数学家的困惑:强弱孪生素数猜想竟然等价 (科学网)
2013年5月,张益唐在哈佛大学作报告率先证明“弱孪生素数猜想”的同时,法国高等师范学校教授Harald Helfgott在网上宣称间接证明了弱哥德巴赫猜想:任何一个大于7的奇数都能被表示成三个奇素数之和,有望彻底解决三素数定理。之后,2006年菲尔兹数学奖得主陶哲轩所在的playmath小组迅速跟进。
半年之后,2013年11月19日,陶哲轩小组和蒙特利尔大学的博士后James Maynard几乎同时宣布:已将张的界限推进到600。
2013年,是世界数学界的素数年。
孪生素数猜想:存在无穷多个素数p,使得p + 2是素数。即孪生素数(p, p + 2)有无穷多对。 1849年,法国数学家Polignac提出了一般的猜想,即波利尼亚克猜想:对所有自然数k存在无穷多个素数对(p, p + 2k)。k = 1的情况就是孪生素数猜想。
张益唐应用GPY结论破译的弱孪生素数猜想,其实是波利尼亚克猜想中当k
如果强弱孪生素数猜想等价性获证,只需在600到7000万之间,任取2k=2^n,如2k=1024。根据等价性,当x>1024^2时,T(x)与T1024(x)等价。T1024(x)有无穷多对已证,则T(x)也有无穷多对。
布朗常数B2(孪生素数倒数和):B2 ≈ 1.902160583104 布朗常数B4(表兄弟素数倒数和):B4 ≈ 1.1970449布朗定理:发散必无穷,收敛不知道。
其实,发散只是无穷的充分条件,不是必要条件。无穷未必发散。 1996年,Marek Wolf 验证了10^12(一万亿)以内的孪生素数对个数T(x)和表兄弟素数对个数T4(x),得出了T(x)相当于T4(x)的结论。
由于2k>4之后,没有布朗常数。受布朗常数的误导,Marek Wolf 并没有再深入下去,研究T6(x),T8(x),T10(x),T16(x)等情形。
T8(x),T16(x)是否也与T(x)等价呢?
实际上: 设T2k(x)为不超过充分大的自然数x中的素数对(p, p + 2k)个数。
当k=2^n,且x>(2k)^2,强弱孪生素数猜想等价。
即:T(x)~T4(x)~T8(x)~T16(x)~T32(x)~T2^n(x)
之后,布朗还创立了(9+9)证明,走到(1+2),已经找不到方向。 误导的不是布朗本人,而是对布朗的迷信。
x=10000 T(x)=205, T4(x)=203, T6(x)=411, T10(x)=270
T(x)≈T4(x)
T6(x)≈(p-1)/(p-2)*T(x)≈2*T(x)
T10(x)≈(p-1)/(p-2)*T(x)≈4/3*T(x)
10000以内的孪生素数对(p, p + 2)个数T(x)与表兄弟素数对(p, p + 4)个数T4(x)近似相等。素数对(p, p + 6)个数T6(x)是孪生素数对(p, p + 2)个数T(x)的2倍,素数对(p, p + 10)个数T10(x)是孪生素数对(p, p + 2)个数T(x)的4/3倍。
x=2013 因32^2
(2k)^2时,Polignac猜想之间等价。即:T2k(x)与T(x)等价。 T2k(x)~T(x)~2C*x/(ln x)^2
如:孪生素数对(p, p + 2)个数T(x)与表兄弟素数对(p, p + 4)个数T4(x),素数
对(p, p + 8)个数T8(x)等价。
即:T(x)~T4(x)~T8(x)~T16(x)~T32(x)~T2^n(x)~2C*x/(ln x)^2
4 当kn与km有相同的奇素因子p(kn>km),且x>(2kn)^2时,Polignac猜想之间等价。即:T2kn(x)与T2km(x)等价。
T2kn(x)~T2km(x)~2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2
如:当k=2^n*3^m,T6(x)~T12(x)~T18(x)~2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2
当k=2^n*5^m,T10(x)~T20(x)~T40(x)~T50(x)~2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2
当k=2^n*15^m,T30(x)~T60(x)~T90(x)~2C∏(p-1)/(p-2)*x/(ln x)^2
因此:Goldbach猜想与Polignac猜想同源,而且等价。
等价性这一发现,可能是一百年来数论史上的重大发现。因为等价性将数论史上的两大难题统一起来,揭示了二者之间内在的同一性,也揭示了素数分布无序中的有序性。
