数学教学方法 浅谈数学概念的教学方法
数学概念是整个数学知识结构的基础。有了概念,才可能进行判断和推理,才可能进行论证。一个人的数学认知结构如何,解题能力的高低,数学思维品质之优劣,无不与数学概念有关。而数学概念的教学,是整个数学教学的一个重要环节,因此,教师必须注重数学概念的教学。
数学概念反映的是客观事物的空间形式与数量关系方面的本质属性,是用数学语言揭示事物的共同属性即本质属性的思维形式。每个概念都有它的内涵和外延。概念的内涵是对概念的“质”的描述,概念的外延对概念的“量”的描述。
例如:“平行四边形”这一概念,它的内涵是“四条边,两组对边分别平行”,它的外延有“菱形、矩形、正方形、平行四边形”。概念的内涵和外延之间具有重要关系,“内涵增加,外延缩小;内涵减少,外延扩大”,这个关系叫做概念的内涵和外延间的反变关系。例如:自然数集→有理数集→实数集→复数集,在这一系列概念中,前面的概念的外延都小于它后面的那些概念的外延。
一、数学概念的组成
数学概念通常由概念的名称、定义、例子、属性和符号组成。如等边三角形这个概念,概念的名称是“等边三角形”(符号是“等边△”),定义是“三边都相等的三角形叫做等边三角形”,属性是“三直边、封闭图形,三边相等、三角相等”。符合定义特征的具体线段都是概念的例子称为正例,否则叫反例。
二、数学概念的主要特征:
(1)数学概念具有抽象与具体的双重性。
数学概念代表的是一类对象而不是个别事物,它在一定范围内具有普遍意义。如“等边三角形”这个概念代表的是各种颜色、大小抽象的等边三角形,而任何具体颜色、大小的等边三角形都只是它的正面例子。数学概念是数学命题、数学推理的基础成分,就整个一个数学系统而言,概念是个实实在在的东西,这是数学概念具体性的一面。
(2)数学概念的概括性强,如“等边三角形”就是对千千万万个具体的等边三角形的高度概括的认识。
(3)数学概念的名称往往用特定的数学符号表示,如“等腰△”、“y=sinx”这些符号表示,使数学概念具有形式和简明的特点。
(4)数学概念具有系统性。每一数学分支的概念由原名出发,经过不断抽象定义,逐步形成一个严密的概念系统。就某一具体知识而言,相关的概念也组成一个系统。例如,与三角形这一知识相关的概念,边、角、高、中线………组成一个关于三角形概念的系统。
三、学生获得数学概念的前提
数学概念的教学,就是要使学生获得数学概念。学生获得数学概念,一方面依赖于已有的知识基础,另一方面也依赖于一定的数学思维能力,特别是分析、综合、抽象概括、分类比较、形式化、具体化等方面的能力。
因此,数学概念教学应达到作为知识学习的一般要求,使学生认识概念的由来和发展,掌握概念的内涵外延及其表达形式,能正确地运用概念。还要充分展现获得数学概念的思维活动过程,使学生积极参与获得概念的智力和非智力活动,培养学生的数学能力,提高学生的数学素养。
四、学生获得数学概念的两种基本方式
学生获得数学概念有两种基本的方式:概念形成与概念同化。概念形成是在教师的指导下,从大量例子出发,从学生实际经验的肯定例证中,以归纳方法概括出一类事物的本质属性。教学中这些实例大都是教师提供的。例如,要形成平行线这一概念,可举出一段铁路上两段笔直的铁路、黑板上下边缘等实例,给学生以平行线的形象。
还可以在黑板上画出平面上一对平行线可能出现的各种位置关系,带领学生一起观察图形。为了提高教学质量,教师应该注意选择哪些刺激强度大,具有典型性、新颖性的实例,引导学生进行深入细致的观察,进行科学的抽象和概括,还应及时对新旧概念进行精确区分、分化,以形成良好的认知结构。
概念同化是利用学生已有的知识经验,以定义的方式直接向学生揭示概念的本质。例如,学习梯形概念,一般是用概念同化的方式进行的。首先给出它的定义,“一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。”在上例中,要突出的的是“中有一组对边平行”这个主要特征。
在实际教学过程中,根据初中学生数学思维的特点,最好用概念同化和概念形成相结合的方式学习数学概念,扬长避短,互相补充,使教学效果达到最佳状态。
五、数学概念教学中应注意的几个方面
数学概念教学的根本任务,是正确的揭示概念的内涵和外延,使学生深刻理解概念,牢固地掌握概念,灵活地运用概念。因此,教师只有把数学概念讲清楚,讲准确,让学生深刻理解概念的内涵,准确掌握概念的外延,从质和量两方面明确概念所反映的对象,才能使学生自觉地掌握数学命题,在推理和证明的过程中有所依据,从根本上提高分析和解决问题的能力。所以,我认为,在进行数学概念的教学中,应注意一下几方面的问题:
(1)注意概念的引入:概念的引入是概念课教学的开端,每节课的引言,巧妙地导语,生动的开头是使学生迅速进入学习意境的重要手段,它既吸引学生,使之全神贯注,又能启迪思维,使之兴趣盎然,积极参与,而且还能使学生了解概念的来龙去脉,正如人们常说的“良好的开端等于成功的一半”。
概念的引入方法比较多,如趣味实例引入,类比转化引入法,教师应根据其具体情况灵活地导入新课。例如,在讲“合并同类项”这一节课时,就是通过充满趣味性的实例引入同类项概念的。引入方法如下:
引例:“参观一群动物时,幼儿甲说:图中有10只羊、牛、马。幼儿乙说:图中有2头牛,5匹马,1头牛,2只羊。试问,他们的表达妥帖否?”
