【潘承洞山东大学】潘承洞与哥德巴赫猜想研究
数学王子高斯(C. F. Gauss)有一句名言:“数学是科学的女王”;他又讲“数论是数学的王冠”。正如他所说,数论在数学中一直处于醒目的地位。俄国数学家辛钦(A. Ya. Khinchin)曾经评论说,哥德巴赫猜想是数学王冠上的一颗明珠。
哥德巴赫(C. Goldbach)并不是职业数学家,而是一个喜欢研究数学的富家子弟。他于1690年生于德国哥尼斯堡,受过很好的教育。哥德巴赫喜欢到处旅游,结交数学家,然后跟他们通讯。1742年,他在给好友欧拉的一封信里陈述了他著名的猜想——哥德巴赫猜想。欧拉在回信中说,他相信这个猜想是正确的,虽然他不能给出证明。
用当代语言来叙述,哥德巴赫猜想有两个内容,第一部分叫做奇数的猜想,第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出,任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说,大于等于4的偶数一定是两个素数的和。
奇数的哥德巴赫猜想
相对来讲,奇数的猜想比较容易,因为它是偶数的猜想的推论。如果每个大偶数都能写成两个素数之和,那么我们就能够证明任何大奇数都是三个素数之和,因为任何奇数减去3都是一个偶数。
关于哥德巴赫猜想的研究,历史上第一个重要文献是哈代(G. H. Hardy)和李特伍德(J. E. Littlewood)1921年的伟大论文,在这篇长达70页的文章里,他们提出了圆法。哈代在英国皇家学会演讲时说:“我和李特伍德的工作是历史上第一次严肃地研究哥德巴赫猜想。
”虽然此前很多有名的数学家都研究过这个猜想,甚至有人宣布证明了猜想。然而,哈代和李特伍德对奇数猜想的证明依赖于一个条件——广义黎曼(B. Riemann)猜想——这个猜想到现在也未被证明。在英国人看来,哈代重振了牛顿(I. Newton)以后的英国分析。
1937年,俄国数学家维诺格拉多夫(I. M. Vinogradov)无条件地基本证明了奇数的哥德巴赫猜想。维诺格拉多夫定理指出,任何充分大的奇数都能写成三个素数之和。也就是说,在数轴上取一个大数,从这个数往后看,哥德巴赫猜想都对;在这个数前面的奇数,需要用手或计算机来验证。然而,至今计算机还未能触及那个大数。
维诺格拉多夫的证明发表之后,又出现了几个新证明。这些证明既简洁,又提供了完全不同的方法。在这些新证明中,有三个特别应该强调的:一个是俄国数学家林尼克(Yu. V. Linnik)的,再一个是潘承彪先生的;还有英国数学家沃恩(R. C. Vaughan)的。在相当长的一个阶段内,人们认为林尼克是离哥德巴赫猜想很近的人,他对哥德巴赫猜想进行了深入的研究。与此同时,他还是一个很好的数理统计学家。
偶数哥德巴赫猜想
很遗憾,偶数的哥德巴赫猜想到现在都没有得到证明。但是,数学家们从各个方向逼近这个猜想,并且取得了辉煌的成就。研究偶数的哥德巴赫猜想主要有四个途径,其中几乎每个途径都有潘承洞的工作。这四个途径分别是:殆素数,例外集合,小变量的三素数定理,以及几乎哥德巴赫问题。
途径一:殆素数
殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数,虽然现在不能证明N是两个素数之和,但是可以证明它能够写成两个殆素数的和,即N=A B,其中A和B的素因子个数都不太多,譬如说素因子个数不超过10。现在用“a b”来表示如下命题:每个大偶数N都可表为A B,其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。显然,哥德巴赫猜想就可以写成“1 1”。在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。
1920年,布朗(V. Brun)首先取得突破性的进展,证明了命题“9 9”。后续进展如下:哈德马赫(H. Rademacher),1924,“7 7”;艾斯特曼(T. Estermann),1932,“6 6”;里奇(G.
Ricci),1937,“5 7”;布赫施塔伯(A. A. Buchstab),1938,“5 5”;布赫施塔伯,1940,“4 4”;库恩(P. Kuhn),1941,a b小于或等于6。
1950年,菲尔兹奖得主塞尔伯格(A. Selberg)改进了筛法。王元先生1956年证明了“3 4”。另一个俄国数学家阿•依•维诺格拉多夫(A. I. Vinogradov)1957年证明了“3 3”,王元先生1957年进一步证明了“2 3”。
上述结果有一个共同的特点,就是a和b中没有一个是1,即A和B没有一个是素数。所以,要是能证明a=1,再改进b,那就是一件更了不起的工作。林尼克1941年提出来的大筛法使得这项工作成为可能。后来,林尼克的学生、匈牙利数学家兰易(A.
