古今打一成语 古今数学思想2笔记Chapter16——科学的数学化

我们可以说,现在是第一次把一个拥有许多奇妙结果的新方法公开出来;在未来的年月里,它将赢得别人的重视。——Galileo Galilei

Descartes和Galileo两人针对科学活动的基本性质,进行了革命化。他们选定科学应该使用的概念,重新规定科学活动的目标,改变科学中的方法论。

Descartes精心讨论了为什么世界是可以接近的,并可归结到数学。他坚持:物质的最基本和最可靠的性质是形状、延展和在时空里的运动。因为形状也只是延展,所以他断言:“给我延展和运动,我将把宇宙构造出来”。运动本身是由于力作用在分子上的结果,Descartes相信这些力服从于不变的数学定律,而且由于延展和运动都可用数学表出,所以一切现象都可用数学描写出来。

他的著作使Newton注意到运动的重要性,他的哲学精装本,甚至成为贵妇们梳妆台上的点缀品。

经院哲学体现:心的直观力量(即对基本的、清楚的、明显的真理的直接了解)是他的知识哲学的要素之一。他相信有先天的真理,而且理智本身的力量,可以得到对于一切事物的完全知识。

1、Galileo和Descartes一样,相信自然界是用数学设计的。

他的1610年的叙述是著名的:

“哲学[自然]是写在那本永远在我们眼前的伟大书本里的——我指的是宇宙——但是,我们如果不先学会书里所用的语言,掌握书里的符号,就不能了解它。这书是用数学语言写出的,符号是三角形、圆形和别的几何图像,没有它们的帮助,是连一个字也不会认识的;没有它们,人就在一个黑暗的迷宫里劳而无功地游荡着。”

自然界是简单而有秩序的,它的行为是规则的而且必要的。它按照完美而不变的数学规律活动着。神圣的理智,是自然界中理性事物的源泉。上帝把严密的数学必要性放入世界。人只有通过艰苦努力才能领会这个必要性。因此,数学知识不但是绝对真理,而且像圣经那样,每句每行都是神圣不可侵犯的。实际上,数学更优越,因为对圣经有许多不同的意见,而对数学的真理,则不会有不同的意见。

2、Galileo决定:在物理学中,和在数学中相反,基本原理必须来自经验和实验。

Galileo根本上不同于希腊人,不同于中世纪的科学家甚至Descartes之处,在于他的寻求基本原理的方法。Galileo以前的人和Descartes都相信基本原理出自心中,心只需对任何一类现象去想,它就能认出基本的真理。他们如此相信先天的基本原理,以至当观测偶然不符合时,他们就造出特殊的解释来保存原理,同时也说明异常的地方。

Galileo决定:在物理学中,和在数学中相反,基本原理必须来自经验和实验。寻求正确而基本的原理的道路,是要注意什么是自然界说的,而不必注意什么是心之所愿的。知识来自观测,不来自书本,关于Aristotle的辩论是无用的。Galileo也确曾领会到:人可能从实验得出一个不正确的原理,因而从这原理得出的推论,也是不正确的。因此,他建议用实验去考核推理的结果,而且去获得基本原理。

17世纪的大思想家所想象的科学的正当程序,后来确实证明是有益的。用理性去寻求自然界定律,到了Newton的时代,在薄弱的观察和实验的基础上,导出了极有价值的结果。16.17世纪的巨大科学成就是在天文学和力学方面,关于前者,观测只给出了极少一点新鲜的东西;关于后者,实验的结果,很难说是惊人的,而且确实是没有决定性的。

但是。数学理论却达到了广博与完善的地步,在后来的两个世纪中,科学家根据极少甚至琐碎的观测和实验,给出了深刻而广泛的自然定律。

在《关于两门新科学的对话》中,他说,处理无穷多样的重量,形状和速度是不可能的。他曾经观察到不同的物体在空气里降落的速度差异,比在水里的要小。所以,介质越稀薄,物体下降的差异越小。“当观察到这点之后,我就得出结论:在一个完全没有阻力的介质中,所有物体以同一速度降落”。Galileo在这里所做的是去掉偶然的或次要的效应,去得到首要的效应。

去掉空气阻力和摩擦力之后,Galileo找出了在真空里运动的基本定律。这样,他不仅用物体在空的空间中运动的概念来驳斥Aristotle,甚至驳斥Descartes,而且他所做的,正如数学家在研究实际图形时所做的那样。

