维纳斯的身高 关注丨你是否也被高考数学维纳斯身高整懵了

高考数学全国卷一中断臂的维纳斯一题,再次让考生感受到被数学支配的恐惧。名画是如何与数学产生交集的?同济大学教授讲解。。。。。。

每年高考,都会有不少考生感受到,被数学支配的恐惧。果然没有任何意外,今年数学刚刚考完,就在热搜榜占据一席。

全国卷一的第四道选择题,求断臂的维纳斯身高……

结果,网友纷纷开启吐槽模式↓↓↓

明年数学会考什么?

不少网友押了她!

明年高考数学也许、可能、就是这题呢?

其实,北京科技报《科技生活》2018年5月刊

就曾刊发同济大学梁进教授的解读文章,

来看各种名画中的数学之美。

【讲座人】

梁进

同济大学数学科学学院教授

2018年4月21日在中国科技馆,同济大学数学科学学院教授,金融数学领域著名学者梁进做了题为《名画中的数学密码》的科普讲座。报告中,梁进教授通过数学的思维分析了包括《蒙娜丽莎》、《星空》等多幅世界名画中的数学元素,并从哲学层面和科学史的角度讲解了数学和艺术的渊源与深度关系。北京科技报

科学加客户端记者对讲座内容进行了整合、梳理,以飨读者。

以下为演讲实录:

在传统印象中,数学家的样子是固执的、保守的,而艺术家的样子是非传统的、疯狂的。可以说,数学和美术是两种截然不同的存在。然而,数学和艺术其实能够在哲学层面产生交集。

艺术是形象思维的高度抽象,数学是逻辑思维的高度抽象。但数学的研究对象是“数”和“形”,所以数学中包含“形象逻辑”;艺术讲究逻辑,所以也包含“逻辑形象”——在哲学的层面上,二者殊途同归、“高维连通”,这是一种非直观关联,是更高层面的浸润。实际上,一些数学家在发现重大定理时,偶尔也会通过“艺术”的直觉来发现。

艺术中也有广阔时空

作为两个领域,艺术和数学的思维方式的确有很大不同,数学的思维是严谨的,而艺术的思维是跳跃的、抽象的、发散的。时间和空间是数学和物理中最基本的概念,那么时空在艺术中是如何反应的呢?

音乐是时间的艺术,音乐随着时间流淌,一首乐曲必须从头听到尾才能理解其含义。而美术是一种空间的艺术:绘画作品是二维的,雕塑作品是三维的。它们在时间上相对固定(不同时间点去欣赏同一幅作品,呈现的内容基本相同)。

△保罗·高更的作品《我们从哪里来?我们是谁?我们到哪里去?》采用笛卡尔式的解析方式,水平方向像是数学的数轴,按时间展开。最右边刻画了诞生,像是数轴的“原点”;在画面的黄金分割处,一个成年人顶天立地,正在采摘果实,象征着人的黄金时代;而最左端的老者,暗示着人生的终点。

不过,艺术不是一成不变的,绘画也可以在作品中“表现时间”,音乐也可以“寻找空间”,比如交响乐比独奏的空间感要大得多,表现的内容也更丰富。

那么,名画是如何与数学产生交集的呢?事实上,绘画的结构“很数学”,例如,色彩是绘画中最基本的重要因素,从三原色开始,通过不同比例的调配能够获得更多的颜色,每一种色彩中红、黄、蓝的比例是不同且固定的。

△光学三原色(红绿蓝)可构建色彩坐标系(来源于网络)

因此,色彩可以组成一个具有x、y、z轴的坐标空间,每一种颜色都有属于自己独一无二的点,比如(255,255,255)为白色,而坐标原点(0,0,0)则为黑色,这就是一种典型的“数学”表现。

名画中的数学结构

数学中最简单的形状是圆、三角形、四边形,这些形状不仅在生活中处处可见,还被赋予各种含义,例如圆往往代表“完美”。

△达芬奇创作的著名壁画《最后的晚餐》以耶稣为中心,其他人物对称排开。人物的动作表情不一,起伏不定。画面构成很象一幅 “三角波形图”,而处在画面中心的耶稣如定海神针般起着“波不动点”的作用。这个波让画面既平静又动荡。

图中隐含着2个在无穷远处有共同顶点的相似三角形。一个三角子的底边直达观众,另一个三角的底边就是人物表现出坦然、惊恐、愤怒、怀疑、剖白和慌张情绪的舞台,而这些情绪通过画面的几何结构沿着波线直接散播、感染到观众。