Rényi)深入地研究了大筛法,并在1948年证明了命题“1 b”。用王元先生的话说,这个b是个天文数字。当时,没有人知道b究竟有多大。这个b的数值依赖于素数在算术级数中平均分布的水平,即另外一个重要常数θ的值。
此后便是潘承洞先生的伟大工作。1962年,28岁的潘承洞定出θ可以取1/3,从而推出命题“1 5”,一下子把b从天文数字降到了5。这是一个决定性的突破。王元先生改进筛法之后,证明了“1 4”。同一年,潘老师又得到了一个更大的θ=3/8。
从3/8出发,潘老师也证明了“1 4”。然后,布赫施塔伯证明了3/8蕴涵命题“1 3”,即从潘老师的θ=3/8可以推出命题“1 3”来。以上结果表明,θ做得越大,b就越小。
但θ不能太大,其可能的最大值是1/2;比1/2再大,均值定理的形式就会发生变化,所以可以认为1/2是最佳。1965年,θ的最佳值1/2被取到,这个定理就叫做庞比埃里-维诺格拉多夫(E. Bombieri-A.
I. Vinogradov)定理,是庞比埃里和阿•依•维诺格拉多夫独立证明的。庞比埃里是意大利数学家,因为这项工作获得了菲尔兹奖。虽然庞比埃里证明了θ能取到1/2,但是他未能证明“1 2”。
命题“1 2”的证明是陈景润先生完成的。1966年,陈景润先生在《科学通报》上登了命题“1 2”证明的简报,此后“文化大革命”开始,《科学通报》与《中国科学》随即停刊。直到1973年《中国科学》复刊之后,陈先生“1 2”证明的全文才得以发表。
以上是沿着殆素数方向研究哥德巴赫猜想的进展。直到现在,“1 2”还是最好的结果。虽然突破“1 2”就会得到“1 1”,但是大家公认再用筛法去证明“1 1”几乎是不可能的,只有发展革命性的新方法,才有可能证明“1 1”。
所以,哈伯斯坦(H. Halberstam)与里切特(H. E. Richert)在他们的名著《筛法》(Sieve Methods)的最后一章指出:“陈氏定理是所有筛法理论的光辉顶点。”
途径二:例外集合
在数轴上取定大整数x,再从x往前看,寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数,即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记为E(x)。我们希望,无论x多大,x之前只有一个例外偶数,那就是2,即只有2使得猜想是错的。
这样一来,哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1。当然,直到现在还不能证明E(x)=1;但是能够证明E(x)远比x小。在x前面的偶数个数大概是x/2;如果当x趋于无穷大时,E(x)与x的比值趋于零,那就说明这些例外偶数密度是零,即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。
维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年。第二年,在例外集合这一途径上,就同时出现了四个证明,其中包括华罗庚先生的著名定理。
我们的目标是证明E(x)的上界是x的零次方,然而1938年E(x)上界的世界记录基本上是x的1次方,二者相差很远。因此降低该上界中x的方次将是一件很重要的事。1975年,蒙哥马利(H. L. Montgomery)与沃恩证明存在一个小于1的正数δ,使得E(x)的上界是x的δ次方。1979年,潘承洞与陈景润合作,证明了这个δ可以取0-99。按照潘承洞与陈景润的思路,后来有很多人都改进了δ的值。
途径三:小变量的三素数定理
上文曾经提到,如果偶数的哥德巴赫猜想正确,那么奇数的猜想也正确。我们可以把这个问题反过来思考。已知奇数N可以表成三个素数之和,假如又能证明这三个素数中有一个非常小,譬如说第一个素数可以总取3,那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。
这个思想就促使潘承洞在1959年,即他25岁时,研究有一个小素变数的三素数定理。这个小素变数不超过N的θ次方。我们的目标是要证明θ可以取0,即这个小素变数有界,从而推出偶数的哥德巴赫猜想。潘承洞首先证明θ可取1/4。后来的很长一段时间内,这方面的工作一直没有进展,直到1995年展涛把潘承洞的定理推进到7/120。
途径四:几乎哥德巴赫问题
1953年,林尼克发表了一篇长达70页的论文。在文中,他率先研究了几乎哥德巴赫问题,证明了,存在一个固定的非负整数k,使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。这个定理,看起来好像丑化了哥德巴赫猜想,实际上它是非常深刻的。
我们注意,能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合;事实上,对任意取定的x,x前面这种整数的个数不会超过log x的k次方。因此,林尼克定理指出,虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想,但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集,每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去,这个表达式就成立。
这里的k用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度,数值较小的k表示更好的逼近度。显然,如果k等于0,几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现,从而,林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。
林尼克1953年的论文并没有具体定出k的可容许数值,此后四十多年间,人们还是不知道一个多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的论证,这个k应该很大。1999年,刘建亚与廖明哲及王天泽合作,首次定出k的可容许值54000。
这第一个可容许值后来被不断改进。其中有两个结果必须提到,即李红泽、王天泽独立地得到k=2000。目前最好的结果k=13是英国数学家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德国数学家普赫塔(Puchta)合作取得的,这是一个很大的突破。
1982年,潘承洞以在“哥德巴赫猜想研究”中取得的卓越成就,与陈景润、王元一起,获得了国家自然科学一等奖。此后,潘承洞致力于哥德巴赫猜想的最终解决。