数学家从线上去掉分子构造、颜色和厚度而得到线的基本性质,然后就集中研究这些性质,Galileo就是这样深入到物理因素的。数学的抽象方法确实离开了现实,但是说也奇怪,当回到现实时,它却比所有因素都考虑进去更为有力。

以上所说的是Galileo所表述的一些方法论原理,其中有许多是由于受到数学的研究方式——数学用以研究几何的方式——的启发而来的。

【Galileo的找到首要效应的能耐真不错!】

3、Galileo和他们不同,主张寻求量的公理。

他的下一个原理,是关于数学本身的应用,但只是一个特殊方式的应用。Aristotle派和中世纪的科学家都倒向质的方面,他们认为质是基本的,他们研究了质的获得与丧失,辩论了质的意义,Galileo和他们不同,主张寻求量的公理。这个改变最为重要。

Aristotle派说,球的降落,是因为它有重量;它落在地上,是因为任何物体都要找寻它的自然位置;而重物的自然位置是地球的中心。这些原理都是属于质的。甚至Kepler的第一运动定理——行星的轨道是椭圆——也是属于质的。

与此相反,让我们来看这一叙述:球在降落中每秒钟的速度,以英尺计,是32乘以开始降落后所经历的秒数,用符号表出便是 [以米为单位,即v=9.3576t]。这是一个关于球如何降落的量的叙述。Galileo着意于找出这样的叙述作为公理,并期望用数学方法得出一些推论,这些推论将仍给出量的知识。另外,我们已经看到,数学是他要用的主要工具。

Galileo追求描写的决定,是历来关于科学方法论的最深刻最有成效的思想。

尽管Aristotle派已经谈到一些关于质的名词,例如流动性、刚性、要素、自然位置、自然的和猛烈的运动,以及潜势等,Galileo却选择了一组全新的可以测量的概念,使得它们的测度可以用公式联系起来。这组概念包括距离、时间、速度、加速度、力、质量和重量等。

这些概念我们是太熟悉了,不觉得有什么奇怪,但在Galileo的时代,这是彻底的改造,至少作为基本概念来说是如此,这些概念在了解和掌握自然的努力中,已证明是最有帮助的。

但是,Galileo的卓越之处在于他非常清楚地看出当时科学研究工作中的错误和缺点,彻底地抛弃了旧的方式,而又非常明白地制定了新的程序。另外,在应用这些程序于运动问题时,他不但表演了这个方法,而且成功地获得了辉煌的成果——换句话说,他证明了他的程序是有效的。

虽然Galileo的科学哲学大部分与Descartes的一致[来自于经验和实验而非来自于心,这一点不同],但是给近代科学制定出更彻底更有效更具体的程序,并用自己的工作证实该程序的效果的,却是Galileo。

他工作的完整、思想和表达的明晰以及论辩的力量,影响了几乎所有他的同辈和后辈。Galileo是近代科学方法论的奠基人。【实验来提供基本定律 量的描写】

我们应该注意到像Newton这样的大人物,是怎样全盘地接受了Galileo的程序的。Newton断言,需要用实验来提供基本定律。他又明白知道:在得到一些基本原理之后,科学的作用就是从这些原理推出新的事实。

(1)如果测定准确的经度和纬度

纬度:通过观察太阳或恒星来确定

经度:用月球对一些恒星的相对方向来确定的

但是由于船在水上起伏不定,要得到月球的准确方向是困难的;另一方面,由于月球相对于恒星的运动,在几个小时内不会太大,月球的方向必须较为准确地测定。进一步了解月球的轨道看来是必要的。

经纬度测量不准确会导致航运的损失很大,欧洲各国政府甚为关心。1675年,英王Charles二世在格林尼治(Greenwich)建立起皇家观测台,以期对月球运动得到较好的观测,并且把该台作为测定经度的固定站。【格林尼治天文台的来历和0经度确定的来历】

(2)如何设计一些较为准确的方法来测量时间

单摆的运动似乎提供了测量时间的基本装置。但是摆钟不适于用在船上(为了计算经度,钟每天的误差不得超过2~3秒,而船的运动对摆的影响很大)。由于没有适当的钟,所以关于月球运动的准确观测,还是那个世纪的主要科学问题。

