【大学微积分公式】超越无穷:我们如何通过微积分理解社会?
等一等!快回来!"微积分"(calculus)这个词足以吓跑一大群人,这相当可以理解。微积分基于一种悖论性的思维方式。其骇人的符号炼金术造就了由科学与工学所组成的、令人望而生畏的复杂化合物。鉴于其难度,微积分通常是精英级高校和职业的敲门砖,也因此是一种文化资本的形式,即便对那些并不直接运用它的人也是如此。
如果微积分让你精疲力竭、把你甩在身后、将你一脚踢开或者给你当头一棒,康奈尔大学应用数学教授史蒂文·斯特罗加茨(Steven Strogatz)可以帮你一把(如果你和微积分相处得还不错,那你可以学到很多并且享受其中,但你就不是该书的目标受众了)。
斯特罗加茨是混沌交互系统数学(mathematics of chaotic interacting systems)的行家,而这,也是他第一本跨领域著作《同步》(Sync)的主题。
之后的《友谊的微积分》(The Calculus of Friendship)以及由《纽约时报》连载文章汇集而成的、文笔生动的数学入门科普读物《X之乐》(The Joy of X)也融合了回忆录和微分方程这两大元素。
最近的新作《无穷力量》(Infinite Powers)旨在解释微积分的基本理念,附带论及它的历史,并略微谈了一下它的应用。斯特罗加茨表示,即便那些不需要或者不想学微积分的人也可以读懂这本书。
在微积分于17世纪晚期刚刚问世时,只有少数人可以宣称自己能很好地理解它。在18世纪,科学家和哲学家开始视其为强有力的推理工具和一种标示理性探究之界限的方式:一个理性的科学问题从定义上讲,就是一个可以用微积分来处理的问题。到了19世纪,它成为了科学和工学教育的基础。我们如今生活在一个科学和技术的时代里,而这个时代正是那些付出极大努力学习用微积分的透镜来看待世界的人们所缔造的。
这么看的话,像斯特罗加茨这样受过专业训练、能用微积分来看待自己周围的一切的人也能够在世界中以微积分为媒介,召唤出奇妙而刺激的东西,就是顺理成章的事。借助于这本书,他也加入了一个漫长的传统:科学界的杰出人士以跳过艰苦的微积分训练的方式,为人们了解微积分开辟出一条康庄大道,这一传统可以从2017年大卫·艾奇逊(David Acheson)的《微积分的故事》(The Calculus Story)回溯到1936年兰斯洛特·霍格本(Lancelot Hogben)的《大众数学》(Mathematics for the Million)以及1842年奥古斯都·德·摩根(Augustus De Morgan)的《微积分入门例解》(Elementary Illustrations of the Differential and Integral Calculus)乃至更早。
斯特罗加茨在历史和概念上的谋篇布局以阿基米德、芝诺、伽利略、莱布尼兹和牛顿等一连串伟大的名字为主线,基本遵循这一题材的主流。与前人类似,他也不免会实打实地引入一些数字、符号和图表,但尽量浅尝辄止地运用它们,以便令读者在因半路杀出的复杂运算而分心之后能较为容易地回到叙事的主线上来。
斯特罗加茨的散论不时会触及到神秘的事物,频频谈到微积分所"解开"和"揭露"的"秘密"和"奥妙",时而又不无哲学意味地论及人性和"宇宙的语言"。对我们而言,这种方式固然凸显了他对微积分的热情,但对微积分本身则没有说太多。当他停止唱赞歌,转而用类比、插图、思想实验和例子来解释如何采纳一种微积分的眼光时,这本书才说得上是微积分入门了。