古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯很早就发现了“黄金分割”。据说有一天,毕达哥拉斯在大街上听到铁匠在打铁,他注意到打铁的声音非常好听,一强一弱的节律很有规律,毕达哥拉斯通过分析其中的规律,发现了黄金分割点——这是音乐节奏中的数学。

△毕达哥拉斯探索了不同乐器中的数学比例(来源:维基百科)

喜欢数学的人一定知道斐波那契数列。这个数列还有一个“兔子”版本,即一只兔子生下一只小兔子,一个月后,小兔子也可以生小兔子。按照这个规律,兔子生兔子的数列就是0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144……这就是斐波那契数列。

△斐波那契的“兔子数列”(来源于网络)

斐波那契数列又称“黄金分割数列”——如果把通过斐波那契数列计算出的“黄金矩形”放在一起,便会进一步形成“等角螺线”。“等角螺线”在大自然中也很常见,比如葵花籽的排列方式就是按照等角螺线来排列的。

除了黄金分割点和等角螺线,自然界还有“黄金角度”——137.5度,如果细心观察你就会发现,大自然中的许多树杈就是137.5度。

为什么树杈会正好长到这个角度?人们发现,这个角度正好可以让树木获得最大的采光量。

说到绘画与数学的融合,不得不提达芬奇。他不仅是美术家,也是数学家、科学家,是文艺复兴时期的博学家。《蒙娜丽莎》是达芬奇的代表作。

《蒙娜丽莎》画作的比例十分符合等角螺线和黄金三角形定律。后世画家在处理半身像时,或多或少都加上了《蒙娜丽莎》的影子,其影响之大可见一斑。而达芬奇另一幅备受关注的画作、人体绘画的标杆《维特鲁威人》也包含大量黄金分割。

《维特鲁威人》描绘了一个四肢张开的健壮中年男子。如果以头、足、手为端点,正好外接形成一个圆形。同时,在画中叠加着男子两臂张开平伸的结构,则可以外接一个正方形。这幅画,将数学的“形”体现得淋漓尽致。

△“文艺复兴艺术三杰”中除了达芬奇,拉斐尔的画作同样结构明显。例如他的《嘉拉提亚的凯旋》的结构是由多个三角形组成。

艺术走在了数学之前

工业革命后,数学界经历了一次危机。从微积分的诞生,到关于“无穷小”的争论,再到非欧几何的崛起、随机问题对传统的挑战等,数学家的眼光逐渐从具象转向抽象。

同一时期,画家也受到了严酷的挑战:特别是19世纪初,照相机的问世让一批画家丢掉了饭碗,这时候对于画得“如何像实体”的追求已经已经走到了尽头,艺术家们在方寸画布上,也开始追求“抽象”和“感觉”,印象派画家开始引领风潮,其独有的朦胧风格画作引起世人广泛的共鸣。

△后印象派画家梵高的经典作品《星夜》。学过流体力学和动力系统的朋友会感到,这个图几乎包括了湍流、漩涡和动力系统的各种收敛或发散的极限状态。在似乎安宁的夜空中,空气是在流动的,敏感的梵高感受到了这一切。

可以说,这回艺术走到了数学前面。数学一直以精准著称,然而直到印象派崛起的一个世纪后,数学界才发展出“模糊数学”学科(美国学者扎德发表“模糊集合”论文,标志模糊数学诞生)。

什么是模糊数学?我们可以用一个简单的例子来理解一二,比如老师说“请高个子同学站起来”,你一定会想:我算不算高个子呢?但如果老师说“请一米七以上的同学站起来”,这时符合条件的同学就会起立。有了模糊数学,我们就可以通过计算“一米七是高个子的概率有多少”来描述高个子这个模糊概念。模糊数学目前在许多领域(包括医学)中被大量应用。

其实,艺术与数学的发展都是无穷尽的。至少从目前人类掌握的知识来看,我们还有很长的路要走。我们可以把每个学科看成是不同的道路,或许在不同的时间和地点,这些路途就会产生交集,从而出现让人类觉得不可思议的、看似巧合却并非巧合的事物。

(本文整理自中国科技馆2018年4月21日“中科馆大讲堂”,文字经梁进教授审核)

看了这些名画中的数学还觉得不过瘾?梁进老师的新著《名画中的数学密码》刚刚出版。在这部作品中,她带领读者探索世界名画中的数学解码和变迁,为读者讲述数学和绘画如何互相影响、交织发展、高维连通。如果你是一个向往数学的艺术爱好者,或者是向往艺术的数学爱好者,那你一定不想错过!