数学从运动的研究中引出了一个基本概念,这个概念在几乎所有的工作中占中心位置,这就是函数——或变量间的关系——的概念。

Galileo量的描述——>变量关系——>文字 比例——>符号化——>代数运算——>函数

函数——>曲线

运动——>点的轨迹——>曲线

(1)Galileo用文字和比例的语言表达函数关系。

例如,在他的关于材料力学的作品中,他有时候说,“两个等体积的圆柱体的面积[底面积除外]之比,等于他们的高度之比的平方根”。 又如,在他关于运动的作品中,他说(例如):“沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体,其下滑的时间与平板的长度成正比”。

这些话清楚地表明他是在讨论变数和函数,只差把文字叙述表示为符号形式这短短的一步了。因为代数的符号化那时正在扩展,所以不久以后,Galileo关于落体距离的叙述就写为 ,关于沿斜板下滑时间的叙述就写为 了。

【比例关系是如何转换成函数关系的?这个很难理解啊!】

(2)在17世纪引进的绝大部分函数,在函数概念还没有充分认识以前,是当做曲线来研究的。例如,关于 , 和 等初等超越函数的研究就是这样。

【后来,Descartes进行了方程次数和曲线的对应关系的建立】

正弦曲线是通过Roverval关于旋轮线的研究,作为旋轮线的伴侣曲线而进入数学的。下图是一个旋轮线的GIF图。

【关于超越函数】:之前被Descartes所提的几何曲线和机械曲线的区别,引出了代数函数和超越函数的区别。幸而Descartes的同时代人没有注意到他排斥机械曲线的事,通过求面积,求级数和,以及进入微积分里的其他运算,人们发现并研究了许多超越函数。

James Gregory在1667年证明圆扇形的面积不能表为圆半径和弦的代数函数,从而明确了代数函数和超越函数的区别。Leibniz证明 不可能是 的代数函数,无意中证明了Gregory所寻求的结果。对于超越函数的完全了解和使用就渐渐地实现了。

(3)用运动的概念来引进旧的和新的曲线

在希腊时代,有少数曲线,例如椭圆曲线和Archimedes螺线,是用运动定义的。但在那时这些曲线不属于正规数学的范围。

到了17世纪后,看法就不同了,Mersenne在1615年把前人已知的曲线cycloid(旋轮线)定义为当车轮沿地面滚动时,轮上一个定点的轨迹。【之前,旋轮线是】Galileo证明:把物体斜抛向空中时,它的路径是一个parabola(抛物线),因而把这曲线看做是动点的轨迹。

【之前,抛物线是作为二次曲线 研究的吧】逐渐地就把这些曲线所代表的各种类型的函数引进了名词和记号。【所以现在很多曲线可以用数学函数称谓,也可以用物理上很直观的来称谓】

【这么把动点的结果和数学原来的曲线结合起来,不会觉得很震撼么?和当时发现很多自然界当中静止的曲线原来可以用数学来表述,从而认为上帝存在一样震撼么?】

把曲线看做动点的路径这一概念,通过Roberval,Barrow和Newton而获得明显的认可和接受。Newton在他的《求曲边形的面积》中说:“我认为这里的数学量,不是由小块合成的,而是由连续运动描出的。

线[曲线]是描画出来的,因而它的产生不是由于凑零为整,而是由于点的连续运动……这样的起源,真正发生在事物的本性中,而且是日常从物体的运动中看见的”【所以后来Newton才把自己的微积分称作为“fluent”吧】

函数:变量之间的关系【代数运算关系,极限运算关系,级数运算关系,任何关系】

17世纪中,函数概念的定义,以James Gregory在他的论文《论圆和双曲线的求积》中所给出的最为明显。他定义函数是这样一个量:它是从一些其他的量经过一系列代数运算而得到的,后者经过任何其他可以想象到的运算而得到的。这最后一句话的意思,据他的解释是:除了五种代数运算以外,必须再加上一个第六种运算,即趋于极限的运算。不久就证明他的定义太窄,因为函数的级数表示式,不久就广泛地使用开了。

1673年,Leibniz用“函数”一词来表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量——例如,切线、法线、次切线等的长度以及纵坐标等。对于该曲线本身,据他说是由一个方程式给出的。Leibniz又引进“常量”、“变量”和“参变量”,这最后一词是用在曲线族中的。

1697年,John Bernoulli就谈到一个按任何方式用常量和变量构成的量。他用X或 表示一般的x的函数,但到了1718年,他又改写为 。1734年,Euler引进记号 。

【这一章节当中,感觉运动起到了非常重要的作用,对于微积分而言】