(2)注意抓住概念的本质特征。有些概念涉及的面比较广,教学时要抓住概念的本质特征,通过对本质特征的分析,带动对整个概念的理解。
(3)讲概念时,要揭示概念中每一词、句的真实含义。有的概念叙述简练,寓意深刻;有的式子表示比较抽象。对于这类概念,必须深刻揭示每一词、句的真实含义。例如,一次函数的定义是:“一般的如果y=kx b(k、b是常数,k=0),那么,y叫做x的一次函数。”要使学生切实理解一次函数的概念,必须指出每一词、句的真实含义,特别要讲清楚再什么条件下一次函数才有意义。
(4)要注意阐明概念间的内在关系。数学概念之间有着密切的内部联系,注意把个别概念放在概念的相互联系中来教学,有助于揭示事物的本质,加深学生对概念的本质理解。例如,“一元一次方程”的概念,是建立在“元”、“次”、“方程”这三个概念基础上的。
教学时可着重指出:“一元一次方程”是一个含有未知数的等式(方程);“一元”表示一个方程中只含有一个未知数;“一次”表示方程中未知数的最高次数是一次;次数是就整式而言的,所以“一元一次方程”是最简单的整式方程。这样,就便于学生抓住“一元一次方程”的本质,并为以后学习“二元一次方程(组)”、“一元二次方程”等概念打下扎实基础,有助于学生举一反三,触类旁通。
(5)注意概念的比较。有比较才能鉴别。对于容易混淆或难以理解的概念,运用分析比较的方法,指出它们的相同点与不同点,有助于学生抓住概念的本质。有些概念从表面上看好像差不多,例如:乘方和幂,平方的和与和的平方,大于与不小于,正数与非负数,直角与900.
,相似与位似,“都不”与“不都”等,学生常常分辨不清。教学时可引导学生找出它们的异同之点,从概念的内涵和外延上去区分。如“直角”与“90o”这两个概念,可以比较它们的外延,前者是指角的名称,后者是指角度或弧度的量数。
“都不”与“不都”这两个概念,可以从内涵和外延的结合上进行比较。“都不”是对所考察对象的全体的否定,只指一种情形;“不都”是对“都”的否定,它与“至少一个”不具某种属性是同一个意思,一般包括多种情形。
比如,“a、b都不为零”就是a=0,b=0;而“a、b不都为零”与“a、b至少一个不为零”是同义语,它包含三种可能情形:a=0,b=0;a=0,b=0;a=0,b=0。
有些难以理解的概念,还可以用对比的方法,化难为易,揭示本质。例如,“不等式的解”是一个难度较大的概念,教学时可以把它与方程的解进行比较,通过实例向学生指出:方程的解事使方程的两边的值相等的未知数的值,不等式的解是使其成立的未知数的取值范围;从使原式成立这一点来看,方程的解和不等式的解得意义是一致的;从解的个数来看,方程的解和不等式的解有明显的区别,方程在一般情况下解的个数是有限的,而不等式的解一般是一个或几个数值范围内的无穷多个数。
反映在数轴上,方程的解是数轴上某一个点或者几个孤立点,不等式的解则是无数个点的集合。
(6)注意精心设计好练习题,让学生在练习中学会概念的应用,加深对整个概念系统的理解。
总而言之,加强数学概念教学,无论对学生掌握知识,还是发展能力,都是至关重要的,因此数学概念的教学是我们数学教师应该长期探索的一个课题。
