【微积分是什么】微积分的本质是什么?
微积分是一门变量学科,包含着丰富的辨证思想。恩格斯说:“有了变量,辩证法就进入了数学”,“变数的数学——其中最重要的部分微积分——本质上不外是辩证法在数学方面的运用”,通过变量、函数、极限、微分和积分等基本概念和基本方法,将辨证思想渗透到整个微积分之中,在一定条件下,使数学中直与曲、常量与变量、有限与无限、局部与整体、近似与精确、特殊与一般、离散与连续、对立与统一、量变与质变、否定与肯定等基本矛盾的对立面相互转化,是微积分中辨证思想的具体体现。
恩格斯曾经指出:“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾,在一定条件下直线和曲线应当是一回事,我们知道,直与曲是有严格区别的两个概念,从直观形象看,前者平直后者弯曲;从几何特征来看,前者曲率为0,后者曲率不恒为0;从代数表达式来看,前者是线性方程,后者是非线性方程;一般情况下,无论在理论的处理上还是在实际的计算上,直比曲要简单得多,然而在形而上学看来,曲就是曲,直就是直,非此即比;辩证法认为,在一定条件下,直与曲可以相互转化。
通过直认识曲是微积分中解决许多问题的一个重要思想,直与曲的转化是微积分必不可少的一个方法,微积分正是利用直与曲的矛盾转化达到了初等数学所完全不能达到的目的,微积分中有许多在曲的局部以直代曲来解决问题的典型例子。
常量与变量是数学中的两个基本概念,常量是反映事物相对静止状态的量,而变量则是反映事物运动变化状态的量,这两种量的意义有着严格的区分,但是它们又是相互依存、互相渗透,在一定条件下相互转化的,在微积分的内容体系中,要充分重视常量与变量在一定条件下的相互转化关系。
有限与无限是对立的统一,在微积分中,我们往往通过有限来认识无限,也通过无限来确定有限。
变量变化过程中的局部与整体之间的相互对立统一的辨证关系,使得整个微积分在这对矛盾的基础上得以展开,在微积分中,通过局部的性质来揭示整体的性质,又通过整体来刻画局部,是一个经常用到的重要方法。
微积分中通过先近似、再精确的转化使得问题变得比较容易解决。
从一般到特殊和从特殊到一般乃是人类认识客观世界的一个普遍规律,一方面由于事物的特殊性中包含着一般性,即共性存在于个性之中;另一方面,一般概括了特殊,一般比特殊更能反映事物的本质
在数学中,无论是描述相对静止状态的量,还是描述运动变化状态的量,都存在着两种情况:连续与离散,连续与离散是数学研究中的重要矛盾之一,它们既有本质的差别,又在一定的条件下互相转化。
对立统一规律是唯物辩证法的实质和核心,是唯物辩证法的最基本的规律,它认为:任何事物自身都包含既相互联系又相互排斥的两个方面,也就是每一事物都是一分为二的,都分裂为两个对立的部分、方面和趋势,它们互相排斥、对立,但又互相联系,两者共处于矛盾的统一体中,数学中到处充满着矛盾,充满着各种对立面的转化,比如,数学中直线可以看成半径为无穷大的圆,半径为无穷大的圆,也可以看成直线.
就是说在这种意义下,直线和圆可以互相转化或者说“直和曲”可以互相转化,类似地,平面可以看成半径为无穷大的球,半径为无穷大的球也可以看成平面,在这种意义下,两者是统一的,可以互相转化、替代。
辩证唯物主义告诉我们,一切物质都是质与量的统一物质的运动、变化和发展,不仅有一定的空间形式,而且有一定的数量关系,这就是说,量是形和数的统一,数学正是以现实世界的空间形式和数量关系为研究对象的,即从量的关系方面去把握事物的质及其变化规律,事物的量变质变规律反映在数学中,一是表现为数学的质的差异;二是从量变到质变的飞跃过程。
任何事物的内在矛盾都可以归结为肯定和否定两个方面,唯物辩证法从事物肯定和否定的对立关系中,揭示了事物发展是辨证否定的过程,用发展的观点揭示和阐述科学内容的辩证实质,是马克思运用唯物辩证法研究科学问题的一种独到的思想方法,运用这种思想方法可以将科学概念、理论和方法从唯心主义、形而上学等错误哲学观点的束缚下解放出来,使其置于正确哲学思想之上。
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