阿基米德与圆周率 阿基米德和刘徽是如何计算圆周率的(六)
数学家在计算任何东西的近似值时,都会给出一个区间,像左手和右手一样,把心爱的人拥抱在怀中。如果只给一侧的值,那么就会像杨过一样,也是顶尖的高手。
阿基米德不是杨过。所以,他计算出圆周率小于 22/7 以后,他还要计算,圆周率大于多少。刘徽也不是杨过,他计算出圆周率大于3.141024以后,还要计算圆周率小于多少。盈朒二数都给出,才算完美。
阿基米德计算朒数的时候,也采用计算内接多边形边长的方法。因为,内接多边形,周长一定小于圆的周长。
只是要计算边长。如图,AC是圆的一条直径,O是圆心。AD是内接N边形的一条边,AE是内接2N边形的一条边。这一次,计算边长,阿基米德使用的是直径所在的三角形,而非半径。直径对的圆周角是直角,这一点可以带来便捷。边AD对的圆周角为ACD,圆周角是圆心角的一半。EC平分角ACD。
知道这些关系,按照前面的方法。在三角形ADC中,使用角平分线的性质,可以算出三角形MDC三边的比例。而三角形AEC同三角形MDC是相似的,这一点很重要。也就是说,对应边的比例是一样的。
在得到AEC三边的比例以后,继续平分角ACE,继续计算比例。注意,阿基米德计算的是比例,不是长度。所以有这样便捷的方法。
这次计算的起点是角ACD为30度,AD还是六边形的一条边。始于3的算术平方根小于 1351/780 。也就是DC/DA小于1351/780。同样,使用计算半角余切和余割的方法,一直计算最终得到直径与内接正96边形一边的比例。该值小于(2017又1/4)比66,化成小数是 30.5643939。
在计算内接多边形的时候,更关注余割值。
圆周率大于(96 × 66) :2017.25 = 6366 比 2017.25,最后这个比例,阿基米德把它缩小一点点,写作 223/71 ,也就是 3又 10/71。
到此,阿基米德的工作完成了,他证明了圆周率大于 223/71,小于22/7 。在此基础上,再接再厉,他给出了圆同其外切正方形面积之比近似值 11/14。 但在他的著作中,先给出了圆与其 外切正方形的面积比为 11/14 这个结论,明显,他用的是西方人惯用的手法,先说重要的事情。
11/14为何重要呢?因为,从11/14也可以逆推出圆周率,设圆的半径为R,其面积为 PI*R*R ;外切正方形面积为 (2R)*(2R)= 4*R*R,两者的比例是 PI:4,也就是说 PI/4 = 11/14,从而,PI =44/14,约分以后,正好就是 22/7 。可见,应用中,阿基米德更喜欢这个分数。
理论上讲,阿基米德可以使用精度更高的3的平方根开始计算,平分到更小的角度,从而得到更加精密的数值。但那个年代,22/7 的精度用在生活中足够了,而且很方便使用。每当觉得自己做的不够好的时候,想想“美国人,在1897年准备立法,用3.2做圆周率”这件事。笑一笑,就过去了。
刘徽在得到 3.141024以后,也不满足于仅仅使用3.14,他指出,这个数字还是偏小,“圆率犹为微小”。那么,要找到一个比圆率大一点点的数字,才行。怎样寻找呢?依然从面积入手。
如图,设BC是正N边形的一条边,BE是正2N边形的一条边。图中,绿色的是圆弧CEB。正2N边形面积比正N边形大,大多少呢?在这个局部看,大出的部分是紫色三角形BCE。那么,整体上看,大了N个这样的三角形。
假如把紫色三角形复制一份,切成两半,贴在2N边形的外面,那么,2N边形的面积加上这份复制,就可以比圆大一点点。
不得不叹服,这个处理太有技巧了!那么,好,192边形的面积计算过了,是3.141024。
96边形的面积呢?用48边形边长计算,
正48边形边长是 0.130806,那么正96边形面积是 48*0.130806/2 = 3.139344
192边形比96变形大的数值是 3.141024 - 3.139344 =0.00168
把这个数值加到192边形面积上,就可以比圆大了。
到此,刘徽得到圆周率的范围是 3.141024 至 3.142704。刘徽的工作已经圆满完成了。盈朒二数都有了。
从这个范围可以发现,3.14已经确定了,无论计算多少边形,都不会再变了,再变,也是3.14后面的部分。3.14比“周三径一”已经是很伟大的突破了。因此刘徽对 3.14作为圆周率近似值,已经比较满意了。
但还不是很满意。他做了更深远的计算。一方面,验证割圆术的正确性;一方面,验证3.14不会再改变;一方面,为了获得更高的精度。这就是,为什么他的文章中前前后后的引用,很多人不知道他在做什么。
这部分计算,分成两个部分。一是,直接使用前面的数据,在正192边形的面积上直接做“消息”,就是根据192边形的面积,以及前面各多边形的面积,对圆面积做更精确的估计;另一方面,继续增加边的数量,一直计算到正1536边形的边长,得到正3072边形的面积。
通过消息,获得估计值 3.1416,通过增加边数,他验证了自己的估值,并且说“若此者,盖尽其纤微矣”,他猜测,3.1416可以把圆最细小的部分包括进来,然后,通过计算到3072边形,发现面积仍然没有超出3.1416,于是,他对新的估值 3.1416 更满意。
计算多边形的方法是一样的。那么,如何估值呢?从最初的几个数字,可以发现,随着边数量的增加,面积增加的幅度越来越小,每次增量大约是前一次的1/4。192边形面积是3.141024,比96边形大0.00168。那么可以估计,384边形会比192边形大 0.00168/4,再往下一级,大0.00168/16...
于是,极限的状态应该是 3.141024 0.00168(1/4 1/16 1/64 1/256...) = 3.141024 0.00168/3
= 3.1415842,毕竟,后面的增长比0.25稍大,因此,对3.14之后两位进行“入”的操作是合理的,估值就可以是 3.1416。这是我对刘徽估值方法的猜测。因为古人喜欢用比例,如果看到每次增长都变为上一次的增长 1/4这样的事实,不可能不顾及。
计算,估值,验证。再计算,再估值,再验证。在中国,在刘徽之前,没有人计算过圆周率。所以,刘徽会如此谨慎的前行。
后来的祖冲之有福了,依然用这个方法,向下计算,直接获得7位小数。可惜的是,那本叫做《缀术》的书在哪里?期待着有一天,考古工作者从古墓里挖出一本来。
