【哥德尔证明神的存在】如何评价哥德尔对上帝存在的本体论证明?

应 @黄集攀的邀请,逐项点评、分析哥德尔证明。逐步补充,未必能一口气完成。

首先 @黄集攀对模态逻辑的理解和哥德尔证明步骤的翻译没有严重的技术性问题(有一些地方仍然不够准确,但这些地方大多都要理解了这个证明才能讲透),这为讨论提供了一个很好的起点。接下来我先对证明步骤的每一步及其意义进行形式化以及解释之后,再来回顾整个证明。 (注,了解这个证明至少需要以下两项逻辑方面的基础知识:1,一阶谓词演算逻辑;2,模态逻辑。)

其实最通顺、最准确的翻译应该是:“x是类上帝的,当且仅当它的本质属性是而且仅仅是那些积极的(positive)性质”。 这里要注意以下两点: 1,该定义要求在整个证明中“上帝”是一种性质,而不是一个专名(也就不是原本基督教义所指的唯一之神)。

那么转化在逻辑中,“上帝”就是一个不“饱和”的概念(谓词),而不是一个“饱和”的对象(常元或者变元),而只有当一个对象满足这个概念——或找到一个对这个性质的例示(就是定义3中的exemplify)——的时候,我们才可以说这个对象成为“上帝”,而不是说可以预先指定一个叫做“上帝”的对象。

而且我们还要注意,“x is God-like”这句话中所引入的对象是用变元x指代的,也就是说,哥德尔从一开始就没有排斥在宇宙中可能有多个上帝(只要有多个x满足God-like就可以了)。

2,根据该定义,一个对象能够成为上帝就被定义(即“当且近当”)为其本质属性包含所有积极性质,而且也只有积极性质。这可以对应于基督教对上帝“全善”的刻画。当然,何者为善?对上帝而言善的性质是否必然对人类也为善?这是一个问题,但就这个证明本身而言,这个疑问仅有神学和宗教哲学上的意义,而并没有逻辑意义。

我们完全可以只承诺有这样的一种关于性质的分类(至于分的是什么类无关紧要)就可以将这个证明延续下去(因此 @王昱洲 的评价不准确)——如果我们可以把有些性质分为X类的,有些性质是Y类的,而有一种特殊的性质G,它是而且只是所有X类性质的合取,那么它是否可以得到例示?这是哥德尔证明真正反映出来的逻辑内容。

当然,这里还有一个问题,就是如果分类后导致X类性质中包含一些互不相容的性质(比如物体的形状是圆形还是方形)怎么办?这个问题应该会在后面的定义或公理中解决。 总之,我们可以将定义1形式化地写为:

对那个在定义1中第一次出现的、在逻辑中并不常见的写法提供定义。最准确的翻译应该是“A是x的本质属性,当且仅当,对任意性质B而言x必然具有B当且仅当A衍推出B”(第一个“当且仅当”以后的就是对“A是x的本质属性”的定义)。

那么,定义2的形式化(知乎公式编辑器没有必然算子符号□,用代替)就是: 从直观上看,这个对本质属性的定义应该是比较准确的。由于文字上用了entail而不是imply,这就表示性质A与B之间的逻辑关系应该与实质蕴涵有区别,于是形式化时采用了的写法,以区别于以实质蕴涵理解的。

翻译:x必然存在,当且仅当x的所有本质属性都必然有例示。 在我看来,这个定义才是哥德尔证明里最关键、最困难的一步。为什么呢?因为它定义了一个概念/谓词:“必然存在”。这个定义在某种程度上来说是相当奇异的,因为按照现代逻辑(康德就已经给出论证)的角度来看,存在不是谓词,而是量词。

例如,以下句子“当今美国总统存在”不能被理解为“某人既是当今美国总统,他也存在”(形式化为),而应该理解为“有某个人,他是当今美国总统”(形式化为)。

按照原来安瑟伦的上帝存在证明(具体内容参见 @王昱洲 的答案),他是把“存在”当成一个谓词来用的,这是该证明最关键的错误。因为既然“存在”不是谓词,那么它也就不是上帝所可能拥有的性质(同理“不存在”也不是性质)——也就是说不管上帝有多么完美,它也不可能拥有这种性质(当然也不可能拥有“不存在”的性质),我们压根不能以这种方式来谈论上帝。

