狄拉克算符【求助】狄拉克右矢与线性算符求指引

2017-12-24

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文章简介：lxd_bruce同学讲得不错,现在看来量子力学的数学基础是泛函分析,如lxd同学所述,狄拉克在<原理>中所引入的几乎所有符号和运算形式在泛函分析中都可以找到数学上对应的严格定义,比如:标量积(即左矢与右矢的"内积").对于量子力学中的ket与bra(这个容易让人产生不好的联想-),在数学上分别对应于希尔伯特空间(完备的内积空间)中的元素和其上的连续线性泛函(即希尔伯特空间的共轭空间中的元素),所以左矢与右矢实际上是不同类型的,在这个意义下,<原理>中左矢与右矢

lxd_bruce同学讲得不错,现在看来量子力学的数学基础是泛函分析,如lxd同学所述,狄拉克在《原理》中所引入的几乎所有符号和运算形式在泛函分析中都可以找到数学上对应的严格定义,比如:标量积(即左矢与右矢的“内积”)。

对于量子力学中的ket与bra(这个容易让人产生不好的联想…),在数学上分别对应于希尔伯特空间(完备的内积空间)中的元素和其上的连续线性泛函(即希尔伯特空间的共轭空间中的元素),所以左矢与右矢实际上是不同类型的,在这个意义下,《原理》中左矢与右矢间的“内积”应理解为连续线性泛函(相应于bra)在某一元素(相应于ket)上的函数值(一般值域是复数集的子集),而由于希尔伯特空间的特性(具有内积),其上任一连续线性泛函作用到某一元素上得到的值可以通过将该元素与此希尔伯特空间中一特定的元素(取决于该泛函)作内积而得到。

因此,尽管左矢与右矢的“内积”(实际上是泛函值在某点的函数值)并不是希尔伯特空间中真实的内积(两元素必须属于同一空间),“内积”的结果却可以用希尔伯特空间中定义的内积来获得。

而对于量子力学中线性算符,数学上则是指希尔伯特空间到其自身(更一般的情况下则为任意两个线性拓扑空间间的映射)的一种映射操作,即其作用到一个态矢上可得到另一个态矢,并且这个映射是线性的。

运算法则取决于算符的具体形式,比如是对态矢的旋转操作还是平移操作等等。另外,量子力学中重要的力学量的本征值问题在泛函分析中就是寻找相应线性算符的所谓“点谱”的问题,由此可见谱分析技术的发展对量子力学的重要性。

最后,量子力学中的“完备性”,关系到能否用本征函数展开逼近任意波函数的问题。说说自己对一个小问题的认识和理解,通常我们认为所研究的态函数属于L2(勒贝格平方可积)空间,并且乐于将态函数(当粒子仅出现于有界区域时,无界时通常用厄米多项式代替三角函数系)进行傅立叶展开,可以证明傅立叶级数能够在平均收敛的意义下逼近任何L2中的函数(即三角函数系构成L2空间的完备基),然而这一逼近并不能保证是“处处”的,即不能保证在空间的每一点傅立叶级数都收敛于态函数,这样,在没有更进一步的证明时,用傅立叶级数代替态函数计算粒子在空间某点或某部分出现的概率是比较危险的,尽管一般都这么做。

当然,或许对于所有物理上“真实”的态函数都满足足够的条件以使其可以被对应的本征函数展开级数处处甚至一致地逼近,这个“真实”应对应于什么样的限制,当本征函数为三角函数系和某些特殊函数系时已经有了一些很好的结果,但是在一般情况下如何?或许是个有趣的问题(不过个人认为从物理的角度来讲意义不大…) 最后,泛函分析和测度论的入门教材推荐 a.