一般而言,采取这样的视角与其说是承认普遍的自然法则的问题,不如说在于找到一种适当的简化、接近和适应身边的处境的方式。与其进一步推到一些不可避免地发生于微积分和自然之间的宇宙级联系,不如说微积分在这些处境中的力量就来自其使用者灵活变通的能力。当熟练的实践者能够根据语境来诠释它们,根据其方法论需要来调整其世界观时,它的方法就起作用了。
例如,斯特罗加茨在解释"瞬时速度"这个概念的时候就考察了博尔特在2008年北京奥运会上创纪录的百米冲刺。他首先粗略地测出博尔特的平均速度,接着又依次谈到了分段时间、光滑近似和准确的雷达测量。一种标准的讲述方式,是表明不断精确化的时间细分是如何收敛进而逼近跑步者的真实瞬时速度,但斯特罗加茨用了另一种办法。
仅当应用数学家不去纠缠短跑运动员步幅的细粒度不规则性(fine-grained irregularities)并转而聚焦于经过光滑处理的近似值,"不去把测量的分辨率推得太远"的时候,才能得出"有意义的趋势"。
理解微积分的关键,是斯特罗加茨所称的"无穷原则"(Infinity Principle)。这是该方法颇具悖论色彩的核心,千年以来一直令诸多思想家困扰而又激动。无穷原则告诉你,如果要分析某种复杂的东西,你首先要把它分解成无穷多的简单部分并对之加以分析。把这些分析出来的无穷多的部分重新组合成一个经过分析的整体是相当困难的,但这比直接分析复杂的整体要简单。
化圆为方这个比喻意味着调和不可调和的东西。作为一个几何问题,它是无穷原则所面对的第一挑战(很久以后数学家才证明有穷手段解决不了这个问题)。一个圆看起来可能不像一个复杂的整体,但它的圆形性(roundness)却扰乱了确定其(正方形)面积所需的测量的直线原理(rectilinear principles of measurement)。
斯特罗加茨一步一步地借助大量图片,表明了如何可以透过将圆分割为无穷多的楔形并将之重组为一个长方形来测定其面积。
即便这种看上去颇为简洁、由阿基米德创立的古典方法也存在着与无穷原则自身一样古老的悖论。作为圆的组成部分,楔形(在此可以看成显然并不古典的披萨切片)的外缘仍然是圆的,这些曲边在诸多楔形被重组之后也不会消失。
但你可以用无穷多的楔形的曲边得到一个长方形的直边。反过来,每一个无穷小的楔形自身都没有面积,但无穷多的零面积加总起来就为圆提供了一个确定的面积。芝诺悖论表明了无穷划分空间的荒谬性,这意味着运动是不可能的,因为你和你想要去的地方之间总是有无穷多的点。然而我们还是在运动,而无穷原则也是有效的,悖论依旧存在着。
接着,斯特罗加茨跳到了近代早期欧洲的科学革命,提到了当时诸如钟摆运动这样的、对机械现象的全新数学描述。英格兰的艾萨克·牛顿和欧陆的戈特弗里德·威廉·莱布尼兹分别创立了各自版本的微积分,后来又陷入了"谁先发明微积分"这一充满敌意的纠纷。
虽然二人都以漫长的数学传统为基础,但也都因创立微积分而得到尊崇,因为二人皆以各自的方式证明了无穷原则的两大核心之间的重要关系:即微分(differentiation,将某事物分解为无穷多的部分)和积分(integration,重组这些部分)之间的关系。
斯特罗加茨运用了关于谁最先发明微积分的争论来解释这些概念,也谈到了微积分的基本定理,后者从数学上证立了:微分和积分之间不单是相互补充的串联性关系,它们实际上是同一枚硬币的两面。
后续的故事回到了当下(并推测了一下AI、大数据、混沌及其它一些潮流的未来)并有选择地谈论了一些话题,主要与波和动态系统的微积分有关。例如,有关规则振荡(regular oscillation)的理念将热和振动的诸理论与医学成像以及季节变化联系了起来。
斯特罗加茨在其编年史式的叙事里加入了一些小插曲,通过新近的应用来描绘其中的关键理念。其中一些论述不免有卖弄的意味(如计算面包片的卡路里或优化便携包的尺寸),但也有不少的确让人大开眼界。
