【韦东奕不等式】北大优博论文撷览丨韦东奕:轴对称Navier
研究背景:三维Navier-Stokes方程是刻画流体运动的基本方程,它的定解问题的整体适定性是当今数学界最关注的问题之一。三维Navier-Stokes方程解的整体适定性是clay千禧年7大问题之一,Navier-Stokes方程有极强的实际应用。
对于这个问题我们可以首先讨论轴对称情形。我们熟知二维欧拉方程对光滑初值存在整体解,但解的长时间行为仍是公开问题。二维欧拉方程特别是剪切流的稳定性也是当今数学界非常关注的问题之一。
Orr发现线性化方程速度收敛到0的现象,这一现象称为线性阻尼,与Landau阻尼类似。Case给出单调剪切流的线性化方程的解的非0频段部分的衰减预测。对于非单调剪切流,Bouchet和Morita用预解式方法形式推出了涡度耗尽(在临界点处收敛到0这一现象。本文对以上结论给出精确表述和严格证明。
选题意义:论文选题是流体偏微分方程领域经典的重要问题,有很大的挑战性。论文结构合理,论述严谨,所得到的结果非常重要,是一篇极为优秀的博士论文。
研究价值:第一部分有关三维轴对称Navier-Stokes方程的正则性估计。这一结果改进了雷振和张旗以前的工作,该结果是目前最好的。第二部分有关Euler方程剪切流的衰减估计,相应的结果已达到最优。博士论文中以上几个结果,是本质性的改进。
主要内容:三维轴对称Navier-Stokes方程的光滑解的角动量分量满足极值原理,且角动量分量绝对值的最大值是伸缩不变的,因此讨论只依赖的正则性条件是非常重要的。本文先证明一个关于的正则性条件,进而得出在的条件下解的整体正则性。
在欧拉方程方面,考虑有界带型区域的剪切流的线性稳定性,在没有嵌入点谱的假设下,证明了时线性化方程速度的无粘阻尼(时空可积性),对单调和对称剪切流证明了Case预测的解的衰减估计,对有临界点的情形严格证明了Bouchet 和 Morita发现的涡度耗尽现象。
主要创新点:在三维轴对称Navier-Stokes方程的正则性估计时对对数型Hardy不等式给出更精确的描述。在欧拉方程方面,利用紧性方法证明极限吸收原理并使用对偶方法证明解的衰减估计。
