思考问题. 试验方案有:①消炎药为X1、X2,退烧药有4种选法;②消炎药为X3、X4,退烧药有3种选法;③消炎药为X3、X5,退烧药有3种选法;④消炎药为X4、X5,退烧药有4种选法,所以符合题意的选法有4 3 3 4=14(种).

二、填空题 11.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有________个(用数字作答).

[答案] 24 [解析] 可以分三类情况讨论:①若末位数字为0,则1,2为一组,且可以交换位置,3,4各为1个数字,共可以组成12个五位数;②若末位数字为2,则1与它相邻,其余3个数字排在前3位,且0不是首位数字,则共有4个五位数;③若末位数字为4,则1,2为一组,且可以交换位置,3,0各为1个数字,且0不是首位数字,则共有8个五位数,所以符合要求的五位数共有24个.

12.三边均为整数且最大边长为11的三角形有________个. [答案] 36 [解析] 另两边长用x,y表示,且不妨设1≤x≤y≤11.要构成三角形,需x y≥12.

当y=11时,x∈{1,2,…,11},有11个三角形;当y=10时,x∈{2,3,…,10},有9个三角形……当y=6时,x=6,有1个三角形.所以满足条件的三角形有11 9 7 5 3 1=36(个).

13.5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛 ,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种.

(用数字作答) [答案] 48 [解析] 本题可分为两类完成:两老一新时,有3×2×2=12(种)排法;两新一老时,有2×3×3×2=36(种)排法,即共有48种排法. 14.

已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能,因此5个开关共有25种可能.在这25种可能中,电路从P到Q接通的情况有______种.   [答案] 16 [解析] 五个开关全闭合有1种情况能使电路接通;四个开关闭合有5种情况能使电路接通;三个开关闭合有8种情况能使电路接通;两个开关闭合有2种情况能使电路接通;所以共有1 5 8 2=16种情况能使电路接通.

三、解答题 15.有不同的红球8个,不同的白球7个.

(1)从中任意取出一个球,有多少种不同的取法? (2)从中任意取出两个不同颜色的球,有多少种不同的取法? [解析] (1)由分类加法计数原理得 从中任取一个球共有8 7=15种; (2)由分步乘法计数原理得 从中任取两个球共有8×7=56种.

16.若x,y∈N*,且x y≤6,试求有序自然数对(x,y)的个数. [分析] 由题目可获取以下主要信息: (1)由x,y∈N*且x y≤6,知x,y的取值均不超过6; (2)(x,y)是有序数对.

解答本题可按x(或y)的取值分类解决. [解析] 按x的取值时行分类: x=1时,y=1,2,…,5,共构成5个有序自然数对; x=2时,y=1,2,…,4,共构成4个有序自然数对; … x=5时,y=1,共构成1个有序自然数对.

根据分类计数原理,共有N=5 4 3 2 1=15个有序自然数对. [点评] 本题是分类计数原理的实际应用,首先考虑x,y的取值均为正整数,且其和不能超过6,同时注意(x,y)是有序数对,如(1,2)与(2,1)是不同的数对,故可按x或y的取值进行分类解决.

计数的关键是抓住完成一件事是分类还是分步,一个类别内又要分成几个步骤,一个步骤是否又会分若干类.

17.随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速增长,汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法,每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字,并有3个字母必须合成一组出现,3个数字也必须合成一组出现.

那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照? [解析] 将汽车牌照分为2类,一类的字母组合在左,另一类的字母组合在右.

字母组合在左时,分6个步骤确定一个牌照的字母和数字: 第1步,从26个字母中选1个,放在首位,有26种选法; 第2步,从剩下的25个字母中选1个,放在第2位,有25种选法; 第3步,从剩下的24个字母中选1个,放在第3位,有24种选法; 第4步,从10个数字中选1个,放在第4位,有10种选法; 第5步,从剩下的9个数字中选1个,放在第5位,有9种选法; 第6步,从剩下的8个数字中选1个,放在第6位,有8种选法.

根据分步乘法计数原理,字母组合在左的牌照共有26×25×24×10×9×8=11 232 000(个). 同理,字母组合在右的牌照也有11 232 000个. 所以,共能给11 232 000 11 232 000=22 464 000辆汽车上牌照.

18.已知集合A={a1,a2,a3,a4},集合B={b1,b2},其中ai,bj(i=1,2,3,4,j=1,2)均为实数.

(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射? (2)能构成多少个以集合A为定义域,集合B为值域的不同函数? [解析] (1)因为集合A中的元素ai(i=1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种,由分步乘法计数原理,可构成A→B的映射有N=24=16个.

(2)在(1)的映射中,a1,a2,a3,a4均对应同一元素b1或b2的情形.此时构不成以集合A为定义域,以集合B为值域的函数,这样的映射有2个. 所以构成以集合A为定义域,以集合B为值域的函数有M=16-2=14个.