最近很火的一道逻辑题

题目:华裔数学神童陶哲轩的一个小设定说一个岛上有100个人,其中有5个红眼睛,95个蓝眼睛。这个岛有三个奇怪的宗教规则。1. 他们不能照镜子,不能看自己眼睛的颜色。 2.他们不能告诉别人对方的眼睛是什么颜色。 3. 一旦有人知道了自己是红眼睛,他就必须在当天夜里自杀。某天,有个旅行者到了这个岛。由于不知道这里的规矩,所以他在和全岛人一起的时候,不留神就说了一句话:你们这里有红眼睛的人。假设这个岛上的人足够聪明,每个人都可以做出缜密的逻辑推理。请问这个岛上将会发生什么?

答案:有几个红眼睛的,他们就会在第几天全部自杀。

这道题可以用数学归纳法来证明,思路如下:(本段来自网络)

当岛上只有一个红眼睛的时候,在旅行者说完这句话的当天,他就会自杀。这个无疑。

当岛上有两个红眼睛的时候。在旅行者说完这句话的当天,这两个红眼睛都在等着对方自杀,但对方却没有自杀。于是在第二天他们立刻明白了自己也是红眼睛,于是在第二天一起自杀了。

以此往下推理,当岛上有三个红眼睛的时候。旅行者说完这句话,每个红眼睛都在等着第二天另外两个红眼睛集体自杀,但他们没有自杀。所以到了第三天,大家都明白了自己也是红眼睛,就一起自杀了。

如此类推下去。就得出了命题:如果岛上有N个红眼睛,那么在旅行者说完这句话后的第N天,这个N个红眼睛会一起自杀。具体到本题就是,到了第五天,这五个红眼睛一起自杀。

但是:陶哲轩又说了,这个旅行者事实上讲了一句废话,没有带来任何新的信息。因为这岛上有95个蓝眼睛,5个红眼睛。每个人都知道这岛上有红眼睛的人。无非是蓝眼睛的人看到有5个红眼睛,红眼睛的人看到有4个红眼睛而已。旅行者说的那句【岛上有红眼睛的人】,没有输入任何新的信息,他说的就是岛上的人每天都看到的景象。所以哪怕岛上的人思维再缜密严谨,也不会有任何自杀的情况发生。

到这里,大家已经开始凌乱了。旅行者的存在到底有没有意义?为了解决这个问题,我们要从岛上居民的角度来思考。由于宗教规则的约束,原本居民们在岛上获得信息的唯一来源就是自己的亲眼所见,他们做出决断需要考虑的因素无非就是这两个:1、我知道了什么。2、别人知道了什么。显然在旅行者来之前,所有人都知道岛上确实有红眼睛存在,但问题来了,他们知不知道别人也知道红眼睛存在?答案是否!他们虽然每个人都知道有红眼睛,但是无法肯定其他人和自己获得的信息是一样的!

为了便于记忆和理解,我们暂且把5个红眼睛居民依次称作:科比,一护,三笠,小哈和大沟。旅行者来之前,大家的状态是这样的:

科比看到有4个红眼睛的,但他不能确定自己是不是红眼睛。于是科比开始考虑,假如只有他们四个红眼睛的,那么一护就会看到有三个人是红眼睛,那么一护就有理由觉得只有三个红眼睛(实际上一护也看到了4个红眼睛,但是科比不知道一护的情况,所以科比只能这么想),所以一护就可以认为三笠只能看到两个红眼睛的,在一护看来三笠就有会认为只有小哈和大沟是红眼睛,进而小哈就会觉得只有大沟是红眼睛,而大沟则有可能一个红眼睛都没看到。以上的思维都是在科比的脑海中完成的,虽然实际上他们5个人每个人都知道岛上最少有4个红眼睛,但是从科比的角度而言,他必须推理每个人会怎么想,并且在假设之上再做假设,依次推理别人的想法。无法判断自己的眼睛眼色会导致每一级推理的时候出现两种情况,分裂下去就会出现这么一种情况:最终科比得出的结论是,在一护看来三笠觉得小哈认为大沟可能不知道岛上有红眼睛。虽然实际上他们5个人每个人都知道岛上最少有4个红眼睛,但是从科比的角度而言上述“最差”情况是无法排除的,因而科比就会想到,一护看来三笠觉得小哈认为大沟不自杀就有充分的道理。

这时候旅行者出现了!他在所有人面前宣布了有红眼睛的存在,这就相当于从最底层否定了科比的“最差情况结论”,如此一来整个推理就有了基石!当科比知道所有人都明白了岛上有红眼睛这个信息时,他就会将自己的思维反过来再推一遍,这就有了文章开始时的证明思路。所以旅行者并不是说了一句废话,而是带来了一个至关重要信息:所有人都明确了彼此都知道岛上有红眼睛人的存在。这就为数学归纳法的第一步提供了依据!、