投票悖论例子 『投票悖论』与社会共识

先从一个有趣的事例说起吧,这个事例是很多年前我亲身经历的,为了便于说明主题,我做了一番简化和虚构。

某天,十几个喜欢读书的网友发起了一个主题为“读什么书,如何读书”的线下活动。这些人虽然都喜欢阅读,但兴趣偏好却各不相同,有的喜欢文学类,有的喜欢实用类,有的则关注学术类。活动一开始就产生了很大的分歧。经过一番激烈争论,也没能达成一致的意见。

三种偏好之间的差异很大,事实上这三类阅读偏好的人几乎没有多少共同语言。讨论无果,最终他们决定进行投票,选择得票最多的作为活动的主题。众所周知,多数决定的民主原则是现代社会普遍采用的决策手段。用民主投票的方式,最终由简单多数决定最优偏好也是常见的做法。

然而,奇怪的事情发生了!

为简化起见,我们把三个选项分别用α(文学类)、β(实用类)、γ(学术类)表示。他们最终投票的偏好排序是这样的:1/3的人(简称为甲)α>β>γ,,另1/3(简称为乙)是β>γ>α,剩下的1/3(简称为丙)则是γ>α>β。如下图所示:

通过这一偏好排序,诉诸少数服从多数原则,我们可以推出下列结论:

综合以上1、2、3的结论,可以得到这样的结果:α>β>γ>α。由传递性可知,α>α,这怎么可能?!由多数决定原则进行投票,居然得到一个自相矛盾的结果!

好了,弯子绕完了,其实这就是著名的『投票悖论』。

这个悖论最早由18世纪的孔多赛发现,因而又称为『孔多赛悖论』。对其进行严格的数学证明,则是著名经济学家肯尼斯.阿罗(1972年诺贝尔经济学奖得主)的伟大贡献。所以,此理论又称『阿罗不可能定理』。

【感兴趣的读者可以参考阿玛蒂亚.森的分析,阿罗所说的这些条件如下:1、无限制领域条件;2、帕累托条件;3、无关备选对象的独立性条件;4、非独裁性条件。】

投票悖论的发生也非必然,而是具有偶然性,存在一定的概率。到底有多大呢?对其采取数学手段进行计算的学者指出,随着备选方案的增加,这一概率会急剧增大。譬如,有这样的数据:当投票者为15人,备选项为3时,产生投票悖论的概率为8.2%。当人数不变,备选方案变为4时,产生投票悖论的概率则增加了一倍,为16.4%。详见下图:

不过阿罗也说:“如果对社会事件所持观点分布较为均匀,以及社会事件的空间维数(备选项)大大地小于个人的人数,那么在真诚基础上的多数决定就具有传递性”。另一位研究投票问题的专家戈登.图洛克(公共选择理论的奠基人之一)认为,在现实世界中,投票者的个数总是大大超过供投票选择的社会状态的个数。这时,出现投票悖论的概率是如此之小,以至于在实际上可以不考虑它。

但在不符合这个条件的情况下,投票悖论的产生就难以消除么?事实上,有很多经验可以证明,投票悖论在投票人存在基本共识的情况下是可以消除的。

将上述事例稍作修改,比如三类人都同意γ并非最佳,于是我们可以将丙的偏好排序做一个改动,使γ不为最佳。可以将γ与α或β互换皆可,进行重新投票。新的投票结果如下图所示:

即:甲:α>β>γ 乙:β>γ>α 丙:β>α>γ

通过这一偏好排序,诉诸少数服从多数原则,可以推出以下结论:

综合以上1、2、3的结论,可以得到这样的结果:β>α>γ,即多数决定的集体决策是β、实用类最佳,α、文学类次之,γ、学术类最差。根据多数决定规则,最终获胜的将是β、实用类。投票悖论消失了!

要知道,这仅仅是稍微改动了丙的偏好排序,使γ与β互换了一下位置的结果。这一简单而有效地解决办法是阿玛蒂亚·森(1998年诺贝尔经济学奖得主)提出来的。他发现,一般来看,当所有投票人都同意一备选项并非最佳的情况下,投票悖论就可化解。

阿玛蒂亚.森把这个发现加以延伸和拓展,得出了解决投票悖论的三种选择模式:(1)所有人都同意其中一项选择方案并非最佳;(2)所有人都同意其中一项选择方案并非次佳;(3)所有人都同意其中一项选择方案并非最差。森认为,在上述三种选择模式下,投票悖论将消失,多数决定的民主原则所可能产生的矛盾就此化解。

由森的解决方式可以看出,所有人存在某种基本共识的情况下,投票悖论会消失。有研究证明,随着社会同质性的增强,投票悖论发生的可能性会降低。投票悖论的发生与意见的统一程度似乎呈一种反比关系。这意味着,如果一个社会在基本理念上缺乏一致性,缺乏基本的社会共识,民主制度将不起作用。民主是好东西,而培养一国公民之基本共识,正是民主大厦得以稳固的基石。