哥德巴赫猜想的等价描述及其证明尝试

1742年6月7日,德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫写信给瑞士数学家莱昂哈德·欧拉,提出两个猜想:(1)任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和;(2)任何一个大于5的奇数是3个素数之和。

1742年6月30日,欧拉在给哥德巴赫的回信中明确表示,他深信哥德巴赫的这两个猜想都是正确的定理,但他不能加以证明。这就是著名的哥德巴赫猜想。容易证明(2)是(1)的推论,所以最重要的是(1),这是两个素数,所以我们称它为‘1+1’,这个问题到现在也没有解决。

现在,就让我来给出哥德巴赫猜想的等价描述如下:设n3n2n10为整数加群中的任意三个自然数,则存在三个素数p1p2p3,分别对应于n2-n1、n2+n1、2(n3-n2)+1.。

证明:因为所有自然数构成整数加群,则任意自然数的代数和只要结果为正整数也必为群中元素。已知对于给定某个自然数,小于该自然数的所有自然数中所包含的素数的个数远远少于该自然数。因此,整数加群中满足条件不等式n3n2n10的任意代数和n2-n1、n2+n1、2(n3-n2)+1也必为自然数,且所有这样生成的自然数中必包含同为自然数的一种的素数组p1p2p3,也即上述代数和自动生成整数加群中的所有素数,并总能找到与之等值的素数组p1、p2、p3,使p1与p2之和为一偶数,而 p1、p2和p3三者之和则为一奇数,且如此生成的非素数奇偶数遍历所有整数加群的元素,因而哥德巴赫猜想获证。欢迎批评指正!

(作者:魏高原 2011-02-13-17:00 于北京大学)

补记(2011-02-14-8:28):定义魏函数W(n,s)=∑...∑[∑p(1≤k≤n)]^(-s),其中p为质数,n-重求和遍历所有质数且满足不等式p1p2...pn。显然有W(1,s)=∑[p1]^(-s),W(2,s)=∑∑[p1+p2]^(-s),W(3,s)=∑∑∑[p1+p2+p3]^(-s)。则哥德巴赫猜想的另一等价描述如下:W(2,2)≥π^2/24,W(3,2)≥π^2/8。证明:根据黎曼ζ函数ζ(s)=∑1/k^s=1/∏(1-1/p^s),k=1,2,3,,,。p=素数,并且遍历所有素数,可知,当s=2时,上述定义即著名的欧拉公式,也即ζ(2)=π^2/6。因此,p1+p2为偶数而p1+p2+p3为奇数则分别为W(2,2)≥π^2/24和W(3,2)≥π^2/8的充要条件。哥德巴赫猜想即得证。

补记(2011-02-14-15:35):哥德巴赫猜想的等价描述:试证所有无穷多个不等双(三)素数和的平方的倒数和分别不低于圆周率自乘的二十四(八)分之一。定义魏函数W(n,s)为n个不等素数变量和的负s次方的无穷和,则哥德巴赫猜想的等价描述变为“试证魏函数W(2,2)和W(3,2)分别不低于圆周率自乘的二十四和八分之一”。

注:初步理论推导与计算可知魏函数W(1,2)π^2/24。也即所有无穷多个素数各自平方的倒数和不低于所有无穷多个自然数各自平方的倒数和的四分之一或不低于所有无穷多个偶数各自平方的倒数和。