作为逻辑巨匠,哥德尔当然不希望犯这个错误。因此他想办法定义出了一个跟“存在”有关的谓词,即“必然存在”,这是一件相当奇异的事情——为什么“存在”是量词,而“必然存在”是谓词?这个问题太过关键,而且我对这方面不是非常精通,因此如果 @黄集攀题主有问题的话可以直接发邮件给北大邢滔滔老师求教。不论如何,我们先将这个定义接受下来,然后给出它的形式化:

就是谓词“必然存在”,要注意将和命题“必然地,x具有性质A()”区分开。

这个定义还有一个奇异的地方,就是它并没有承诺x的本质A必定由x例示,也没有承诺当其他对象y例示A的时候A也是y的本质。这在直观上似乎有一些问题,比如我们明明是要论证红旗必然存在,但是红旗的任意一项本质属性(比如“红色”)完全可以有另外一项跟红旗了无干系的例示(比如红花,而且红色也不是花的本质属性)啊?这时这种例示跟红旗必然存在有何关系?这个奥秘应该出在“本质A必然有例示”这个要求上,但我也没有完全想通。

同上,可以咨询邢老师。

不过,这两个奇异点与对定义1的分析中提到的对“上帝全善”的质疑有点类似,即这首先是一种哲学质疑——质疑的是形式表达式的哲学意义是否准确、是否会带来不良的哲学后果等。但是逻辑演算可以暂时不理睬这种质疑是否有效,它只管这种设定能否得出最终的结论就可以了。

因此,在形式上,我们还是可以将视为一个一般的、跟上面的A、B这些没什么两样的谓词,然后用这个形式定义来进行推衍而暂时不管它的定义对于哲学本体论问题的影响。于是,我们还是可以带着这两个疑问继续进行这个证明。

翻译:任意由积极性质衍推而来的(如严格蕴涵的)性质都是积极性质。 从这个公理开始,以下的几个公理都在对“什么是积极性质”进行约束。正如对定义1的讨论所说明的那样,这种约束未必给出的是在基督教意义上为“善”的性质。也正如对定义2的讨论所说明的那样,在这里“entail”这一逻辑关系并不是一般的实质蕴涵。公理1可以形式化为:

翻译:一个性质是积极的,当且仅当其否定是不积极的。 对“积极性质”的第二个约束,这个约束相当直观。其形式化为: 也就是说,二阶谓词Pos有一个特性,即它的否定等价于将它直接作用于原有性质的否定。

翻译:性质“类上帝的”是积极性质。 定义1的延续,直观上也非常恰当,毕竟能成为上帝的事物本质属性就是而且只是所有的那些积极性质,那么也就很难想象将这些积极性质合取来定义的“上帝”性质是不积极的。其形式化为:

翻译:如果一个性质是积极的,那么它就必然是积极的。 这是一个对“什么是积极性质”的极强约束,基本上排除了我们日常生活中常用的对善恶的道德判断。例如我们日常生活中时常说“诚实是善的”(如果诚实是积极性质,那么根据公理2,不诚实就是不积极的),可是显然在一些特殊情况下(比如像为了掩护我党的地下工作者这种维护某个人正当的生命权利时)不诚实才是善的。

如此看来,“诚实”这一性质至少在日常生活中就不是必然为善的,于是它也不必然是积极的,而根据否定后件推理它就是不积极的。

从这个角度来说,哥德尔的上帝所要求具备的那些积极性质应该是一些比较抽象的性质(无论其是否为道德性质),而且这些性质的积极与否不会随着人在不同情况下形成道德判断之改变而改变。该公理的形式化为:

(未完)

对哥德尔证明的完整介绍请移步阅读 @ZS Chen 的答案。