罗素悖论与数学的逻辑主义理论

    罗素在1903年出版的《数学的原理》中对于数学的本性发表了自己的见解。他说:“纯粹数学是所有形如‘p蕴涵q’的所有命题类,其中p和q都包含数目相同的一个或多个变元的命题,且p和q除了逻辑常项之外,不包含任何常项。所谓逻辑常项是可由下面这些对象定义的概念:蕴涵,一个项与它所属类的关系,如此这般的概念,关系的概念,以及象涉及上述形式一般命题概念的其他概念。

除此之外,数学使用一个不是它所考虑的命题组成部分的概念,即真假的概念。”     这种看法是罗素自己最早发表的关于逻辑主义的论点。这种看法在以前也不同程度被戴德金、弗雷格、皮亚诺、怀特海等人表达过。戴德金在1872年出版了《连续性及无理数》一文,在这篇文章中,他把有理数做为已知,进而分析连续性这个概念。为了要彻底解决这个问题,必须考虑有理数乃至自然数产生的问题。

他认为应该建立在逻辑基础上,但没有实行。       弗雷格在1884年《算术基础》中认为每个数是一个独立的对象。他认为算术规则是分析判断,因此是先验的。根据这点,算术只是逻辑进一步发展的形式,每个算术定理是一个逻辑规律。把算术应用到自然现象上的解释只是对所观察到的事实的逻辑加工,计算就是推理。数字规律无须实践检验即可应用于外在世界,而在外在世界、空间总体及其内容物,并没有概念、没有数。

因此,数字规律实际上不能应用于外在世界,这些规律并不是自然规律。不过它们可以应用于对外在世界中的事物为真的判断上,这些判断即是自然规律。它们反映的不是自然现象之间的关系,而是关于自然现象的判断之间的关系。     早在罗素发现悖论之前,他在写作《数学的原理》时就企图把数学还原为逻辑,由于发现悖论,这个计划遭到了困难。

他发现消除悖论的方法之后,又开始具体实现他的计划,这就是他和怀特海合著的《数学原理》。     既然罗素、怀特海的《数学原理》原来的目的是企图把数学建立在逻辑的基础上,因此,书一开始就提出几个不加定义的概念和一些逻辑的公理,由此推出逻辑规则以及数学定性。     不加定义的概念有基本命题、命题函数、断言、或、否(非);这里讲的命题是指陈述一件事实或描述一种关系的一个语句,如“张三是人”,“苹果是红的”等等,由这些概念可定义逻辑上最重要的概念“蕴涵”。

    要想由逻辑推出数学,第一步是推出“数”来,这件事皮亚诺及弗雷格都做了。罗素在消除悖论之后,成功地用“类”来定义1。这个过程极为繁琐费力,一直到《数学原理》第一卷的363页才推出“1”的定义,而第二卷费了很大力气证明了n×m=m×n。

    在《数学的原理》及《数学原理》中,罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这个逻辑主义论题,它可以分析为三部分内容:     1、每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表达或表示的语言。简单来讲,即每条数学真理都能够表示为真正的逻辑命题。     2、每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译,则它就是逻辑真理。

    3、每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题,就可由少数逻辑公理及逻辑规则推导出来。     这三方面不完全一样,罗素只是分别在各处用一条或两条表示过逻辑主义。由于哥德尔的不完全定理,3是错的,但是还可以坚持1和2。     罗素认为逻辑主义的许多主要论点不是来自他本人,弗雷格就曾明确地表示过一些逻辑主义的观点。

但是,逻辑主义观点尽管受到批判,罗素本人还一直坚持。在三十年代以后,还是有许多人发展逻辑主义。     逻辑主义从—开始就遭到批评,“因为如果数学只是一套逻辑演绎系统,那么它怎么可能反映广泛的自然现象呢?它又怎样能够有创造力呢?它又怎样能够产生新观念呢?”用维特根斯坦的话说,数学就是同语反复(重言式),结不出任何新知识。

    罗素悖论的出现,使得这一派遭到的攻击更大。彭加勒挖苦他们“逻辑主义的理论倒不是不毛之地,什么也不长,它滋长矛盾,这就更加让人受不了”。罗素—怀特海用了几年时间写出了《数学原理》论证了自己的观点,仍不免遭到讥讽。彭加勒挖苦他们费很大力气去定义1,说“这是一个可钦可佩的定义,它献给那些从来不知道1的人”,别人也说这一套完全是中世纪的教条。

更有人指出这种方法的人为性、烦琐性。尤其是可化归公理,显然是硬加上的,没有任何自然之处。尽管如此,逻辑主义总算还能自圆其说。     对逻辑主义致命打击的是哥德尔的不完全性定理,它证明了从逻辑并不能推出算术的正确性来,显然把数学全部化归为逻辑彻底失败了。但是,罗素等人的历史功绩是不可磨灭的,他们为数学奠定了逻辑基础。在一段时期内,《数学原理》是一部引导数学逻辑家的经典,至今它还有一定的意义。     逻辑主义也不是后继无人,英国的拉姆塞、美国的奎因都对逻辑主义作了进一步的发展。