【哥德尔的的核心问题】哥德尔不完备定理动摇了数学的基础吗?
我对数理逻辑及其历史并不是很熟。下面如果有说错的欢迎指出来。
首先哥德尔不完备性定理有两条。我直接把维基百科的原文贴上来。
第一条的意思大致是说:包含算术系统的公理体系(也就是说可以定义自然数的公理体系)都是不完备的,即在这个体系下可以写出一条命题,他既不能在这个体系内证明,也不能在这个体系内被证伪。这个事情听起来挺玄乎的,其实你仔细想想,比如选择公理是可以在ZF公理下表述,但是ZF不能证明也不能证伪选择公理;这个定理无非是说,对足够复杂、能定义自然数的公理体系,他里面总存在“新的公理”而已;你不可能通过添加有限多条公理来达到完备——即所有的命题要么被证明,要么被证伪;总有一个角落你够不着。
第二条就是题主提到的一致性的问题了。这个表述更吊诡:一个包含算术系统的公理体系,即使他是一致的,他也不能在其内部证明他自身的一致性。是不是挺绕口的。。什么意思呢?比如我们还是拿ZFC公理举例,“ZFC不一致”这个命题我们用 来表示,其实也不一定要用0=1,随便一个什么假命题都可以,只是0=1这个写起来最简单而已。
如果我们证明了ZFC内部能够证明0=1,那不就出矛盾了,就乱套了嘛——在一个有矛盾的公理体系内部,真假是没有意义的,所有命题都同时为真同时又为假。
那么不一致的反面就是一致,也就是 ,这个命题可以用形式语言写成ZFC内部的一个命题。这个绕口的定理是说,我们不能在ZFC的内部证明ZFC的一致性,但是可以在ZFC的外部(引入新公理)来证明ZFC的一致性。
好吧,我自己对一致性理解也不是很好,上面说得我自己都有点困惑了。。希望学逻辑的老师同学来给出更清晰的解释。
但无论如何,第二条定理是说,我们不能排除ZFC不一致的可能性,但不代表我们已经发现了ZFC内部存在矛盾。这两条定理某种意义是说形式语言表述能力的有限性,你不能指望一个足够复杂的有限的形式系统能够完美地做到你期望他做到的一切事情,有时候不可避免地要加新公理。