治疗艾滋病感染的医生起初并不愿意在病人的病毒负载较稳定时使用强效的抗逆转录病毒药物,而是将其留给病毒增殖失控的关头。斯特罗加茨解释了免疫学家如何运用微积分来模拟和测试病毒在稳定期间的行为,进而对病毒和患者的免疫系统之间的关系有了全新的认识。
病毒并未休眠,而是"类似于你同时打开水龙头和排水管之后所发生的那样",在持续繁殖的同时被除掉了。应对策略是多种药物并用的混合疗法,它令艾滋病从近乎死刑一般变为了一种可控制的慢性病。
虽然可以把《无穷力量》当成一本微积分史导论来读,但其实不该这么做。斯特罗加茨是个专业的数学家,但只是个业余历史学家,这一蹩脚的组合体现在他对论题的选择比较零散,且不时有可疑的归因。一些微积分领域的泰斗级人物被忽略了,例如18世纪的莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)和19世纪的奥古斯丁-路易·柯西(Augustin-Louis Cauchy)。
在其它一些时候,他又对某些人物的观点有反历史的推测,而忽略了历史学家们念兹在兹的混乱联系和偶然性。
与透过撰写大事纪式的叙事来赋予其时代的数学以意义、并以微积分的高歌猛进作结的18世纪数学史家一样,斯特罗加茨的目的是用历史小插曲帮助读者学会如何看待当下的微积分。例如,他对阿基米德的思想过程和观点提出了富有想象力的推测,邀请读者一并参与概念和视角的发展,不过这些概念和视角更多关乎计算机建模,而非古希腊的数学哲学。
17世纪早期的天文学家约翰内斯·开普勒(Johannes Kepler)的数据分析法仅在表面上与斯特罗加茨所讲述的简洁故事类似。但斯特罗加茨的故事确实有效地向读者阐明了与运用模型、近似值和计算来理解观测相关的一系列核心理念。
换言之,他的故事教会我们在易于辨识之处看出微积分——星辰、钟表或微波炉,并迫使我们将这一眼光拓展到新的领域——计算机程序、DNA和磁共振成像。这本身就是另一种版本的"微积分的力量"。它属于像斯特罗加茨这样可以胸有成竹地运用微积分的人。这本书可以让你明白科学家和工程师是如何体验微积分的力量的,但它并没有触及你自己对那种力量有何体验的问题。
一种对微积分之力量的更全面解释,必须与历史中其它类型的力量打交道:塑造公民和国族的教育系统的力量,配置权威和资源的国家和市场的力量,挑战或界定什么是明显、正确或者自然的想象力和信念的力量。这些种类的力量可以解释微积分何以成了其它类型的知识和行动的敲门砖。
它们解释了微积分如何以其为自然世界分类的方式相类似的办法给人群也分了类,并塑造着能够经常利用机遇者和根本无法利用者的分别。它们帮助我们把握了这一事实:微积分仍然如以往那样神秘且不无精英色彩,且和社会主流有一定距离,后者因性别、阶级、种族、处所、运气和环境而没有能力或不被期望踏上精通微积分这条华山险路。
话说回来,《无穷力量》也以一种迂回的方式帮助我们理解了微积分力量的这一面向。且不论哲学上的卖弄和贯穿其中的诸多洞见,斯特罗加茨的这本书里仍保留着一条颇能说明问题的困惑、矛盾和斗争的线索——譬如,它表现在笛卡尔和费马互竞的构思中,也表现在对CT检查建议的怀疑心态里。
我们可以在诸多领域里看到微积分的力量,其原理在相应领域中与理论及应用形成了取代、补充或令其成为可能的关系,我们也可以理解这种力量的来之不易。
它的成功之处部分地在于其熟练使用者渐渐学会了视其为平常、自然而根本的东西。对微积分力量的系统性社会根源及后果的忽视,乃是微积分的成功当中不可或缺的构成环节,《无穷力量》一书则是关乎该过程如何得以完成的一个绝佳教训。
本文作者Michael J. Barany系英国爱丁堡大学科学史讲师。
